高中数学第三章变化率与导数3.1.1_3.1.2变化率问题、导数的概念学案(含解析)新人教A版.docx_第1页
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文档简介

3.1变化率与导数3.1.1变化率问题3.1.2导数的概念学习目标1.了解导数概念的实际背景.2.会求函数在某一点附近的平均变化率.3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数知识点一函数yf(x)从x1到x2的平均变化率假设如图是一座山的剖面示意图,并建立如图所示平面直角坐标系A是出发点,H是山顶爬山路线用函数yf(x)表示自变量x表示某旅游者的水平位置,函数值yf(x)表示此时旅游者所在的高度设点A的坐标为(x1,y1),点B的坐标为(x2,y2)思考1若旅游者从点A爬到点B,自变量x和函数值y的改变量分别是多少?答案自变量x的改变量为x2x1,记作x,函数值的改变量为y2y1,记作y.思考2怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度?AB与BC哪一段更陡峭?答案对山路AB来说,用可近似地刻画其陡峭程度BC更陡峭梳理(1)定义式:,叫函数f(x)在区间x1,x2上的平均变化率(2)实质:函数值的增量与自变量增量之比(3)作用:刻画函数值在区间x1,x2上变化的快慢(4)平均变化率的几何意义:设A(x1,f(x1),B(x2,f(x2)是曲线yf(x)上任意不同的两点,函数yf(x)的平均变化率为割线AB的斜率,如图所示特别提醒:x是变量x2在x1处的改变量,且x2是x1附近的任意一点,即xx2x10,但x可以为正,也可以为负知识点二函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率定义式实质瞬时变化率是当自变量的改变量趋近于0时,平均变化率趋近的值作用刻画函数在某一点处变化的快慢特别提醒:“x无限趋近于0”的含义x趋于0的距离要多近有多近,即|x0|可以小于给定的任意小的正数,且始终x0.知识点三导数的概念定义式记法f(x0)或y|xx0实质函数yf(x)在xx0处的导数就是yf(x)在xx0处的瞬时变化率1函数在某一点的导数与x值的正、负无关()2瞬时变化率是刻画某函数值在区间x1,x2上变化快慢的物理量()3在导数的定义中,x,y都不可能为零()类型一函数的平均变化率命题角度1求函数的平均变化率例1求函数y2x23在x0到x0x之间的平均变化率,并求当x02,x时该函数的平均变化率考点平均变化率的概念题点求平均变化率解当自变量从x0变化到x0x时,函数的平均变化率为4x02x.当x02,x时,平均变化率的值为4227.反思与感悟求平均变化率的主要步骤(1)先计算函数值的改变量yf(x2)f(x1)(2)再计算自变量的改变量xx2x1.(3)得平均变化率.跟踪训练1(1)已知函数f(x)x22x5的图象上的一点A(1,6)及邻近一点B(1x,6y),则_.(2)如图所示是函数yf(x)的图象,则函数f(x)在区间1,1上的平均变化率为_;函数f(x)在区间0,2上的平均变化率为_考点平均变化率的概念题点求平均变化率答案(1)x(2)解析(1)x.(2)函数f(x)在区间1,1上的平均变化率为.由函数f(x)的图象知,f(x)所以函数f(x)在区间0,2上的平均变化率为.命题角度2平均变化率的几何意义例2过曲线yf(x)x2x上的两点P(1,0)和Q(1x,y)作曲线的割线,已知割线PQ的斜率为2,求x的值考点平均变化率的概念题点平均变化率的应用解割线PQ的斜率即为函数f(x)从1到1x的平均变化率.yf(1x)f(1)(1x)2(1x)(121)x(x)2,割线PQ的斜率k1x.又割线PQ的斜率为2,1x2,x1.反思与感悟函数yf(x)从x1到x2的平均变化率的实质是函数yf(x)图象上两点P1(x1,f(x1),P2(x2,f(x2)连线P1P2的斜率,即kP1P2.跟踪训练2(1)甲、乙两人走过的路程s1(t),s2(t)与时间t的关系如图所示,则在0,t0这个时间段内,甲、乙两人的平均速度v甲,v乙的关系是()Av甲v乙Bv甲v乙Cv甲v乙D大小关系不确定(2)过曲线yf(x)图象上一点(2,2)及邻近一点(2x,2y)作割线,则当x0.5时割线的斜率为_考点平均变化率的概念题点平均变化率的应用答案(1)B(2)解析(1)设直线AC,BC的斜率分别为kAC,kBC,由平均变化率的几何意义知,s1(t)在0,t0上的平均变化率v甲kAC,s2(t)在0,t0上的平均变化率v乙kBC.因为kACkBC,所以v甲v乙(2)当x0.5时,2x2.5,故2y,故k.类型二求瞬时速度例3某物体的运动路程s(单位:m)与时间t(单位:s)的关系可用函数s(t)t2t1表示,则物体在t1s时的瞬时速度为_m/s.考点导数的概念题点瞬时速度答案3解3t, (3t)3.物体在t1处的瞬时变化率为3,即物体在t1s时的瞬时速度为3m/s.引申探究1若本例中的条件不变,试求物体的初速度解求物体的初速度,即求物体在t0时的瞬时速度1t, (1t)1.物体在t0处的瞬时变化率为1,即物体的初速度为1m/s.2若本例中的条件不变,试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9m/s.解设物体在t0时刻的瞬时速度为9m/s,(2t01)t, (2t01t)2t01,则2t019,t04.则物体在4s时的瞬时速度为9m/s.反思与感悟求运动物体瞬时速度的三个步骤(1)求时间改变量t和位移改变量ss(t0t)s(t0)(2)求平均速度.