高中数学第三章导数在研究函数中的应用3.3.3函数的最大小值与导数学案（含解析）新人教A版.docx

3.3.3函数的最大(小)值与导数学习目标1.理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系.2.会求某闭区间上函数的最值知识点一函数f(x)在闭区间a，b上的最值如图为yf(x)，xa，b的图象思考1观察a，b上函数yf(x)的图象，试找出它的极大值、极小值答案极大值为f(x1)，f(x3)，极小值为f(x2)，f(x4)思考2结合图象判断，函数yf(x)在区间a，b上是否存在最大值，最小值？若存在，分别为多少？答案存在，f(x)minf(a)，f(x)maxf(x3)思考3函数yf(x)在a，b上的最大(小)值一定是某极值吗？答案不一定，也可能是区间端点的函数值梳理函数f(x)在闭区间a，b上的图象是一条连续不断的曲线，则该函数在a，b上一定能够取得最大值与最小值，函数的最值必在端点处或极值点处取得知识点二求函数yf(x)在a，b上的最值的步骤(1)求函数yf(x)在(a，b)内的极值(2)将函数yf(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值知识点三最值与极值的区别与联系(1)极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言(2)在函数的定义区间内，极大(小)值可能有多个，但最大(小)值只有一个(或者没有)(3)函数f(x)的极值点为定义域中的内点，而最值点可以是区间的端点(4)对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点取得如图是yf(x)在区间a，b上的函数图象，显然f(x1)，f(x3)，f(x5)为极大值，f(x2)，f(x4)，f(x6)为极小值最大值yMf(x3)f(b)分别在xx3及xb处取得，最小值ymf(x4)在xx4处取得1函数的最大值一定是函数的极大值()2开区间上的单调连续函数无最值()3函数f(x)在区间a，b上的最大值和最小值一定在两个端点处取得()类型一求函数的最值例1求下列各函数的最值(1)f(x)4x33x236x5，x2，)；(2)f(x)xsinx，x0，2考点利用导数求函数的最值题点不含参数的函数求最值解(1)f(x)12x26x36，令f(x)0，得x12，x2.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x2f(x)00f(x)57由于当x时，f(x)0，所以f(x)在上为增函数因此，函数f(x)在2，)上只有最小值，无最大值(2)f(x)cosx，令f(x)0，又x0，2，解得x或x.计算得f(0)0，f(2)，f，f.所以当x0时，f(x)有最小值f(0)0；当x2时，f(x)有最大值f(2).反思与感悟求解函数在固定区间上的最值，需注意以下几点：(1)对函数进行准确求导，并检验f(x)0的根是否在给定区间内(2)研究函数的单调性，正确确定极值和端点函数值(3)比较极值与端点函数值大小，确定最值跟踪训练1求函数f(x)ex(3x2)，x2，5的最值考点利用导数求函数的最值题点不含参数的函数求最值解f(x)3exexx2，f(x)3ex(exx22exx)ex(x22x3)ex(x3)(x1)在区间2，5上，f(x)ex(x3)(x1)0，函数f(x)在区间2，5上单调递减，当x2时，函数f(x)取得最大值f(2)e2；当x5时，函数f(x)取得最小值f(5)22e5.例2已知函数f(x)(xk)ex.(1)求f(x)的单调区间；(2)求f(x)在区间0,1上的最小值考点含参数的函数最值问题题点含参数的函数求最值解(1)由f(x)(xk)ex，得f(x)(xk1)ex，令f(x)0，得xk1.当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如下表：x(，k1)k1(k1，)f(x)0f(x)ek1所以，f(x)的单调递减区间是(，k1)；单调递增区间是(k1，)(2)当k10，即k1时，函数f(x)在0,1上单调递增所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(0)k，当0k11，即1k2时，由(1)知f(x)在0，k1)上单调递减，在(k1,1上单调递增，所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(k1)ek1.当k11，即k2时，函数f(x)在0,1上单调递减所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(1)(1k)e.综上可知，当k1时，f(x)mink；当1k0，求f(x)在m,2m上的最大值考点含参数的函数最值问题题点含参数的函数求最值解(1)f(x)1，令f(x)0，得x21lnx.显然x1是上面方程的解令g(x)x2lnx1，x(0，)，则g(x)2x0，函数g(x)在(0，)上单调递增，x1是方程f(x)0的唯一解当0x0；当x1时，f(x)0，函数f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减(2)由(1)知函数f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减当02m1，即0m时，f(x)在m,2m上单调递增，f(x)maxf(2m)2m.