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文档简介

3.1函数与方程3.1.1方程的根与函数的零点学习目标1.理解函数零点的定义,会求某些函数的零点(重点).2.掌握函数零点的判定方法(重、难点).3.了解函数的零点与方程的根的联系(重点).知识点1函数的零点(1)概念:函数f(x)的零点是使f(x)0的实数x.(2)函数的零点与函数的图象与x轴的交点、对应方程的根的关系:【预习评价】(1)函数f(x)x24x的零点是_.(2)若2是函数f(x)a2xlog2x的零点,则a_.解析(1)令f(x)0,即x24x0,解得x0或x4,所以f(x)的零点是0,4.(2)由f(2)4a10得a.答案(1)0,4(2)知识点2函数零点的判断(1)条件:函数yf(x)在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线;f(a)f(b)0.(2)结论:函数yf(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c(a,b),使得f(c)0,这个c也就是方程f(x)0的根.【预习评价】(正确的打“”,错误的打“”)(1)设f(x),由于f(1)f(1)0,所以f(x)在(1,1)内有零点()(2)若函数f(x)在(a,b)内有零点,则f(a)f(b)0.()(3)若函数f(x)的图象在区间a,b上是一条连续不断的曲线,且f(a)f(b)0.(3)反例:f(x)x(x1)(x2),区间为(1,3),满足条件,但f(x)在(1,3)内有0,1,2三个零点.题型一函数零点的概念及求法【例1】(1)函数y1的零点是()A.(1,0) B.x1 C.x1 D.x0(2)设函数f(x)21x4,g(x)1log2(x3),则函数f(x)的零点与g(x)的零点之和为_.(3)若3是函数f(x)x2mx的一个零点,则m_.解析(1)令10,解得x1,故选B.(2)令f(x)21x40,解得x1,即f(x)的零点为1.令g(x)1log2(x3)0,解得x1,即g(x)的零点为1,所以函数f(x)的零点与g(x)的零点之和为2.(3)由f(3)323m0解得m3.答案(1)B(2)2(3)3规律方法函数零点的两种求法(1)代数法:求方程f(x)0的实数根,若存在实数根,则函数存在零点,否则函数不存在零点.(2)几何法:与函数yf(x)的图象联系起来,图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点.【训练1】函数f(x)axb有一个零点是2,那么函数g(x)bx2ax的零点是_.解析函数f(x)axb有一个零点是2,2ab0b2a,g(x)bx2ax2ax2axax(2x1).ax(2x1)0x0,x,函数g(x)bx2ax的零点是0,.答案0,题型二确定函数零点的个数【例2】判断下列函数零点的个数.(1)f(x)x2x;(2)f(x)ln xx23.解(1)由f(x)0,即x2x0,得40,所以方程x2x0没有实数根,即f(x)零点的个数为0.(2)法一函数对应的方程为ln xx230,所以原函数零点的个数即为函数yln x与y3x2的图象交点个数.在同一直角坐标系下,作出两函数的图象(如图).由图象知,函数y3x2与yln x的图象只有一个交点.从而方程ln xx230有一个根,即函数yln xx23有一个零点.法二由于f(1)ln 112320,所以f(1)f(2)0,且x1)的图象有两个交点.故函数f(x)ln x的零点有2个.答案C题型三判断函数零点所在的区间【例3】(1)二次函数f(x)ax2bxc的部分对应值如下表:x32101234y6m4664n6不求a,b,c的值,判断方程ax2bxc0的两根所在区间是()A.(3,1)和(2,4) B.(3,1)和(1,1)C.(1,1)和(1,2) D.(,3)和(4,)(2)已知函数f(x)log2x,在下列区间中,包含f(x)零点的区间是()A.(0,1) B.(1,2)C.(2,4) D.