高中数学第三章3.1函数与方程3.1.1方程的根与函数的零点学案（含解析）新人教A版.docx

3.1函数与方程3.1.1方程的根与函数的零点学习目标1.了解函数的零点、方程的根与图象交点三者之间的联系.2.会借助零点存在性定理判断函数的零点所在的大致区间.3.能借助函数单调性及图象判断零点个数知识点一函数的零点的概念思考函数的“零点”是一个点吗？答案不是，函数的“零点”是一个数，一个使f(x)0的实数x.实际上是函数yf(x)的图象与x轴交点的横坐标梳理对于函数yf(x)，我们把使f(x)0的实数x叫做函数yf(x)的零点方程、函数、图象之间的关系：方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点知识点二零点存在性定理如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)0，则f(x)在a，b内无零点()3若f(x)在a，b上为单调函数，且f(a)f(b)0，则f(x)在(a，b)内有且只有一个零点()4若f(x)在(a，b)内有且只有一个零点，则f(a)f(b)0.()类型一求函数的零点例1函数f(x)(lgx)2lgx的零点为_考点函数零点的概念题点求函数的零点答案x1或x10解析由(lgx)2lgx0，得lgx(lgx1)0，lgx0或lgx1，x1或x10.反思与感悟函数yf(x)的零点就是方程f(x)0的实数根，也就是函数yf(x)的图象与x轴交点的横坐标，所以函数的零点是一个数，而不是一个点在写函数零点时，所写的一定是一个数字，而不是一个坐标跟踪训练1函数f(x)(x21)(x2)2(x22x3)的零点个数是_考点函数零点的概念题点求函数的零点答案4解析f(x)(x1)(x1)(x2)2(x3)(x1)(x1)2(x1)(x2)2(x3)可知零点为1，2,3，共4个类型二判断函数的零点所在的区间例2根据表格中的数据，可以断定方程ex(x2)0(e2.72)的一个根所在的区间是()x10123ex0.3712.727.4020.12x212345A.(1,0) B(0,1) C(1,2) D(2,3)考点函数零点存在性定理题点判断函数零点所在的区间答案C解析令f(x)ex(x2)，则f(1)0.3710，f(0)120，f(1)2.7230.由于f(1)f(2)0，方程ex(x2)0的一个根在(1,2)内反思与感悟在函数图象连续的前提下，f(a)f(b)0，能判断在区间(a，b)内有零点，但不一定只有一个；而f(a)f(b)0，却不能判断在区间(a，b)内无零点跟踪训练2若函数f(x)3x7lnx的零点位于区间(n，n1)(nN)内，则n_.考点函数零点存在性定理题点判断函数零点所在区间答案2解析函数f(x)3x7lnx在定义域上是增函数，函数f(x)3x7lnx在区间(n，n1)上只有一个零点f(1)37ln140，f(2)67ln20，函数f(x)3x7lnx的零点位于区间(2,3)内，n2.类型三函数零点个数问题命题角度1判断函数零点个数例3求函数f(x)2xlg(x1)2的零点个数考点函数的零点与方程根的关系题点判断函数零点的个数解方法一f(0)10210，f(x)在(0,1)上必定存在零点又显然f(x)2xlg(x1)2在(1，)上为增函数故函数f(x)有且只有一个零点方法二在同一坐标系下作出h(x)22x和g(x)lg(x1)的草图由图象知g(x)lg(x1)的图象和h(x)22x的图象有且只有一个交点，即f(x)2xlg(x1)2有且只有一个零点反思与感悟判断函数零点个数的方法主要有：(1)可以利用零点存在性定理来确定零点的存在性，然后借助函数的单调性判断零点的个数(2)利用函数图象交点的个数判定函数零点的个数跟踪训练3求函数f(x)lnx2x6零点的个数考点函数的零点与方程根的关系题点判断函数零点的个数解方法一由于f(2)ln2460，即f(2)f(3)0，说明函数f(x)在区间(2,3)内有零点又因为函数f(x)在定义域(0，)内是增函数，所以它仅有一个零点方法二通过作出函数ylnx，y2x6的图象，观察两图象的交点个数得出结论也就是将函数f(x)lnx2x6的零点个数转化为函数ylnx与y2x6的图象交点的个数由图象可知两函数有一个交点，即函数f(x)有一个零点命题角度2根据零点情况求参数范围例4f(x)2x(xa)1在(0，)内有零点，则a的取值范围是()A(，) B(2，)C(0，) D(1，)考点函数零点存在性定理题点函数零点有关的参数取值范围答案D解析由题意可得axx(x0)令g(x)xx，该函数在(0，)上为增函数，可知g(x)的值域为(1，)，故当a1时，f(x)在(0，)内有零点反思与感悟为了便于限制零点个数或零点所在区间，通常要对已知条件进行变形，变形的方向是：(1)化为常见的基本初等函数；(2)尽量使参数与变量分离，实在不能分离，也要使含参数的函数尽可能简单跟踪训练4若函数f(x)x22mx2m1在区间(1,0)和(1,2)内各有一个零点，则实数m的取值范围是()A(，11，)B(，1)(1，)C.D.