高中数学第一章集合与函数概念1.2函数及其表示1.2.2函数的表示法第2课时分段函数及映射学案.docx

第2课时分段函数及映射学习目标1.理解分段函数的定义，并能解决简单的分段函数问题(重点).2.了解映射的概念以及它与函数的联系与区别(难点).知识点1分段函数分段函数的定义：(1)前提：在函数的定义域内；(2)条件：在自变量x的不同取值范围内，有着不同的对应关系；(3)结论：这样的函数称为分段函数.【预习评价】已知函数f(x)则f_，f_.解析由题意得f232，ff(2)2(2)31.答案21知识点2映射映射的定义：【预习评价】(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数是特殊的映射.()(2)在映射的定义中，对于集合B中的任意一个元素在集合A中都有一个元素与之对应.()(3)按照一定的对应关系，从集合A到集合B的映射与从集合B到集合A的映射是同一个映射.()提示(1)根据映射的定义，当映射中的集合是非空数集时，该映射就是函数，否则不是函数；(2)映射可以是“多对一”，但不可以是“一对多”；(3)从集合A到集合B的映射与从集合B到集合A的映射不是同一个映射.题型一映射的概念及应用【例1】(1)下列对应是从集合A到集合B的映射的是()A.AN*，BN*，f：x|x3|B.AN*，B1，1，2，f：x(1)xC.AZ，BQ，f：xD.AN*，BR，f：xx的平方根(2)已知映射f：AB，在f的作用下，A中的元素(x，y)对应到B中的元素(3x2y1，4x3y1)，求：A中元素(1，2)在f作用下与之对应的B中的元素；在映射f作用下，B中元素(1，1)对应的A中的元素.(1)解析对于选项A，由于A中的元素3在对应关系f的作用下与3的差的绝对值在B中找不到象，所以不是映射；对于选项B，对任意的正整数x，在集合B中有唯一的1或1与之对应，符合映射的定义；对于选项C，0在f下无意义，所以不是映射；对于选项D，正整数在实数集R中有两个平方根(互为相反数)与之对应，不满足映射的定义，故该对应不是映射.答案B(2)解由题意可知当x1，y2时，3x2y13(1)2216，4x3y14(1)3211，故A中元素(1，2)在f的作用下与之对应的B中的元素是(6，1).设在映射f作用下，B中元素(1，1)对应的A中的元素为(x，y)，则解之得，即对应的A中的元素为.规律方法1.判断一个对应是不是映射的两个关键(1)对于A中的任意一个元素，在B中是否有元素与之对应.(2)B中的对应元素是不是唯一的.2.求对应元素的两种类型及处理思路(映射f：AB)(1)若已知A中的元素a，求B中与之对应的元素b，这时只要将元素a代入对应关系f求解即可.(2)若已知B中的元素b，求A中与之对应的元素a，这时构造方程(组)进行求解即可，需注意解得的结果可能有多个.【训练1】下列各个对应中，构成映射的是()解析对于A，集合M中元素2在集合N中无元素与之对应，对于C，D，均有M中的一个元素与集合N中的两个元素对应，不符合映射的定义，故选B.答案B典例迁移题型二分段函数求值问题【例2】已知函数f(x)求f(5)，f(1)，f.解由5(，2，1(2，2)，(，2，知f(5)514，f(1)3158，fff35.【迁移1】(变换所求)例2条件不变，若f(a)3，求实数a的值.解当a2时，f(a)a13，即a22，不合题意，舍去；当2a2x，求x的取值范围.解当x2时，f(x)2x可化为x12x，即x1，所以x2；当2x2x可化为3x52x，即x5，所以2x2x可化为2x12x，则x.综上可得，x的取值范围是x|x2时，f(x0)2x08，x04.综上，x0或x04.答案或4题型三分段函数的图象及应用【例3】(1)已知f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式为_.(2)已知函数f(x)1(2x2).用分段函数的形式表示函数f(x)；画出函数f(x)的图象；写出函数f(x)的值域.(1)解析当0x1时，f(x)1；当1x2时，设f(x)kxb(k0)，则解得此时f(x)x2.综上，f(x)答案f(x)(2)解当0x2时，f(x)11，当2x0时，f(a)a24，所以a2(a2舍去)，故a4或a2.答案4或25.作出y的图象，并求y的值域.解y的图象如右图.由图象可知y的值域为7，7.课堂小结1.对分段函数的理解(1)分段函数是一个函数而非几个函数.分段函数的定义域是各段上“定义域”的并集，其值域是各段上“值域”的并集.(2)分段函数的图象应分段来作，特别注意各段的自变量取值区间端点处函数的取值情况，以决定这些点的虚实情况.2.函数与映射的关系映射f：AB，其中A，B是两个“非空集合”，而函数yf(x)，xA，集合A为“非空的实数集”，其值域也是实数集.于是，函数是数集到数集的映射.由此可知，映射是函数的推广，函数是一种特殊的映射.基础过关1.设函数f(x)则f的值为()A. B.C. D.18解析当x1时，f(x)x2x2，则f(2)22224，；当x1时，f(x)1x2，ff1.故选A.答案A2.已知集合A0，4，B0，2，按照对应关系f不能成为从集合A到集合B的一个映射的是()A.f：xyx B.f：xyx2C.f：xy D.f：xy|x2|解析A，C，D均满足映射的定义，B不满足集合A中任一元素在集合B中都有唯一元素与之对应，如A中元素0在B中无元素与之对应.答案B3.函数f(x)x的图象是()解析f(x)故选C.答案C4.设函数f(x)若f(f(a)2，则a_.解析若a0，则f(a)a20，f(f(a)(a22a2)22，此方程无解.综上，a.答案5.已知ABR，xA，yB，f：xyaxb，55且711，若x20，则x_.解析由题意知所以y3x10，由3x1020，得x10.答案106.已知函数f(x)(1)求f(f(f(5)的值；(2)画出函数的图象.解(1)因为54，所以f(5)523.因为30，所以f(f(5)f(3)341.因为011或x1时，f(x)1x，即x0，a11.f(a)f(a1)，2(a11)，解得a，ff(4)2(41)6，故选C.答案C10.如图所示，函数图象是由两条射线及抛物线的一部分组成，则函数的解析式为_.解析当x1时，设f(x)kxb，由f(0)b2，f(1)kb1，得b2，k1，即f(x)x2；同理可得当x3时f(x)x2；当1x3时，由图可设f(x)a(x2)22，a0时，1a1，2(1a)a1a2a，解得a(舍去)；当a1，1a1，1a2a22aa，解得a.答案12.已知函数f(x)(1)求f(1)，f，f(4)的值；(2)求函数的定义域、值域.解(1)易知f(1)0，f，f(4)3.(2)作出图象如图所示.利用“数形结合”，易知f(x)的定义域为1，)，值域为(1，23.13.(选做题)“水”这个曾经被人认为取之不尽用之不竭的资源，竟然到了严重制约我国经济发展，严重影响人民生活的程度.因为缺水，每年给我国工业造成的损失达2 000亿元，给我国农业造成的损失达1 500亿元，严重缺水困扰全国三分之二的城市.为了节约用水，某市打算出台一项水费政策，规定每季度每人用水量不超过5吨时，每吨水费1.2元，若超过5吨而不超过6吨时，超过部分的水费加收200%，若超过6吨而不超过7吨时，超过部分的水费加收400%