高中数学第三章3.2函数模型及其应用3.2.2函数模型的应用实例学案（含解析）新人教A版.docx

3.2.2函数模型的应用实例学习目标1.能利用已知函数模型求解实际问题.2.能自建确定性函数模型解决实际问题.3.了解建立拟合函数模型的步骤，并了解检验和调整的必要性知识点一几类已知函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)axb(a，b为常数，a0)反比例函数模型f(x)b(k，b为常数且k0)二次函数模型f(x)ax2bxc(a，b，c为常数，a0)指数型函数模型f(x)baxc(a，b，c为常数，b0，a0且a1)对数型函数模型f(x)blogaxc(a，b，c为常数，b0，a0且a1)幂函数型模型f(x)axnb(a，b为常数，a0)知识点二应用函数模型解决问题的基本过程用函数模型解应用题的四个步骤(1)审题弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型；(2)建模将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型；(3)求模求解数学模型，得出数学模型；(4)还原将数学结论还原为实际问题1实际问题中两个变量之间一定有确定的函数关系()2用来拟合散点图的函数图象一定要经过所有散点()3函数模型中，要求定义域只需使函数式有意义()4用函数模型预测的结果和实际结果必须相等，否则函数模型就无存在意义了()类型一利用已知函数模型求解实际问题例1某列火车从北京西站开往石家庄，全程277km.火车出发10min开出13km后，以120km/h的速度匀速行驶试写出火车行驶的总路程S与匀速行驶的时间t之间的关系，并求火车离开北京2h内行驶的路程考点函数模型的应用题点一次、二次函数模型的应用解因为火车匀速运动的时间为(27713)120 (h)，所以0t.因为火车匀速行驶th所行驶的路程为120tkm，所以，火车运行总路程S与匀速行驶时间t之间的关系是S13120t.2h内火车行驶的路程S13120233(km)反思与感悟在实际问题中，有很多问题的两变量之间的关系是已知函数模型，这时可借助待定系数法求出函数解析式，再根据解题需要研究函数性质跟踪训练1如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米则水位下降1米后，水面宽_米考点函数模型的应用题点一次、二次函数模型的应用答案2解析以拱顶为原点，过原点与水面平行的直线为x轴，建立平面直角坐标系(如图)，则水面和拱桥交点A(2，2)，设抛物线所对应的函数关系式为yax2(a0)，则2a22，a，yx2.当水面下降1米时，水面和拱桥的交点记作B(b，3)，将B点的坐标代入到yx2中，得b，因此水面宽2米类型二自建确定性函数模型解决实际问题例2某住宅小区为了营造一个优雅、舒适的生活环境，打算建造一个八边形的休闲花园，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成面积为200米2的十字形区域，且计划在正方形MNPK上建一座花坛，其造价为4200元/米2，在四个相同的矩形上(图中的阴影部分)铺花岗岩路面，其造价为210元/米2，并在四个三角形空地上铺草坪，其造价为80元/米2.(1)设AD的长为x米，试写出总造价Q(单位：元)关于x的函数解析式；(2)问：当x取何值时，总造价最少？求出这个最小值考点函数模型的综合应用题点函数模型中的最值问题解(1)设AMy，ADx，则x24xy200，y.故Q4200x22104xy802y2380004000x2(0x10)(2)令tx2，则Q380004000，且0t200.函数ut在(0,10上单调递减，在10,200)上单调递增，当t10时，umin20.故当x时，Qmin118000(元)反思与感悟自建模型时主要抓住四个关键：“求什么，设什么，列什么，限制什么”求什么就是弄清楚要解决什么问题，完成什么任务设什么就是弄清楚这个问题有哪些因素，谁是核心因素，通常设核心因素为自变量列什么就是把问题已知条件用所设变量表示出来，可以是方程、函数、不等式等限制什么主要是指自变量所应满足的限制条件，在实际问题中，除了要使函数式有意义外，还要考虑变量的实际含义，如人不能是半个等跟踪训练2某旅游点有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元，则每提高1元，租不出去的自行车就增加3辆旅游点规定：每辆自行车的日租金不低于3元并且不超过20元，每辆自行车的日租金x元只取整数，用y表示出租所有自行车的日净收入(日净收入即一日中出租的所有自行车的总收入减去管理费用后的所得)(1)求函数yf(x)的解析式；(2)试问日净收入最多时每辆自行车的日租金应定为多少元？