高中数学第三章三角恒等变换3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式3.1.1两角差的余弦公式学案.docx

3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式31.1两角差的余弦公式学习目标1.了解两角差的余弦公式的推导过程.2.理解用向量法导出公式的主要步骤.3.熟记两角差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用该公式进行求值、计算知识点一两角差的余弦公式的探究思考1如何用角，的正弦、余弦值来表示cos()呢？有人认为cos()coscos，你认为正确吗，试举出两例加以说明答案不正确例如：当，时，cos()cos，而coscoscoscos，故cos()coscos；再如：当，时，cos()cos，而coscoscoscos，故cos()coscos.思考2计算下列式子的值，并根据这些式子的共同特征，写出一个猜想cos45cos45sin45sin45_；cos60cos30sin60sin30_；cos30cos120sin30sin120_；cos150cos210sin150sin210_.猜想：coscossinsin_，即_答案10cos()cos()coscossinsin知识点二两角差的余弦公式思考1单位圆中(如图)，AOx，BOx，那么A，B的坐标是什么？与的夹角是多少？答案A(cos，sin)，B(cos，sin)与的夹角是.思考2请根据上述条件推导两角差的余弦公式答案|cos()cos()，coscossinsin.cos()coscossinsin.梳理C()：cos()coscossinsin.(1)适用条件：公式中的角，都是任意角(2)公式结构：公式右端的两部分为同名三角函数的积，连接符号与左边角的连接符号相反1存在角，使得cos()coscos.()提示如，cos()coscos，coscoscoscos，满足cos()coscos.2任意角，cos()coscossinsin.()提示由两角差的余弦公式可知不正确3任意角，cos()coscossinsin.()类型一利用两角差的余弦公式化简求值例1计算：(1)cos(15)；(2)cos15cos105sin15sin105.考点两角差的余弦公式题点利用两角差的余弦公式求值解(1)方法一原式cos(3045)cos30cos45sin30sin45.方法二原式cos15cos(4530)cos45cos30sin45sin30.(2)原式cos(15105)cos(90)cos900.反思与感悟利用两角差的余弦公式求值的一般思路(1)把非特殊角转化为特殊角的差，正用公式直接求解(2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差的余弦公式的右边形式，然后逆用公式求值跟踪训练1化简cos15cos45cos75sin45的值为()A.B.CD考点两角差的余弦公式题点利用两角差的余弦公式求值答案B解析cos15cos45cos75sin45cos15cos45sin15sin45cos(1545)cos(30).类型二给值求值例2(1)已知sinsin1，coscos，则cos()等于()ABC.D.考点两角差的余弦公式题点利用两角差的余弦公式求值答案D解析因为sinsin1，coscos，所以(coscos)2，(sinsin)2.两式相加，得22cos()2.所以cos().(2)已知，均为锐角，sin，cos()，求cos的值考点两角差的余弦公式题点利用两角差的余弦公式求值解因为，sin，所以0.又因为，cos()，所以.所以cos，sin()，所以coscos()coscos()sinsin().反思与感悟给值求值问题的解题策略(1)从角的关系中找解题思路：已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中的角的关系，根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换(2)常见角的变换：()；2()()；2()()跟踪训练2已知sinsin，coscos，求cos()的值考点两角差的余弦公式题点利用两角差的余弦公式求值解(sinsin)22，(coscos)22，以上两式展开两边分别相加，得22cos()1，cos().类型三给值求角例3已知cos，cos()，且，求的值考点两角差的余弦公式题点利用两角差的余弦公式求角解，且cos，cos()，(0，)，sin，sin().又()，coscos()cos()cossin()sin.又，.引申探究若本例条件中的“cos()”改为“sin()”，则的值是什么？解，(0，)，cos，sin()，sin ，cos()，当cos()时，coscos()cos()cossin()sin ，；当cos()时，coscos()cos()cossin()sin ，即0，与已知矛盾，舍去，所以.反思与感悟求解给值求角问题的一般步骤(1)求角的某一个三角函数值(2)确定角的范围(3)根据角的范围写出所求的角跟踪训练3已知sin()，cos()，0，求角的大小考点两角差的余弦公式题点利用两角差的余弦公式求角解因为sin()，所以sin.因为0，所以cos.因为cos()，且0，所以0，所以sin().所以coscos()coscos()sinsin().