(3)求瞬时速度,当t无限趋近于0时,无限趋近于的常数v即为瞬时速度,即vs(t0)跟踪训练3一质点M按运动方程s(t)at21做直线运动(位移单位:m,时间单位:s),若质点M在t2s时的瞬时速度为8m/s,则常数a_.考点导数的概念题点瞬时速度答案2解析质点M在t2时的瞬时速度即为函数在t2处的瞬时变化率质点M在t2附近的平均变化率4aat,4a8,即a2.类型三求函数在某一点处的导数例4(1)设函数yf(x)在xx0处可导,且a,则f(x0)_.考点函数在某一点处的导数题点根据定义求函数在某点处的导数答案a解析(3)3f(x0)a,f(x0)a.(2)利用导数的定义求函数f(x)在x1处的导数考点函数在某一点处的导数题点根据定义求函数在某点处的导数解yf(1x)f(1)1,f(1).反思与感悟(1)求函数yf(x)在点x0处的导数的三个步骤简称:一差,二比,三极限(2)瞬时变化率的变形形式f(x0)跟踪训练4已知f(x)3x2,f(x0)6,求x0.考点函数在某一点处的导数题点根据导数值求坐标或参数解f(x0) (6x03x)6x0,又f(x0)6,6x06,即x01.1如果质点M按规律s3t2运动,则在时间段2,2.1中相应的平均速度是()A4B4.1C0.41D3考点平均变化率的概念题点求平均变化率答案B解析4.1.2.如图,函数yf(x)在A,B两点间的平均变化率是()A1B1C2D2考点平均变化率的概念题点求平均变化率答案A解析1.3设函数f(x)在点x0附近有定义,且有f(x0x)f(x0)axb(x)2(a,b为常数),则()Af(x)aBf(x)bCf(x0)aDf(x0)b考点函数在某一点处的导数题点根据定义求函数在某点处的导数答案C解析f(x0) (abx)a.4若一物体的运动方程为s7t28,则其在t_时的瞬时速度为1.考点导数的概念题点瞬时速度答案解析7t14t,当 (7t14t)14t1时,t.5已知函数f(x)在x1处的导数为2,则实数a的值是_考点函数在某一点处的导数题点根据导数值求坐标或参数答案2解析f(1)a.由题意知a2,a2.理解平均变化率要注意以下几点:(1)平均变化率表示点(x1,f(x1)与点(x2,f(x2)连线的斜率,是曲线陡峭程度的“数量化”(2)为求点x0附近的平均变化率,上述表达式常写为的形式(3)函数的平均变化率可以表现出函数的变化趋势自变量的改变量x取值越小,越能准确体现函数的变化情况利用导数定义求导数时要特别注意:(1)取极限前,要注意化简,保证使x0时分母不为0.(2)函数在x0处的导数f(x0)只与x0有关,与x无关一、选择题1f(x)2x1在1,2内的平均变化率为()A0B1C2D3考点平均变化率的概念题点求平均变化率答案C解析f(x)2x1在1,2内的平均变化率为2.2已知函数f(x)x2x的图象上一点(1,2)及邻近一点(1x,2y),则等于()A3B3x(x)2C3(x)2D3x考点平均变化率的概念题点求平均变化率答案D解析3x.3一质点运动的方程为s53t2,若该质点在时间段1,1t内相应的平均速度为3t6,则该质点在t1时的瞬时速度是()A3B3C6D6考点导数的概念题点瞬时速度答案D解析由平均速度和瞬时速度的关系可知,质点在t1时的瞬时速度为s (3t6)6.4若f(x0)2,则等于()A1B2CD.考点函数在某一点处的导数题点根据定义求函数在某点处的导数答案B解析f(x0)2.5.甲、乙两厂污水的排放量W与时间t的关系如图所示,则治污效果较好的是()A甲B乙C相同D不确定考点平均变化率的概念题点平均变化率的应用答案B解析在t0处,虽然W1(t0)W2(t0),但是在t0t处,W1(t0t)W2(t0t),即,所以在相同时间t内,甲厂比乙厂的平均治污率小所以乙厂的治污效果较好6设函数f(x)ax3,若f(1)3,则a等于()A2B2C3D3考点函数在某一点处的导数题点根据导数值求坐标或参数答案C解析f(1)a,f(1)3,a3.7若可导函数f(x)的图象过原点,且满足1,则f(0)等于()A2B1C1D2考点函数在某一点处的导数题点根据定义求函数在某点处的导数答案B解析f(x)的图象过原点,f(0)0,f(0)1.8物体的运动方程是s4t216t,在某一时刻的速度为0,则相应时刻为()At1Bt2Ct3Dt4考点导数的概念题点瞬时速度答案B解析设在t0时刻速度为0,s(t0) (8t0164t)8t0160,t02.二、填空题9.汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图所示,在时间段t0,t1,t1,t2,t2,t3上的平均速度分别为1,2,3,则三者的大小关系为_考点平均变化率的概念题点平均变化率的应用答案123解析1kOA,2kAB,3kBC,由图象知,kOAkAB0)上的平均变化率不大于1,求x的取值范围考点平均变化率的概念题点平均变化率的应用解函数f(x)在2,2x上的平均变化率为3x,由3x1,得x2.又x0,x的取值范围是(0,)13已知f(x)x2,g(x)x3,求适合f(x0)2g(x0)的x0的值考点函数在某一点处的导数题点根据导数值求坐标或参数解由导数的定义知,f(x0)2x0,g(x0)3x.因为f(x0)2g(x0),所以2x023x,即3x2x020.解得x0或x0.四、探究与拓展14函数yx2在x0到x0x(x0)之间的平均变化率为k1,在x0x到x0之间的平均变化率为k2,则k1与k2的大小关系是()Ak1k2Bk10,所以k1k2.15若一物体的运动方程如下(s单位:m,t

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