日净收入最多为多少元？考点函数模型的应用题点分段函数模型的应用解(1)当3x6时，y50x115，令50x1150，解得x2.3.又因为xN，所以3x6，且xN.当6x20，且xN时，y503(x6)x1153x268x115，综上可知yf(x)(2)当3x6，且xN时，因为y50x115是增函数，所以当x6时，ymax185元当6x20，且xN时，y3x268x11532，所以当x11时，ymax270元综上所述，当每辆自行车日租金定为11元时才能使日净收入最多，为270元类型三建立拟合函数模型解决实际问题例3某个体经营者把开始六个月试销A，B两种商品的逐月投资金额与所获纯利润列成下表.投资A种商品金额(万元)123456获纯利润(万元)0.651.391.8521.841.40投资B种商品金额(万元)123456获纯利润(万元)0.300.590.881.201.511.79该经营者准备第七个月投入12万元经营这两种商品，但不知A，B两种商品各投入多少万元才合算，请你帮助制定一个资金投入方案，使得该经营者能获得最大纯利润，并按你的方案求出该经营者第七个月可获得的最大纯利润(结果保留两位有效数字)考点函数拟合问题题点据实际问题选择函数模型解以投资额为横坐标，纯利润为纵坐标，在平面直角坐标系中画出散点图，如图所示观察散点图可以看出，A种商品所获纯利润y与投资额x之间的变化规律可以用二次函数模型进行模拟，如图所示取(4,2)为最高点，则ya(x4)22(a0)，再把点(1,0.65)代入，得0.65a(14)22，解得a0.15，所以y0.15(x4)22.B种商品所获纯利润y与投资额x之间的变化规律是线性的，可以用一次函数模型进行模拟，如图所示设ykxb(k0)，取点(1,0.30)和(4,1.20)代入，得解得所以y0.3x.设第七个月投入A，B两种商品的资金分别为x万元，(12x)万元，总利润为W万元，那么WyAyB0.15(x4)220.3(12x)，所以W0.15(x3)20.1593.2.当x3时，W取最大值，约为4.6万元，此时B商品的投资为9万元故该经营者下个月把12万元中的3万元投资A种商品，9万元投资B种商品，可获得最大利润，约为4.6万元反思与感悟在建立和应用函数模型时，准确地把题目要求翻译成数学问题非常重要，另外实际问题要注意实际意义对定义域、取值范围的影响跟踪训练3某商场经营一批进价为每件30元的商品，在市场销售中发现此商品的销售单价x元与日销量y件之间有如下关系：销售单价x(元)30404550日销售量y(件)6030150(1)在所给坐标系中，根据表中提供的数据描出实数对(x，y)对应的点，并确定x与y的一个函数关系式yf(x)(2)设经营此商品的日销售利润为P元，根据上述关系式写出P关于x的函数关系式，并指出销售单价x为多少时，才能获得最大日销售利润考点函数拟合问题题点据实际问题选择函数模型解实数对(x，y)对应的点如图所示，由图可知y是x的一次函数(1)设f(x)kxb，则解得所以f(x)3x150,30x50，检验成立(2)P(x30)(3x150)3x2240x4500,30x50，所以对称轴x4030,50答当销售单价为40元时，所获利润最大1一辆汽车在某段路程中的行驶路程s关于时间t变化的图象如图所示，那么图象所对应的函数模型是()A分段函数B二次函数C指数函数D对数函数考点函数拟合问题题点函数拟合问题答案A2若镭经过100年后剩留原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x年后剩留量为y，则x，y的函数关系是()ABy(0.9576)100xCyxD考点函数模型的应用题点指数、对数函数模型的应用答案A3某种植物生长发育的数量y与时间x的关系如下表：x123y138则下面的函数关系式中，拟合效果最好的是()Ay2x1Byx21Cy2x1Dy1.5x22.5x2考点函数拟合问题题点函数拟合问题答案D4某同学最近5年内的学习费用y(千元)与时间x(年)的关系如图所示，则可选择的模拟函数模型是()AyaxbByax2bxcCyaexbDyalnxb考点函数拟合问题题点函数拟合问题答案B5某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y(万元)与年产量x(吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y48x8000，已知此生产线年产量最大为210吨若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？