因为0，所以.1计算coscoscossin的值是()A0B.C.D.考点两角差的余弦公式题点利用两角差的余弦公式求值答案C解析coscoscossincoscossinsincoscos.2cos44cos14sin44sin14的值为()A.BC.D考点两角差的余弦公式题点利用两角差的余弦公式求值答案C解析原式cos(4414)cos30.3设，都是锐角，且cos，sin()，则cos等于()A.B.C.或D.或考点两角差的余弦公式题点利用两角差的余弦公式求值答案A解析依题意得sin，cos().又，均为锐角，所以0cos()因为，所以cos().于是coscos()cos()cossin()sin.4cos(35)cos(25)sin(35)sin(25)_.考点两角差的余弦公式题点利用两角差的余弦公式化简答案解析原式cos(35)(25)cos(60)cos60.5已知向量a(cos，sin)，b(cos，sin)，(0，)且ab，求的值考点两角差的余弦公式题点利用两角差的余弦公式化简解因为ab，所以abcoscossin sin cos()0.因为，所以或.1“给式求值”或“给值求值”问题，即由给出的某些函数关系式或某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，关键在于“变式”或“变角”，使“目标角”换成“已知角”注意公式的正用、逆用、变形用，有时需运用拆角、拼角等技巧2“给值求角”问题，实际上也可转化为“给值求值”问题，求一个角的值，可分以下三步进行：(1)求角的某一三角函数值(2)确定角所在的范围(找区间)(3)确定角的值确定用所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目而定一、选择题1cos295sin70sin115cos110的值为()A.BC.D考点两角差的余弦公式题点利用两角差的余弦公式求值答案A解析原式cos115cos20sin115sin20cos65cos20sin65sin20cos(6520)cos45.2已知cos，0，则cos等于()A.B.C.D.考点两角差的余弦公式题点利用两角差的余弦公式求值答案A解析，sin.coscoscoscossinsin.3(2017广东肇庆三模)已知为锐角，为第三象限角，且cos，sin，则cos()的值为()ABC.D.考点两角差的余弦公式题点利用两角差的余弦公式求值答案A解析为锐角，且cos，sin.为第三象限角，且sin，cos，cos()coscossinsin.故选A.4已知点P(1，)是角终边上一点，则cos等于()A.B.CD.考点两角差的余弦公式题点利用两角差的余弦公式求值答案A解析由题意可得sin，cos，coscoscossinsin.5已知点A(cos80，sin80)，B(cos20，sin20)，则|等于()A.B.C.D1考点两角差的余弦公式题点利用两角差的余弦公式求值答案D解析|1.6若cos()，cos2，并且，均为锐角且，则的值为()A.B.C.D.考点两角差的余弦公式题点利用两角差的余弦公式求角答案C解析，2(0，)，sin()，sin2，cos()cos2()cos2cos()sin2sin()，(0，)，.7化简sin(xy)sin(yx)cos(xy)cos(xy)的结果为()Asin2yBcos2yCcos2yDsin2y考点两角差的余弦公式题点利用两角差的余弦公式化简答案C解析原式cos(xy)(xy)cos2y，故选C.二、填空题8已知cos，cos()，2，则cos_.考点两角差的余弦公式题点利用两角差的余弦公式求值答案1解析由条件知sin，sin()，coscos()coscos()sinsin()1.9已知sinsinsin0，coscoscos0，则cos()的值是_考点两角差的余弦公式题点两角差的余弦公式的综合应用答案解析由22，得22(sinsincoscos)1，即cos().10化简_.考点两角差的余弦公式题点利用两角差的余弦公式化简答案解析原式.11(2017广东深圳中学同步练习)函数f(x)sin2xsincos2xcos在上的单调递增区间为_考点两角差的余弦公式题点两角差的余弦公式的综合应用答案解析f(x)sin2xsincos2xcossin2xsincos2xcoscos.当2k2x2k(kZ)，即kxk(kZ)时，函数f(x)单调递增取k0，得x，故函数f(x)在上的单调递增区间为.三、解答题12已知cos(2)，sin(2)，且，0，求cos()考点两角差的余弦公式题点利用两角差的余弦公式求值解因为，0，所以2.因为cos(2)，所以2，所以sin(2).因为，0，所以2.因为sin(2)，所以02，所以cos(2).所以cos()cos(2)(2)cos(2)cos(2)sin(2)sin(2)0.13已知向量a(sin，2)与b(1，cos)互相垂直，其中.(1)求sin和cos的值；(2)若5cos()3cos，0，求cos的值考点两角差的余弦公式题点两角差的余弦公式的综合应用解(1)因为ab，所以absin2cos0，即sin2cos.又因为sin2cos21，所以4cos2cos21，即cos2，所以sin2，又，所以sin，cos.(2)因为5cos()5(coscossinsin)cos2sin3cos，所以cossin，所以cos2sin21cos2，即cos2.因为0，所以cos.四、探究与拓展14函数ycosxcos，x0，的最小值为()AB.CD.考点两角差的余弦公式题点两角差的余弦公式