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文档简介

三章 函数的应用章末复习课网络构建核心归纳1.函数的零点与方程的根的关系函数f(x)的零点就是方程f(x)0的解,函数f(x)的零点的个数与方程f(x)0的解的个数相等,也可以说方程f(x)0的解就是函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标,即函数f(x)的函数值等于0时自变量x的取值.因此方程的解的问题可以转化为函数问题来解决.讨论方程的解所在的大致区间可以转化为讨论函数的零点所在的大致区间,讨论方程的解的个数可以转化为讨论函数的零点的个数.2.函数零点存在性定理(1)该定理的条件是:函数f(x)在区间a,b上的图象是连续不断的;f(a)f(b)0时,f(x)2x6ln x.而f(1)216ln 140,所以f(1)f(3)0时,由f(x)0,得2x6ln x0,即ln x62x.如图,分别作出函数yln x和y62x的图象.显然,由图可知,两函数图象只有一个交点,且在y轴的右侧,故当x0时,f(x)0只有一个解.综上,函数f(x)共有2个零点.(2)由f(x)0得|2x2|b,在同一坐标系中作出函数y|2x2|和yb的图象,如图所示,由图可知,若f(x)有两个零点,则b的取值范围是(0,2).答案(1)2(2)(0,2)【训练1】已知关于x的方程a4xb2xc0(a0),常数a,b同号,b,c异号,则下列结论中正确的是()A.此方程无实根B.此方程有两个互异的负实根C.此方程有两个异号实根D.此方程仅有一个实根解析由常数a,b同号,b,c异号,可得a,c异号,令2xt,则方程变为at2btc0,t0,由于此方程的判别式b24ac0,故此方程有2个不等实数根,且两根之积为0,故关于t的方程只有一个实数根,故关于x的方程只有一个实数根.答案D要点二二分法求方程的近似解(或函数的零点)1.二分法求方程的近似解的步骤(1)构造函数,转化为求函数的零点.(2)明确精确度和函数的零点所在的区间(最好区间左右端点相差1).(3)利用二分法求函数的零点.(4)归纳结论.2.使用二分法的注意事项(1)二分法的实质是通过“取中点”,不断缩小零点所在区间的范围,所以要选好计算的初始区间,保证所选区间既符合条件,又使区间长度尽量小.(2)计算时注意依据给定的精确度,及时检验计算所得的区间是否满足精确度的要求.(3)二分法在具体使用时有一定的局限性,首先二分法只能一次求得一个零点,其次f(x)在(a,b)内有不变号零点时,不能用二分法求得.【例2】设函数f(x)x33x5,其图象在(,)上是连续不断的.先求值:f(0)_,f(1)_,f(2)_,f(3)_.所以f(x)在区间_内存在一个零点x0,填下表,区间中点mf(m)符号区间长度结论x0的值为多少?(精确度0.1)解f(0)5,f(1)1,f(2)9,f(3)31,所以初始区间为(1,2).区间中点mf(m)符号区间长度(1,2)1.51(1,1.5)1.250.5(1,1.25)1.1250.25(1.125,1.25)1.187 50.125(1.125,1.187 5)0.062 5因为|1.187 51.125|0.062 50,f(1.375)0.2600,函数f(x)在(1.375,1.438)内存在零点,又1.4381.3750得x28x70,解得1x7,15时,由8.2x0,得x8.2,所以5x8.2.综上,当1x0,即当产量x大于100台,小于820台时,能使工厂有盈利.(3)当0x5时,函数f(x)0.4(x4)23.6,当x4时,f(x)有最大值为3.6;当x5时,函数f(x)单调递减,f(x)f(5)3.2(万元).综上,当工厂生产4百台产品时,可使盈利最多,为3.6万元.【训练3】中华人民共和国个人所得税法规定,个人所得税起征点为3 500元(即3 500元以下不必纳税,超过3 500元的部分为当月应纳税所得额),应缴纳的税款按下表分段累计计算:全月应纳税所得额税率%不超过1 500元的部分3超过1 500元至4 500元部分10(1)列出公民全月工资总额x(0x8 000)元与当月应缴纳税款额y元的函数解析式;(2)刘丽十二月份缴纳个人所得税款300元,那么她当月工资总额是多少?解(1)依题意可得:当0x3 500时,y0.当3 500x5 000时,y(x3 500)3%0.03x105.当5 000x8 000时,y45(x5 000)10%0.1x455.综上可得y(2)因为需交税300元,故有5 000x0,f(3)lnln 20,所以f(x)在(2,3)内只有一个零点.