考点函数的零点与方程根的关系题点两根分别属于两区间答案D解析函数f(x)x22mx2m1的零点分别在区间(1,0)和(1,2)内，即函数f(x)x22mx2m1的图象与x轴的交点一个在(1,0)内，一个在(1,2)内，根据图象列出不等式组解得m，实数m的取值范围是.1函数ylnx的零点是()A(0,0) Bx0Cx1D不存在考点函数零点的概念题点求函数的零点答案C2下列各图象表示的函数中没有零点的是()考点函数零点的概念题点判断函数有无零点答案D3若函数f(x)的图象在R上连续不断，且满足f(0)0，f(2)0，则下列说法正确的是()Af(x)在区间(0,1)上一定有零点，在区间(1,2)上一定没有零点Bf(x)在区间(0,1)上一定没有零点，在区间(1,2)上一定有零点Cf(x)在区间(0,1)上一定有零点，在区间(1,2)上可能有零点Df(x)在区间(0,1)上可能有零点，在区间(1,2)上一定有零点考点函数零点存在性定理题点判断函数在区间上是否有零点答案C4函数f(x)x3x的零点有_个考点函数的零点与方程根的关系题点判断函数零点的个数答案15若函数y2|x|k有零点，则实数k的取值范围是_考点函数零点存在性定理题点函数零点有关的参数取值范围答案(0,1解析y2|x|k有零点，即ky2|x|的值域而|x|0,00，f(b)0，则函数f(x)在区间(a，b)内()A一定有零点B一定没有零点C可能有两个零点D至少有一个零点考点函数零点存在性定理题点判断函数在区间上是否有零点答案C解析若函数f(x)的图象及给定的区间(a，b)，如图(1)或图(2)所示，可知A，D错，若如图(3)所示，可知B错6已知x0是函数f(x)2x的一个零点若x1(1，x0)，x2(x0，)，则()Af(x1)0，f(x2)0Bf(x1)0Cf(x1)0，f(x2)0，f(x2)0考点函数零点存在性定理题点函数零点与方程根的关系答案B解析方法一由f(x)0，得2x0，2x.在同一直角坐标系中，作出函数y12x，y2的图象(图略)，观察图象可知，当x1(1，x0)时，y1y2，f(x1)0.方法二函数y2x，y在(1，)上均为增函数，函数f(x)在(1，)上为增函数，由x1(1，x0)，f(x0)0，得f(x1)f(x0)0.7若函数f(x)在定义域x|xR且x0上是偶函数，且在(0，)上是减函数，f(2)0，则函数f(x)的零点有()A一个B两个C至少两个D无法判断考点函数的零点与方程根的关系题点判断函数零点的个数答案B解析f(x)在(0，)上是减函数，f(2)0，所以f(x)在(0，)上有且仅有一个零点2.又f(x)是偶函数，所以f(x)在(，0)上有且仅有一个零点2.因此函数f(x)有两个零点2与2.8函数f(x)2x|log0.5x|1的零点个数为()A1B2C3D4考点函数的零点与方程根的关系题点判断函数零点的个数答案B解析函数f(x)2x|log0.5x|1的零点个数方程|log0.5x|x的根的个数函数y1|log0.5x|与y2x的图象的交点个数作出两个函数的图象如图所示，由图可知两个函数图象有两个交点，故选B.二、填空题9若函数f(x)mx1在(0,1)内有零点，则实数m的取值范围是_考点函数零点存在性定理题点函数零点有关的参数取值范围答案m1解析f(0)1，要使函数f(x)mx1在(0,1)内有零点，需f(1)m10，即m1.10已知函数f(x)ax22axc(a0)的一个零点为1，则它的另一个零点为_考点函数零点的概念题点求函数的零点答案3解析设函数f(x)的两个零点为x1，x2，根据函数解析式，由一元二次方程根与系数的关系，得x1x22.又因为x11，所以x23.11若函数f(x)axxa(a0，且a1)有两个零点，则实数a的取值范围是_考点函数的零点与方程根的关系题点由函数零点个数求参数的取值范围答案(1，)解析函数f(x)的零点的个数就是函数yax与函数yxa的图象的交点的个数，如图，当a1时，两函数图象有两个交点；当0a1.三、解答题12求函数f(x)的零点考点函数零点的概念题点求函数的零点解当x0时，令2x40，得x2，满足要求；当x0时，令lgx0，得x1，满足要求所以函数f(x)的零点是2,1.13已知yf(x)是定义域为R的奇函数，当x0，)时，f(x)x22x.(1)写出函数yf(x)的解析式；(2)若方程f(x)a恰有3个不同的解，求a的取值范围考点函数的零点与方程根的关系题点由函数零点个数求参数的取值范围解(1)当x(，0)时，x(0，)，yf(x)是奇函数，f(x)f(x)(x)22(x)x22x，f(x)(2)当x0，)时，f(x)x22x(x1)21，最小值为1；当x(，0)时，f(x)x22x1(x1)2，最大值为1.据此可作出函数yf(x)的图象，如图所示，根据图象得，若方程f(x)a恰有3个不同的解，则a的取值范围是(1,1)四、探究与拓展14若函数f(x)3x25xa的一个零点在区间(2,0)内，另一个零点在区间(1,3)内，则实数a的取值范围是_考点函数的零点