考点函数模型的综合应用题点函数模型中的最值问题解设可获得总利润为R(x)万元，则R(x)40xy40x48x800088x8000(x220)21680(0x210)R(x)在0,210上是增函数，当x210时，R(x)max(210220)216801660(万元)年产量为210吨时，可获得最大利润1660万元解函数应用问题的步骤(四步八字)(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)求模：求解数学模型，得出数学结论；(4)还原：将数学问题还原为实际问题一、选择题1在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据，现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是()x1.992345.156.126y1.5174.04187.51218.01A.y2x2By(x21)Cylog2xDy考点函数模型的应用题点一次、二次函数模型的应用答案B解析由题中表格可知函数在(0，)上是增函数，且y的变化随x的增大而增大的越来越快，分析选项可知B符合，故选B.2(2017湖南衡阳、长郡中学等十三校联考)某大型民企为激励创新，计划逐年加大研发资金投入若该民企2016年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该民企全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg1.120.05，lg1.30.11，lg20.30)()A2017年B2018年C2019年D2020年考点函数模型的应用题点指数、对数函数模型的应用答案D解析设从2016年起，过了n(nN*)年该民企全年投入的研发资金超过200万元，则130(112%)n200，则n3.8，由题意取n4，则n20162020.故选D.3随着我国经济的不断发展，2014年年底某偏远地区农民人均年收入为3000元，预计该地区今后农民的人均年收入将以每年6%的年平均增长率增长，那么2021年年底该地区的农民人均年收入为()A30001.067元B30001.067元C30001.068元D30001.068元考点函数模型的应用题点指数、对数函数模型的应用答案B解析根据题意，逐年归纳，总结规律建立关于年份的指数型函数模型，设经过x年，该地区的农民人均年收入为y元，依题意有y30001.06x，因为2014年年底到2021年年底经过了7年，故把x7代入，即可求得y30001.067.故选B.4某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x，y应为()Ax15，y12Bx12，y15Cx14，y10Dx10，y14考点函数模型的应用题点一次、二次函数模型的应用答案A解析由三角形相似得，得x(24y)，Sxy(y12)2180(8y0)(1)写出y关于x的函数解析式，并指出这个函数的定义域；(2)求羊群年增长量的最大值；(3)当羊群的年增长量达到最大值时，求k的取值范围考点函数模型的综合应用题点函数模型中的最值问题解(1)根据题意，由于最大畜养量为m只，实际畜养量为x只，则畜养率为，故空闲率为1，由此可得ykx(0xm)(2)对原二次函数配方，得y(x2mx)2.即当x时，y取得最大值.(3)由题意知为给羊群留有一定的生长空间，则实际畜养量与年增长量的和小于最大畜养量，即0xym.因为当x时，ymax，所以0m，解得2k0，所以0k8.57.125，知L(t)max9.125.从而第5周每件销售利润最大，最大值为9.125元四、探究与拓展14某商场在国庆促销期间规定，商场内所有商品按标价的80%出售，同时，当顾客在该商场内消费满一定金额后，按如下方案获得相应金额的奖券：消费金额(元)的