高中数学第一章集合与函数概念1.3函数的基本性质1.3.2奇偶性第1课时函数奇偶性的定义与判定练习.docx

1.3.2奇偶性第一课时函数奇偶性的定义与判定1.设f(x)是定义在R上的偶函数,下列结论中正确的是(B)(A)f(-x)+f(x)=0 (B)f(-x)-f(x)=0(C)f(x)f(-x)0 (D)f(0)=0解析:由偶函数的定义知f(-x)=f(x),所以f(-x)-f(x)=0,f(-x)+f(x)=0不一定成立.f(-x)f(x)=f(x)20,f(0)=0不一定成立.故选B.2.下列图象表示的函数具有奇偶性的是(B)解析:选项A中的图象不关于原点对称,也不关于y轴对称,故排除;选项C,D中函数的定义域不关于原点对称,也排除.选项B中的函数图象关于y轴对称,是偶函数,故选B.3.下列函数中既是奇函数又是偶函数的是(A)(A)f(x)=-(B)f(x)=+(C)f(x)=(D)f(x)=解析:选项A中定义域为-1,1,函数解析式为f(x)=0,所以函数既是奇函数又是偶函数,选项B为偶函数,选项C为偶函数,选项D为非奇非偶函数,故选A.4.已知f(x)=ax2+bx+1是定义在-2a,a2-3上的偶函数,那么a+b的值是(A)(A)3 (B)-1 (C)-1或3 (D)1解析:由题f(x)=ax2+bx+1是定义在-2a,a2-3上的偶函数,所以f(x)=f(-x),所以b=0,又-2a=-(a2-3)且-2a0时,y=x|x|=x2.故选C.7.若y=f(x)(xR)是奇函数,则下列坐标表示的点一定在y=f(x)图象上的是(B)(A)(a,-f(a) (B)(-a,-f(a)(C)(-a,-f(-a) (D)(a,f(-a)解析:因为f(x)为奇函数,所以f(-a)=-f(a),所以点(-a,-f(a)在函数y=f(x)图象上.故选B.8.已知f(x)=x5+ax3+bx-8,且f(-2)=10,则f(2)等于(A)(A)-26(B)-18(C)-10(D)10解析:令g(x)=x5+ax3+bx,则g(-x)=-g(x),所以g(x)为奇函数.又因为f(x)=g(x)-8,所以f(-2)=g(-2)-8=10g(-2)=18.所以g(2)=-18.所以f(2)=g(2)-8=-18-8=-26.故选A.9.设f(x)是定义在R上的奇函数,当x0时,f(x)=x2+1,则f(-2)+f(0)=.解析:由题意知f(-2)=-f(2)=-(22+1)=-5,f(0)=0,所以f(-2)+f(0)=-5.答案:-510.已知函数f(x)为偶函数,且当x0时,f(x)= .解析:当x0时,f(x)=f(-x)=-x+1.答案:-x+111.已知函数f(x)=是奇函数,则实数b=.解析:法一(定义法)因为f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),即=-,整理得=-,所以-x+b=-(x+b),即2b=0,解得b=0.法二(赋值法)因为f(x)为奇函数,所以f(-1)=-f(1),即=-,即=-,解得b=0.法三(赋值法)因为f(x)为奇函数,且函数的定义域为R,所以f(0)=0,即=0,解得b=0.答案:012.已知y=f(x)+x2是奇函数,且f(1)=1,则f(-1)=.解析:令y=g(x)=f(x)+x2,因为此函数是奇函数,所以g(-1)=-g(1),即f(-1)+(-1)2=-f(1)+12,所以f(-1)=-3.答案:-313.判断下列函数的奇偶性:(1)f(x)=+x2,x(-1,0)(0,1;(2)f(x)=.解:(1)因为函数f(x)的定义域为(-1,0)(0,1,不关于原点对称,故此函数为非奇非偶函数.