高中数学第一章1.3函数的基本性质1.3.2奇偶性（第2课时）奇偶性的应用学案（含解析）新人教A版.docx

第2课时奇偶性的应用学习目标1.掌握用奇偶性求解析式的方法.2.理解奇偶性对单调性的影响并能用以解不等式.3.了解函数的奇偶性的推广对称性知识点一用奇偶性求解析式如果已知函数的奇偶性和一个区间a，b上的解析式，想求关于原点的对称区间b，a上的解析式，其解决思路为：(1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设(2)要利用已知区间的解析式进行代入(3)利用f(x)的奇偶性写出f(x)或f(x)，从而解出f(x)特别提醒：若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数，则必有f(0)0，但若为偶函数，未必有f(0)0.知识点二奇偶性与单调性思考观察偶函数yx2与奇函数y在(，0)和(0，)上的单调性，你有何猜想？答案偶函数yx2在(，0)和(0，)上的单调性相反；奇函数y在(，0)和(0，)上的单调性相同梳理一般地，若函数f(x)为奇函数，则f(x)在关于原点对称的两个区间a，b和b，a上具有相同的单调性；若函数f(x)为偶函数，则f(x)在关于原点对称的两个区间a，b和b，a上具有相反的单调性知识点三奇偶性的推广一般地，对于定义域内任意x，(1)若f(ax)2bf(ax)，则f(x)的图象关于点(a，b)对称当ab0时，即为奇函数的定义(2)若f(ax)f(ax)，则f(x)的图象关于直线xa对称，当a0时，即为偶函数的定义1奇函数f(x)，当x0时的解析式与x0时，f(x)x1，求当x0时，f(x)的解析式考点函数奇偶性的应用题点利用奇偶性求函数的解析式解设x0，f(x)(x)1x1，又函数f(x)是定义域为R的奇函数，f(x)f(x)x1，当x0时，f(x)2xx2，求yf(x)的解析式考点函数奇偶性的应用题点利用奇偶性求函数的解析式解设x0，因为f(x)是奇函数，所以当x0对任意两个不相等的正实数x1，x2都成立，则下列不等式中，正确的是()Af(5)f(3) Bf(5)f(5) Df(3)f(5)考点抽象函数单调性与奇偶性题点抽象函数单调性与不等式结合问题答案C解析设0x1x2，则x1x20，得f(x1)f(x2)0，即f(x1)5，可得f(3)f(5)命题角度2由f(x)的取值情况推导x的取值情况例4已知偶函数f(x)在0，)上单调递减，f(2)0.若f(x1)0，则x的取值范围是_考点抽象函数单调性与奇偶性题点抽象函数单调性与不等式结合问题答案(1,3)解析f(x)为偶函数，f(x1)f(|x1|)，又f(2)0，f(x1)0，即f(|x1|)f(2)，|x1|,20，)，且f(x)在0，)上单调递减，|x1|2，即2x12，x的取值范围是(1,3)反思与感悟若f(x)在a，b上单调递增，则x1，x2a，b时，可由f(x1)f(x2)推知x10.考点抽象函数单调性与奇偶性题点抽象函数单调性与不等式结合问题解f(x)在0，)上单调递减且为奇函数，f(x)在(，)上单调递减，f(x1)f(2x3)0f(x1)f(2x3)f(2x3)x12x3，解得x0时，f(x)x1，则当x0时，f(x)等于()Ax1Bx1Cx1Dx1考点函数奇偶性的应用题点利用奇偶性求函数的解析式答案A3定义在R上的偶函数f(x)在0，)上是增函数，若f(a)f(b)，则一定可得()AabC|a|b|D0ab0考点抽象函数单调性与奇偶性题点抽象函数单调性与不等式结合问题答案C4已知对于函数f(x)x2ax定义域内任意x，有f(1x)f(1x)，则实数a_.考点函数图象的对称性题点轴对称问题答案25(2017沈阳检测)设f(x)是定义在R上的奇函数，且yf(x)的图象关于直线x对称，则f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)_.考点函数图象的对称性题点轴对称问题答案0解析f(x)是定义在R上的奇函数，f(0)0.又f(x)关于直线x对称，ff.在式中，当x时，f(0)f(1)0.在式中，以x代替x，得ff，即f(x)f(1x)f(2)f(11)f(1)f(1)0，f(3)f(12)f(2)f(2)0，同理，f(4)f(5)0.f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)0.1函数的奇偶性是其相应图象特殊对称性的反映，也体现了在关于原点对称的定义域的两个区间上函数值及其性质的相互转化，这是对称思想的应用这种对称推广，就是一般的中心对称或轴对称2(1)根据奇函数的定义，如果一个奇函数在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)0.