答案B2.实数a,b,c是图象连续不断的函数yf(x)定义域中的三个数,且满足abc,f(a)f(b)0,f(c)f(b)0,则函数yf(x)在区间(a,c)上的零点个数为()A.2 B.奇数C.偶数 D.至少是2解析由零点存在性定理,f(a)f(b)0,f(c)f(b)0时,2x10有一个根,所以需使函数yexa(x0)有一个零点,即方程exa0(x0)有一个根,即aex.由x0,得ex1,0),故a1,0).答案D4.用二分法求方程x22的正实根的近似解(精确度0.001)时,如果选取初始区间是1.4,1.5,则要达到精确度要求至少需要计算_次.解析设至少需要计算n次,则n满足100,由于27128,故要达到精确度要求至少需要计算7次.答案75.方程|x22x|a21(a0)的解的个数是_.解析在同一个坐标系中作出函数y|x22x|和ya21的图象,如图所示,易知a211,由图知方程有2个解.答案26.方程x20在(,0)内是否存在实数解?并说明理由.解不存在.理由如下:因为当x0,所以x20恒成立,故不存在x(,0),使x20.7.某地的出租车价格规定:起步价为a元,可行3公里,3公里以上按每公里b元计算,可再行7公里;超过10公里按每公里c元计算(这里a,b,c规定为正的常数,且cb),假设不考虑堵车和红绿灯等所引起的费用,也不考虑实际收取费用去掉不足一元的零头等实际情况,即每一次乘车的车费由行车里程唯一确定.(1)若取a14,b2.4,c3.6,小明乘出租车从学校到家,共8公里,请问他应付出租车费多少元?(2)求车费y(元)与行车里程x(公里)之间的函数解析式yf(x).解(1)由题意可知,起步价(3公里以内)是14元,则这8公里内的前3公里的收费是14元,超过3公里而10公里以内每公里按2.4元计价,则835(公里)的收费是52.412(元),总共收费141226(元),故他应付出租车费26元.(2)3公里以内,即起步价是a元,即0x3时,ya(元);大于3公里而不超过10公里时,即310时,收费ya7b(x10)ccxa7b10c(元).所以y能力提升8.已知函数f(x)的图象如图所示,则它的一个可能的解析式为()A.y2 B.y4C.ylog3(x1) D.y解析由于图象过点(1,2),可排除C,D;由图象与直线y4无限接近,但到达不了,即y4,而y2可无限大,排除A,选B.答案B9.若函数f(x)是定义在R上的偶函数,在区间(,0上是减函数,且一个零点是2,则使得f(x)0的x的取值范围是()A.(,2 B.(,2(2,)C.(2,) D.(2,2)解析函数f(x)是定义在R上的偶函数,在(,0上是减函数,函数f(x)在0,)上为增函数,且f(2)f(2)0,作出函数f(x)的示意图,如图,则不等式f(x)0的解为2x2,故选D.答案D10.已知函数f(x)x2axa1的两个零点一个大于2,一个小于2,则实数a的取值范围是_.解析f(x)的两个零点一个大于2,一个小于2,f(2)0,222aa10,解得a1.答案(,1)11.在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分),则其边长x为_m.解析设内接矩形另一边长为y,则由相似三角形性质可得,解得y40x,所以面积Sx(40x)x240x(x20)2400(0x40),当x20时,Smax400.答案2012.某租赁公司拥有汽车100辆,当每辆车的月租金为3 000元时,可全部租出.当每辆车的月租金每增加50元时,未租出的车将会增加一辆,租出的车每辆每月需要维护费150元,未租出的车辆每月需要维护费50元.(1)当每辆车的月租金定为3 600元时,能租出多少辆车?(2)当每辆车的月租金定为多少元时,租赁公司的月收益最大?最大月收益是多少?解(1)租金增加了600元,所以未租出的车有12辆,一共租出了88辆.(2)设每辆车的月租金为x元(x3 000),租赁公司的月收益为y元,则yx50150162x21 000(x4 050)2307 050.当x4 050时,ymax307 050.所以每辆车的月租金定为4 050元时,租赁公司的月收益最大,为307 050元.13.(选做题)设aR,试讨论关于x的方程lg(x1)lg(3x)lg(ax)的实根的个数.解原方程等价于整理得x25x3a(1x或a1时,两个函数的图象无交点,故原方程无实数根;(2)当a或1a3时,两个函数的图象有一个交点,故原方程有一个实数根;(3)当3a时,两个函数的图象有两个交点,故原方程有两个实数根.