高中数学第三章导数在研究函数中的应用3.3.1函数的单调性与导数学案（含解析）新人教A版.docx

3.3导数在研究函数中的应用3.3.1函数的单调性与导数学习目标1.了解导数与函数单调性的关系.2.掌握利用导数判断函数单调性的方法.3.能利用导数求不超过三次多项式函数的单调区间知识点一函数的单调性与其导数正负的关系思考1f(x)x2在(，0)上为减函数，在(0，)上为增函数，那么f(x)在(，0)，(0，)上的函数值的大小如何？答案当x(，0)时，f(x)0.思考2yf(x)在区间(a，b)上的单调性与yf(x)在区间(a，b)上的函数值的正、负有何关系？答案在区间(a，b)上，f(x)0，则f(x)在(a，b)上为增函数；在区间(a，b)上，f(x)0单调递增f(x)0，则f(x)仍为增函数(减函数的情形完全类似)(2)f(x)为增函数的充要条件是对任意的x(a，b)都有f(x)0且在(a，b)内的任一非空子区间上f(x)不恒为0.知识点二函数的变化快慢与导数的关系一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得快，这时，函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数的图象就“平缓”一些1函数f(x)在定义域上都有f(x)0，则函数f(x)在定义域上单调递增()2函数在某一点的导数越大，函数在该点处的切线越“陡峭”()3函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上导数的绝对值越大()类型一原函数和导函数图象之间的关系例1已知函数yf(x)的图象如图所示，则函数yf(x)的图象可能是图中的()考点函数变化的快慢与导数的关系题点根据原函数图象确定导函数图象答案C解析由函数yf(x)的图象的增减变化趋势判断函数yf(x)的正、负情况如下表：x(1，b)(b，a)(a,1)f(x)f(x)由表分析函数yf(x)的图象：当x(1，b)时，函数图象在x轴下方；当x(b，a)时，函数图象在x轴上方；当x(a,1)时，函数图象在x轴下方故选C.反思与感悟对于原函数图象，要看其在哪个区间内单调递增，则在此区间内导数值大于零在哪个区间内单调递减，则在此区间内导数值小于零根据导数值的正负可判定导函数图象跟踪训练1函数yf(x)在定义域内可导，其图象如图所示，记yf(x)的导函数为yf(x)，则不等式f(x)0的解集是()A.2,3)B.C.)1,2D.考点函数变化的快慢与导数的关系题点根据原函数图象确定导函数图象答案A解析求f(x)0的解集，即求函数f(x)在上的单调减区间由题干图象可知yf(x)的单调减区间为，2,3)类型二利用导数求函数的单调区间例2求下列函数的单调区间(1)f(x)2x33x236x1；(2)f(x)3x22lnx.考点利用导数研究函数的单调性题点不含参数求单调区间解(1) f(x)6x26x36.由f(x)0，得6x26x360，解得x2；由f(x)0，解得3x0，即20，解得x.令f(x)0，即20，解得0x0和f(x)0的区间为增区间，定义域内满足f(x)0，(x2)20.由f(x)0，得x3，所以函数f(x)的单调递增区间为(3，)；由f(x)0，得x3.又函数f(x)的定义域为(，2)(2，)，所以函数f(x)的单调递减区间为(，2)和(2,3)类型三含参数函数的单调性例3若函数f(x)kxlnx在区间(1，)上单调递增，则k的取值范围是_考点利用函数单调性求变量题点已知函数单调性求参数答案1，)解析由于f(x)k，f(x)kxlnx在区间(1，)上单调递增，得f(x)k0在(1，)上恒成立因为k，而00时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为.2若f(x)kxlnx在区间(1，)上不单调，则k的取值范围是_答案(0,1)解析由引申探究1知k0，且1，则0k0(或f(x)0，f(x)的单调递增区间为(0，)；当a0时，f(x)，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(0，)(，)f(x)0f(x)递减递增由上表可知，函数f(x)的单调递减区间是(0，)；单调递增区间是(，)(2)由g(x)x22alnx，得g(x)2x，由已知函数g(x)为1,2上的减函数，则g(x)0在1,2上恒成立，即2x0在1,2上恒成立，即ax2在1,2上恒成立令h(x)x2，则h(x)2x0，解得x0，故选D.2设函数f(x)在定义域内可导，yf(x)的图象如图所示，则导函数yf(x)的图象可能为()考点函数变化的快慢与导数的关系题点根据原函数图象确定导函数图象答案D解析由f(x)的图象判断出f(x)在区间(，0)上单调递增；在(0，)上先增再减再增，在区间(，0)上f(x)0，在(0，)上先有f(x)0，再有f(x)0.