(2)由1-x20,得-1x1,又因为|x+2|-20,所以x0,所以-1x1且x0,所以定义域关于原点对称,且x+20,所以f(x)=,因为f(-x)=-=-f(x),所以f(x)为奇函数.14.已知函数f(x)=+1.(1)证明:函数f(x)在(1,+)上递减;(2)记函数g(x)=f(x+1)-1,判断函数g(x)的奇偶性,并加以证明.(1)证明:设x1x21,则x2-x10,x2-10,f(x1)-f(x2)=-=0,所以f(x1)f(x2),所以f(x)在(1,+)上递减.(2)解:g(x)=f(x+1)-1=,g(x)是奇函数,证明如下:因为g(x)的定义域为(-,0)(0,+),关于原点对称,g(-x)=-=-g(x),所以g(x)是奇函数.15.已知函数f(x)=-x2+2|x-a|.(1)若函数y=f(x)为偶函数,求a的值;(2)若a=,求函数y=f(x)的单调递增区间.解:(1)法一任取xR,则f(-x)=f(x)恒成立,即-(-x)2+2|-x-a|=-x2+|x-a|恒成立,所以|x-a|=|x+a|恒成立,两边平方得x2-2ax+a2=x2+2ax+a2,所以a=0.法二(特殊值法)因为函数y=f(x)为偶函数,所以f(-1)=f(1),得|1-a|=|1+a|,得a=0.(2)若a=,则f(x)=-x2+2|x-|=作出函数的图象由函数的图象可知,函数的单调递增区间为(-,-1及,1.16.若函数f(x)=ax2-bx+1(a0)是定义在R上的偶函数,则函数g(x)=ax3+bx2+x(xR)是(A)(A)奇函数(B)偶函数(C)非奇非偶函数(D)既是奇函数又是偶函数解析:因为函数f(x)=ax2-bx+1(a0)是定义在R上的偶函数,所以b=0,g(x)=ax3+x是奇函数,选A.17.若函数f(x)=为奇函数,则实数a等于(A)(A)-1 (B)1 (C)0 (D)-2解析:因为函数f(x)=为奇函数,所以f(-x)=-f(x),即(a+1)x=0恒成立,所以a+1=0,解得a=-1,故选A.18.如果函数f(x)=是奇函数,则g(x)=.解析:设x0,根据当x0时的表达式,可得f(-x)=-2x-3,因为f(x)是奇函数,所以f(x)=-f(-x)=2x+3,即g(x)=2x+3.答案:2x+319.已知函数f(x)=是奇函数且函数f(x)在区间-1,a-2上单调递增,则实数a的取值范围为.解析:由题意得f(1)=-f(-1)1=-(1-m)m=2,因此函数的单调递增区间为-1,1,-1,1-1,a-2-1a-211a3.答案:(1,320.定义域为R的单调函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)(x,yR),且f(3)=6,(1)求f(0),f(1);(2)判断函数f(x)的奇偶性,并证明;(3)若对于任意x,3都有f(kx2)+f(2x-1)0成立,求实数k的取值范围.名师点拨:根据f(x+y)=f(x)+f(y)求f(0),f(1)时,需将已知条件式中的x,y值用0或1等代替,而判断其奇偶性时,可令x,y中有一个是另一个的相反数,常令y=-x,从而构造出f(x)与f(-x)的关系,而求f(kx2)+f(2x-1)0时需先判断函数单调性,再根据函数为奇函数,变形为f(kx2)f(1-2x),即转化为kx21-2x,从而分离参数转化为恒成立问题.解:(1)f(0)=0,f(1)=2.(2)函数f(x)是奇函数.证明:由(1)f(0)=0,所以f(0)=f(x)+f(-x)=0,即f(-x)=-f(x),所以f(x)为奇函数.(3)因为f(x)是奇函数,且f(kx2)+f(2x-1)0在x,3上恒成立,所以f(kx2)f(1-2x)在x,3上