章末检测(三)(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分)1.已知下列四个函数图象,其中能用“二分法”求出函数零点的是()解析由二分法的定义可知选A.答案A2.已知函数f(x)在区间a,b上单调,且f(a)f(b)0,则函数f(x)的图象与x轴在区间a,b内()A.至多有一个交点 B.必有唯一个交点C.至少有一个交点 D.没有交点解析f(a)f(b)0,f(b)0或者f(a)0,显然,在a,b内,必有一点c,使得f(c)0.又f(x)在区间a,b上单调,所以,这样的点只有一个,故选B.答案B3.若方程f(x)20在(,0)内有解,则yf(x)的图象是()解析A:与直线y2的交点是(0,2),不符合题意,故不正确;B:与直线y2无交点,不符合题意,故不正确;C:与直线y2只在区间(0,)上有交点,不符合题意,故不正确;D:与直线y2在(,0)上有交点,故正确.故选D.答案D4.甲、乙两人在一次赛跑中,从同一地点出发,路程s与时间t的函数关系如图所示,则下列说法正确的是()A.甲比乙先出发B.乙比甲跑的路程多C.甲、乙两人的速度相同D.甲比乙先到达终点解析由题图可知,甲到达终点用时短,故选D.答案D5.据统计某地区1月、2月、3月的用工人数分别为0.2万,0.4万和0.76万,则该地区这三个月的用工人数y万人关于月数x的函数关系近似的是()A.y0.2x B.y(x22x)C.y D.y0.2log16x解析当x1时,否定B;当x2时,否定D;当x3时,否定A,故选C.答案C6.若函数f(x)log3xx3的一个零点附近的函数值用二分法逐次计算的参考数据如下:f(2)0.369 1f(2.5)0.334 0f(2.25)0.011 9f(2.375)0.162 4f(2.312 5)0.075 6f(2.281 25)0.031 9那么方程x3log3x0的一个近似根(精确度为0.1)为()A.2.1 B.2.2 C.2.3 D.2.4解析由参考数据可知f(2.25)f(2.312 5)0,且|2.312 52.25|0.062 50.1,所以当精确度为0.1时,可以将2.3作为函数f(x)log3xx3零点的近似值,也即方程x3log3x0的根的近似值.答案C7.函数f(x)的零点个数为()A.1 B.2 C.3 D.4解析函数f(x)的零点个数,即为f(x)0的根的个数,f(x)0,即(x1)ln(x)0,x10或ln(x)0,x1或x1.解得x0,函数f(x)的定义域为x|x0,x1,即方程f(x)0只有一个根,函数f(x)的零点个数为1.故选A.答案A8.函数f(x)3xx2的零点所在的一个区间是()A.(2,1) B.(1,0) C.(0,1) D.(1,2)解析由已知可知,函数f(x)3xx2单调递增且连续,f(2)0,f(1)0,f(0)10,f(0)f(1)0);若不管资金如何投放,经销这两种商品或其中的一种商品所获得的纯利润总不少于5万元,则a的最小值应为()A. B.5 C. D.解析设投放x(0x20)万元经销甲商品,则投放(20x)万元经销乙商品,总利润yPQ,令y5,则5,a10,即a对0x20恒成立,而f(x)的最大值为,且x20时,a10也成立,amin.答案A11.已知函数f(x)|lg x|有两个零点x1,x2,则有()A.x1x21 D.0x1x20,分别画y2x和y|lg x|的图象,发现在(0,1)和(1,)上分别有一个交点,不妨设x1(0,1),x2(1,),那么在(0,1)上有2x1lg x1,即2x1lg x1.在(1,)上有2x2lg x2.相加有2x22x1lg x1x2,x2x1,2x22x1,即2x22x10,lg x1x20,0x1x210(其中n是任课教师所在班级学生参加高考该任课教师所任学科的平均成绩与该科省平均分之差,f(n)的单位为元),而k(n)现有甲、乙两位数学任课教师,甲所教的学生高考数学平均分超出省平均分18分,而乙所教的学生高考数学平均分超出省平均分21分.则乙所得奖励比甲所得奖励多()A.600元 B.900元 C.1 600元 D.1 700元解析k(18)200(元),f(18)200(1810)1 600(元).又k(21)300(元),f(21)300(2110)3 300(元),f(21)f(18)3 3001 6001 700(元).故选D.答案D二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分)13.如果函数f(x)x2mxm3的一个零点为0,则另一个零点是_.