只有D符合3yxlnx在(0,5)上是()A增函数B减函数C在上是减函数，在上是增函数D在上是增函数，在上是减函数考点利用导数研究函数的单调性题点根据导数判定函数的单调性答案C解析ylnx1，令y0，则x，当0x时，y时，y0，所以函数yxlnx在上为减函数，在上是增函数4已知函数f(x)x3ax在1，)上是增函数，则a的最小值是()A3B2C2D3考点利用函数单调性求变量题点已知函数单调性求参数答案A解析f(x)3x2a，函数f(x)x3ax在1，)上是增函数，f(x)3x2a0在1，)上恒成立，f(x)3x2a在1，)上是增函数，3x2a312a3a，3a0，a3.5判断函数yax31(aR)在(，)上的单调性考点利用导数研究函数的单调性题点求含参数函数的单调区间解y(ax31)3ax2.当a0时，y0，函数在R上单调递增；当a0和f(x)0在(0，)上恒成立，yxex在(0，)上为增函数对于A，C，D都存在x0，使y0恒成立即可，只有选项B符合题意，当x(，2)时，y0恒成立3函数f(x)xlnx的单调递减区间为()A(，1 B1，)C(0,1 D(0，)考点利用导数研究函数的单调性题点不含参数求单调区间答案C解析f(x)1(x0)，令f(x)0，解得00，所以在(4,5)上f(x)是增函数5函数yf(x)的图象如图所示，则导函数yf(x)的图象可能是()考点函数变化的快慢与导数的关系题点根据原函数图象确定导函数图象答案D解析函数f(x)在(，0)，(0，)上都是减函数，当x0时，f(x)0；当x0时，f(x)0.故选D.6函数f(x)ax3x在R上为减函数，则()Aa0Ba1Ca0时，显然不合题意，当a0时，成立故a0.7若f(x)，eaf(b)Bf(a)f(b)Cf(a)1考点利用导数研究函数的单调性题点比较函数值的大小答案A解析因为f(x)，当x(e，)时，1lnx0，所以f(x)f(b)，故选A.二、填空题8已知函数f(x)kex1xx2(k为常数)，曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线与x轴平行，则f(x)的单调递减区间为_考点利用导数研究函数的单调性题点求含参数函数的单调区间答案(，0)解析f(x)kex11x，曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线与x轴平行，f(0)ke110，解得ke，故f(x)exx1.令f(x)0，解得x0，故f(x)的单调递减区间为(，0)9函数f(x)的图象如图所示，f(x)为函数f(x)的导函数，则不等式0的解集为_考点函数变化的快慢与导数的关系题点根据原函数图象确定导函数图象答案(3，1)(0,1)解析由题图知，当x(，3)(1,1)时，f(x)0，故不等式0的解集为(3，1)(0,1)10已知f(x)在区间m，m1上是增函数，则实数m的取值范围是_考点利用函数单调性求变量题点已知函数单调性求参数答案1,0解析f(x)，当1x1时，f(x)0，即f(x)的单调递增区间是1,1，又f(x)在m，m1上是增函数，1m0，即实数m的取值范围是1,011已知函数f(x)x2axlnx，aR，若函数f(x)在1,2上是减函数，则实数a的取值范围是_考点利用函数单调性求变量题点已知函数单调性求参数答案解析f(x)2xa，因为函数f(x)在1,2上是减函数，所以f(x)0在1,2上恒成立(“”不恒成立)，即2xa0在1,2上恒成立，所以a2x在1,2上恒成立，令g(x)2x，则g(x)20，求证：xsinx.考点利用导数研究函数的单调性题点利用导数证明不等式证明设f(x)xsinx(x0)，则f(x)1cosx0对x(0，)恒成立，函数f(x)xsinx在(0，)上是单调增函数，又f(0)0，f(x)0对x(0，)恒成立，xsinx(x0)13已知函数f(x)x3bx2cxd的图象经过点P(0,2)，且在点M(1，f(1)处的切线方程为6xy70.(1)求函数yf(x)的解析式；(2)求函数yf(x)的单调区间考点利用导数研究函数的单调性题点求含参数函数的单调区间解(1)由yf(x)的图象经过点P(0,2)，知d2，f(x)x3bx2cx2，f(x)3x22bxc.由在点M(1，f(1)处的切线方程为6xy70，知6f(1)70，即f(1)1，f(1)6.即解得bc3.故所求的解析式是f(x)x33x23x2.(2)f(x)3x26x3.令f(x)0，得x1；令f(x)0，得1x1.故f(x)x33x23x2的单调递增区间为(，1)和(1，)，单调递减区间为(1，1)四、探究与拓展14函数f(x)的定义域为R，f(1)1，对任意xR，f(x)2x1的解集为()A(1,1) B(1，)C(，1) D(，)考点利用导数研究函数的单调性题点利用导数求解不等式答案C解析令g(x)f(x)2x1，则g(x)f(x)2g(1)0时，x0，即f(x)2x1的解集为(，1)15已知函数f(x)x3ax2(a1)x1(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若函数f(x)在区间(1,4)内为减函数，在区间(6，)内为增函数，求实数a的取值范围考点利用函数单调性求变量题点已知函数单调性求参数解(1)f(x)x2axa1(x1)x(a1)，令f(x)0，得x1