有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数(2)偶函数的一个重要性质：f(|x|)f(x)，它能使自变量化归到0，)上，避免分类讨论3具有奇偶性的函数的单调性的特点(1)奇函数在a，b和b，a上具有相同的单调性(2)偶函数在a，b和b，a上具有相反的单调性一、选择题1设函数f(x)且f(x)为偶函数，则g(2)等于()A6B6C2D2考点函数奇偶性的应用题点利用奇偶性求函数的解析式答案A解析g(2)f(2)f(2)2226.2已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)g(x)x3x21，则f(1)g(1)等于()A3B1C1D3考点函数奇偶性的应用题点利用奇偶性求函数的解析式答案C解析f(x)g(x)x3x21，f(x)g(x)x3x21.f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，f(x)f(x)，g(x)g(x)f(x)g(x)x3x21.f(1)g(1)1111.3已知奇函数f(x)在区间0，)上单调递增，则满足f(x)f(1)的x的取值范围是()A(，1) B(，1)C(0,1) D1,1)考点抽象函数单调性与奇偶性题点抽象函数单调性与不等式结合问题答案A解析由于f(x)在0，)上单调递增，且是奇函数，所以f(x)在R上单调递增，f(x)f(1)等价于xf(0)f(1)Bf(3)f(1)f(0)Cf(1)f(0)f(3)Df(1)f(3)f(0)考点抽象函数单调性与奇偶性题点抽象函数单调性与不等式结合问题答案B解析f(3)f(3)，且f(x)在区间0，)上是增函数，f(3)f(1)f(0)5设f(x)是奇函数，当x0，)时，f(x)m(m0)，则f(x)的值域是()Am，m B(，mCm，) D(，mm，)考点函数奇偶性的应用题点利用奇偶性求函数的最值或值域答案D解析当x0时，f(x)m；当x0时，x0，所以f(x)m，因为f(x)是奇函数，所以f(x)f(x)m，即f(x)m.6定义在R上的函数f(x)在(，2)上是增函数，且f(x2)f(2x)对任意xR恒成立，则()Af(1)f(3) Bf(0)f(3)Cf(1)f(3) Df(0)f(3)考点函数图象的对称性题点轴对称问题答案A解析f(x)的图象关于直线x2对称，所以f(3)f(1)，由于f(x)在(，2)上是增函数，所以f(1)f(1)f(3)7设奇函数f(x)在(0，)上为减函数，且f(1)0，则不等式0的解集为()A(1,0)(1，)B(，1)(0,1)C(，1)(1，)D(1,0)(0,1)考点抽象函数单调性与奇偶性题点抽象函数单调性与不等式结合问题答案C解析f(x)为奇函数，0，即0，f(x)在(0，)上为减函数且f(1)0，当x1时，f(x)0.奇函数图象关于原点对称，在(，0)上f(x)为减函数且f(1)0，即x1时，f(x)0.综上使0的解集为(，1)(1，)8(2017南阳检测)设f(x)是R上的偶函数，且在(0，)上是减函数，若x10，则()Af(x1)f(x2)Bf(x1)f(x2)Cf(x1)f(x2)Df(x1)与f(x2)的大小不确定考点抽象函数单调性与奇偶性题点抽象函数单调性与不等式结合问题答案A解析x10，x2x10，又f(x)在(0，)上是减函数，f(x2)f(x1)，f(x)是偶函数，f(x2)f(x2)f(x1)二、填空题9若函数f(x)(k2)x2(k1)x3是偶函数，则f(x)的单调递减区间是_考点单调性与奇偶性的综合应用题点求奇偶函数的单调区间答案0，)解析利用函数f(x)是偶函数，得k10，k1，所以f(x)x23，其单调递减区间为0，)10已知偶函数f(x)在区间0，)上单调递增，则满足f(2x1)f的x的取值范围是_考点单调性与奇偶性的综合应用题点利用奇偶性、单调性解不等式答案解析由于f(x)是偶函数，因此f(x)f(|x|)，f(|2x1|)f，再根据f(x)在0，)上的单调性，得|2x1|，解得x0时，f(x)x22x3.(1)试求f(x)在R上的解析式；(2)画出函数的图象，根据图象写出它的单调区间考点单调性与奇偶性的综合应用题点求奇偶函数的单调区间解(1)因为函数f(x)的图象关于原点对称，所以f(x)为奇函数，则f(0)0.设x0，因为当x0时，f(x)x22x3.所以当x0时，f(x)f(x)(x22x3)x22x3.于是有f(x)(2)先画出函数在y轴右侧的图象，再根据对称性画出y轴左侧的图象，如图由图象可知函数f(x)的单调递增区间是(，1，1，)，单调递减区间是(1,0)，(0,1)13已知函数f(x)axc(a，b，c是常数)是奇函数，且满足f(1)，f(2).(1)求a，b，c的值；(2)试判断函数f(x)在区间上的单调性并证明考点单调性与奇偶性的综合应用题点判断或证明奇偶函数在某区间上的单调性解(1)f(x)为奇函数，f(x)f(x)，axcaxc，c0，f(x)ax.又f(1)，f(2)，a2，b.综上，a2，b，c0.(2)由(1)可知f(x)2x.函数f(x)在区间上为减函数证明如下：任取0x1x2，则f(x1)f(x2)2x12x2(x1x2)(x1x2).0x1x2，x1x20,4x1x210，f(x1)f(x2)f(x)在上为减函数四、探究与拓展14已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x0时，f(x)x24x，那么，不等式f(x2)5的解集是_考点单调性与奇偶性的综合应用题点利用奇偶性、单调性解不等式答案(7,3)解析因为f(x)为偶函数，所以f(|x2|)f(x2)，则f(x2)5可化为f(|x2|)5，则|x2|24|x2|5，即(|x2|1)(|x2|5)0，所以|x2|5，解得7x3，所以不等式f(x2)5的解集是(7,3)15已知函数yf(x)是定义在R上的奇函数，且当x0时，f(x)x2ax.(1)若a2，求函数f(x)的解析式；(2)若函数f(x)为R上的单调减函数，求a的取