解析函数f(x)x2mxm3的一个零点为0,则f(0)0,m30,m3,则f(x)x23x,于是另一个零点是3.答案314.若方程|x24x|a0有四个不相等的实根,则实数a的取值范围是_.解析由|x24x|a0得a|x24x|,作出函数y|x24x|的图象,则由图象可知,要使方程|x24x|a0有四个不相等的实根,则0a4,故答案为(0,4).答案(0,4)15.将进货单价为8元的商品按10元一个销售,每天可卖出100个.若每个涨价1元,则日销售量减少10个.为获得最大利润,则此商品销售价应定为每个_元.解析设每个涨价x元,则实际销售价为(10x)元,销售的个数为10010x.则利润为y(10x)(10010x)8(10010x)10(x4)2360(0xx0时,有2xx2成立;对于函数yf(x),xa,b,若有f(a)f(b)x0时,有2xx2成立,故正确;对于,函数yf(x)的图象在区间a,b上不连续时,既使有f(a)f(b)0,f(x)在(a,b)内也不一定有零点.故错.答案三、解答题(本大题共6个小题,共70分)17.(10分)判断下列函数是否存在零点,如果存在,请求出.(1)f(x)8x27x1;(2)f(x)x2x2;(3)f(x)x31.解(1)因为f(x)8x27x1(8x1)(x1),令f(x)0,可解得x,或x1,所以函数f(x)的零点为和1.(2)因为f(x)x2x2,令x2x20,1241270,即0x1时,logx,解得x0,f(2)0,f(1)0,即f(3)f(2)0,ff(1)0,f(1)f(2)0,3个零点分别在区间(3,2),(1,2)内.20.(12分)燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬,研究燕子的科学家发现,两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v5log2,单位是m/s,其中Q表示燕子的耗氧量.(1)求燕子静止时的耗氧量是多少个单位;(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时,它的飞行速度是多少?解(1)由题知,当燕子静止时,它的速度v0,代入题给公式可得:05log2,解得Q10,即燕子静止时的耗氧量是10个单位.(2)将耗氧量Q80代入题给公式得:v5log25log2815(m/s),即当一只燕子的耗氧量是80个单位时,它的飞行速度为15 m/s.21.(12分)如图,直角梯形OABC位于直线xt(t0)右侧的图象的面积为f(t).(1)试求函数f(t)的解析式;(2)画出函数yf(t)的图象.解(1)当0t2时,f(t)S梯形OABCSODEtt8t2,当2t5时,f(t)S矩形DEBCDEDC2(5t)102t,所以f(t)(2)函数f(t)的图象如图所示.22.(12分)某服装厂生产一种服装,每件服装的成本为40元,出厂单价定为60元.该厂为鼓励销售商订购,决定当一次订购量超过100件时,每多订购一件,订购的全部服装的出厂单价就降低0.02元,根据市场调查,销售商一次订购量不会超过600件.(1)设一次订购x件,服装的实际出厂单价为p元,写出函数pf(x)的表达式;(2)当销售商一次订购多少件服装时,该厂获得的利润最大?其最大利润是多少?解(1)当0x100时,p60;当100x600时,p60(x100)0.02620.02x.p(2)设利润为y元,则当0x100时,y60x40x20x;当100x600时,y(620.02x)x40x22x0.02x2.y当0x100时,y20x是单调增函数,当x100时,y最大,此时y201002 000;当1002 000.当一次订购550件时,利润最大,最大利润为6 050元.模块检测(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分)1.已知全集U0,1,2,3,4,集合A1,2,3,B2,4,则(UA)B为()A.1,2,4 B.2,3,4C.0,2,4 D.0,2,3,4解析全集U0,1,2,3,4,集合A1,2,3,UA0,4,又B2,4,则(UA)B0,2,4.故选C.答案C2.可作为函数yf(x)的图象的是()解析由函数的定义可知:每当给出x的一个值,则f(x)有唯一确定的实数值与之对应,只有D符合.故正确答案为D.答案D3.同时满足以下三个条件的函数是()图象过点(0,1);在区间(0,)上单调递减;是偶函数A.f(x)(x1)22 B.f(x)3|x|C.f(x) D.f(x)x2解析A.若f(x)(x1)22,则函数图象关于x1对称,不是偶函数,不满足条件.B.