(4,)解析(1)易知f(x)ax2bxc的图象是一条连续不断的曲线,又f(3)f(1)6(4)240,f(2)3log2220,f(4)20,由零点存在性定理,可知包含f(x)零点的区间是(2,4).答案(1)A(2)C规律方法确定函数f(x)零点所在区间的常用方法(1)解方程法:当对应方程f(x)0易解时,可先解方程,再看求得的根是否落在给定区间上.(2)利用函数零点存在性定理:首先看函数yf(x)在区间a,b上的图象是否连续,再看是否有f(a)f(b)0.若f(a)f(b)0,所以方程2x24x30有两个不相等的实根,即f(x)有两个零点.答案C2.函数f(x)4x2x2的零点是()A.(1,0) B.1 C. D.1解析由f(x)4x2x2(2x2)(2x1)0得2x2,解得x1.答案B3.函数f(x)2x的零点所在的区间是()A.(1,) B.C. D.解析f(1)211,f2220,即ff(1)0,f(2)2332590),且g(1).(1)求证:函数g(x)有两个零点;(2)讨论函数g(x)在区间(0,2)内的零点个数.(1)证明g(1)abc,3a2b2c0,cab.g(x)ax2bxab,b24a(2ab)22a2.a0,0恒成立,故函数f(x)有两个零点.(2)解根据g(0)c,g(2)4a2bc,又由(1)知3a2b2c0,g(2)ac.()当c0时,有g(0)0,又a0,g(1)0,故函数g(x)在区间(0,1)内有一个零点,故在区间(0,2)内至少有一个零点.()当c0时,g(1)0,函数f(x)在区间(1,2)内有一零点,综合()(),可知函数g(x)在区间(0,2)内至少有一个零点.能力提升8.偶函数f(x)在区间0,a(a0)上是单调函数,且f(0)f(a)0,则方程f(x)0在区间a,a内根的个数是()A.1 B.2 C.3 D.0解析由函数零点存在性定理可知,函数f(x)在区间0,a只有一个零点,设为x0,则f(x0)0,又因为f(x)为偶函数,所以f(x0)f(x0)0,即x0是函数在a,0内唯一的零点,故方程f(x)0在区间a,a内根的个数为2.答案B9.方程lg x82x的根x(k,k1),kZ,则k等于()A.2 B.3 C.4 D.5解析令f(x)lg x2x8,则函数f(x)在(0,)上单调递增,且在(0,)上连续.因为f(1)60,f(2)lg 240,f(3)lg 320,所以f(3)f(4)0,函数零点所在的区间是(3,4),所以k3.答案B10.若abc,则函数f(x)(xa)(xb)(xb)(xc)(xc)(xa)的两个零点分别位于区间()A.(a,b)和(b,c)内B.(,a)和(a,b)内C.(b,c)和(c,)内D.(,c)和(c,)内解析f(x)(xa)(xb)(xb)(xc)(xc)(xa),f(a)(ab)(ac),f(b)(bc)(ba),f(c)(ca)(cb).ab0,f(b)0.f(x)的两个零点分别位于区间(a,b)和(b,c)内.故选A.答案A11.设x1,x2,x3依次是方程logx2x,log2(x2),2xx2的实根,则x1,x2,x3的大小关系为_.解析logxx2,令ylogx与yx2,在同一坐标系中作出ylogx与yx2的图象,如图.由图形可知,两图象交点横坐标x1满足1x12.同理作出ylog2(x2)与y的图象,如图.由图形可知,两图象交点的横坐标x2满足1x20.作出y2x与yx2的图象,如图.由图形可知,两图象交点的横坐标x3满足0x31.综上可述,x2x3x1.答案x2x30,即412(1m)0,可解得m.由0,可解得m;由.故当m时,函数无零点.(2)由题意知0是对应方程的根,故有1m0,可解得m1.13.(选做题)已知二次函数f(x)满足:f(0)3,f(x1)f(x)2x.(1)求函数f(x)的解析式;(2)令g(x)f(|x|)m(mR),若函数g(x)有4个零点,求实数m的取值范围.解(1)设f(x)ax2bxc(a0),f(0)3,c3,f(x)ax2bx3.f(x1

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