若f(x)3|x|,则f(x)在区间(0,)上单调递增,不满足条件.C.若f(x),则三个条件都满足.D.若f(x)x2,则f(0)无意义,不满足条件.故选C.答案C4.设f(x)则f(f(2)等于()A.0 B.1 C.2 D.3解析f(2)log3(221)1,f(1)2e112,即f(f(2)2.答案C5.函数f(x)2x1log2x的零点所在区间是()A B.C. D.(1,2)解析函数f(x)2x1log2x,f1,f(1)1,ff(1)0,故连续函数f(x)的零点所在区间是,故选C.答案C6.幂函数yf(x)的图象经过点,则满足f(x)27的x的值是()A. B. C.3 D.3解析设幂函数为yx,因为图象过点,所以有(2),解得:3,所以幂函数解析式为yx3,由f(x)27,得:x327,所以x.答案A7.函数f(x)ln(3x2)的定义域为()A.(0,2 B.C.(1,2 D.解析由解得x2且x0,故f(x)的定义域为(0,2.答案A8.设a0.50.5,b0.30.5,clog0.30.2,则a,b,c的大小关系是()A.cab B.bacC.cba D.ab0.3,所以0.50.50.30.5,即ab,clog0.30.2log0.30.31,而10.500.50.5,所以ba0,且a1)在R上既是奇函数,又是减函数,则g(x)loga(xk)的图象是()解析由f(x)(k1)axax(a0,且a1)在R上既是奇函数,又是减函数,所以k2,0a1,再由对数的图象可知A正确.答案A10.定义在R上的函数f(x)满足f(x)f(x),f(x2)f(x2)且x(1,0)时,f(x)2x,则f(log220)等于()A.1 B. C.1 D.解析由f(x2)f(x2)f(x)f(x4),因为4log2205,所以0log22041,14log2200,所以f(log220)f(log2204)f(4log220)f2log21.故选A.答案A11.若f(x)是奇函数,且在(0,)上是增函数,又f(3)0,则(x1)f(x)0的解集是()A.(3,0)(1,) B.(3,0)(0,3)C.(,3)(3,) D.(3,0)(1,3)解析f(x)是R上的奇函数,且在(0,)内是增函数,在(,0)内f(x)也是增函数,又f(3)0,f(3)0,当x(,3)(0,3)时,f(x)0;(x1)f(x)0,或可解得3x0或1x0且a1时,函数f(x)ax23必过定点_.解析因为a01,故f(2)a032,所以函数f(x)ax23必过定点(2,2).答案(2,2)14.用二分法求函数yf(x)在区间(2,4)上的近似解,验证f(2)f(4)0,给定精确度0.01,取区间(2,4)的中点x13,计算得f(2)f(x1)0,则此时零点x0_(填区间).解析f(2)f(4)0,f(2)f(3)0,f(3)f(4)0,故x0(2,3).答案(2,3)15.设U1,2,3,4,5,6,7,8,9,(UA)B3,7,(UB)A2,8,(UA)(UB)1,5,6,则集合A_,B_.解析(UA)(UB)U(AB)1,5,6,所以AB2,3,4,7,8,9,又(UA)B3,7,(UB)A2,8,所以AB4,9,所以A2,4,8,9,B3,4,7,9.答案2,4,8,93,4,7,916.已知函数f(x)若关于x的方程f(x)k有两个不同的实根,则实数k的取值范围是_.解析关于x的方程f(x)k有两个不同的实根,等价于函数f(x)与函数yk的图象有两个不同的交点,作出函数的图象如图.由图可知实数k的取值范围是(1,2).答案(1,2)三、解答题(本大题共6个小题,共70分)17.(10分)计算下列各式的值:(1)1.580.25;(2)(log33)2log0.259log5log 1.解(1)原式12322.(2)原式1901.18.(12分)已知函数f(x)是R上的奇函数,当x(0,)时,f(x)2xx,求f(x)的解析式.解由题意,当x0时,f(x)0.x0时,f(x)2xx,当x0,f(x)2xx,又函数yf(x)是定义在R上的奇函数,x0且a1).(1)求函数F(x)f(x)g(x)的定义域;(2)判断F(x)f(x)g(x)的奇偶性,并说明理由;(3)确定x为何值时,有f(x)g(x)0.解(1)要使函数有意义,则有x.函数F(x)的定义域为.(2)由(1)知F(x)的定义域关于原点对称,又F(x)f(x)g(x)loga(2x1)loga(12x)F(x)

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