当m1时，f(x)在m,2m上单调递减，f(x)maxf(m)m.当m12m，即m0时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x1(1,0)0(0,2)2f(x)0f(x)7abb16ab由表可知，当x0时，f(x)取得极大值b，也是函数f(x)在1,2上的最大值，f(0)b3.又f(1)7a3，f(2)16a3f(1)，f(2)16a329，解得a2.当af(1)，f(2)16a293，解得a2.综上可得，a2，b3或a2，b29.反思与感悟已知函数在某区间上的最值求参数的值(范围)是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值点，根据已知最值列方程(不等式)解决问题其中注意分类讨论思想的应用跟踪训练3设af(a)，f(1)f(1)，故需比较f(0)与f(1)及f(1)与f(a)的大小因为f(0)f(1)a10，所以f(x)的最大值为f(0)b1.又f(1)f(a)(a1)2(a2)0，所以f(x)的最小值为f(1)1aba，所以a，a.所以a，b1.类型三与最值有关的恒成立问题例4已知函数f(x)x3ax2bxc在x与x1处都取得极值(1)求a，b的值及函数f(x)的单调区间(2)若对任意x1,2，不等式f(x)c2恒成立，求c的取值范围考点函数最值的应用题点恒成立中参数的取值范围解(1)由f(x)x3ax2bxc，得f(x)3x22axb，因为f(1)32ab0，fab0，解得a，b2，所以f(x)3x2x2(3x2)(x1)，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x1(1，)f(x)00f(x)极大值极小值所以函数f(x)的单调递增区间为和(1，)；单调递减区间为.(2)由(1)知，f(x)x3x22xc，x1,2，当x时，fc为极大值，因为f(2)2c，所以f(2)2c为最大值要使f(x)f(2)2c，解得c2.故c的取值范围为(，1)(2，)反思与感悟不等式恒成立问题常用的解题方法跟踪训练4已知函数f(x)xlnx若对所有x1都有f(x)ax1，求实数a的取值范围题点函数最值的应用题点恒成立中参数的取值范围解(1)f(x)的定义域为(0，)，f(x)1lnx，令f(x)0，解得x；令f(x)0，解得0x1时，g(x)0，故g(x)在(1，)上是增函数，所以g(x)的最小值是g(1)1.因此ag(x)ming(1)1，故a的取值范围为(，1.1函数f(x)exx在区间1,1上的最大值是()A1B1Ce1De1考点利用导数求函数的最值题点不含参数的函数求最值答案C解析由题意得f(x)ex1.令f(x)0，得x0.当x1,0)时，f(x)0.所以f(x)在1,0)上单调递减，在(0,1上单调递增又因为f(1)1，f(1)e1，所以f(1)f(1)2e0，所以f(1)f(1)所以f(x)maxf(1)e1.2函数f(x)x33x(|x|1)()A有最大值，但无最小值B有最大值，也有最小值C无最大值，但有最小值D既无最大值，也无最小值考点函数最值的应用题点最值存在性问题答案D解析f(x)3x233(x1)(x1)，当x(1,1)时，f(x)0，c或ce时，y0；当0x0，所以y极大值y|xee1，在定义域内只有一个极值，所以ymaxe1.3已知函数f(x)，g(x)均为a，b上的可导函数，在a，b上连续且f(x)g(x)，则f(x)g(x)的最大值为()Af(a)g(a) Bf(b)g(b)Cf(a)g(b) Df(b)g(a)考点利用导数求函数的最值题点抽象函数的最值答案A解析令F(x)f(x)g(x)，f(x)g(x)，F(x)f(x)g(x)CmDm考点函数最值的应用题点恒成立中参数的取值范围答案A解析f(x)2x36x2，令f(x)0，得x0或x3，验证可知x3是函数的最小值点，故f(x)minf(3)3m，由f(x)90恒成立，得f(x)9恒成立，即3m9，m.5已知函数yx22x3在区间a,2上的最大值为，则a等于()AB.CD.或考点含参数的函数最值问题题点知最值求参数答案C解析当a1时，最大值为4，不符合题意当1a2时，f(x)在a,2上是减函数，所以f(x)maxf(a)，即a22a3，解得a或a(舍去)6若函数f(x)x36bx3b在(0,1)内有最小值，则实数b的取值范围为()A(0,1) B(，1)C(0，) D.考点函数最值的应用题点最值存在性问题答案D解析由题意得函数f(x)x36bx3b的导函数f(x)3x26b在(0,1)内有零点，且f(0)0，即6b0，0b0)，则y2t.当0t时，y时，y0，可知y在内单调递增故当t时，|MN|有最小值二、填空题9函数f(x)(x2,2)的最大值是_，最小值是_考点利用导数求函数的最值题点不含参数的函数求最值答案22解析f(x)，令f(x)0，得x11，x21.由f(2)，f(1)2，f(1)2，f(2)，得f(x)max2，f(x)min2.10若函数f(x)(a0)在1，)上的最大值为，则a的值为_考点含参数的函数最值问题题点知最值求参数答案1解析f(x)，当x(，)时，f(x)0，f(x)为单调递增函数，当x(，)时，f(x)0，f(x)为单调递减函数若1，即01，即a1时，f(x)在1，)上单调递增，在(，)上递减，所以f(x)maxf()，a(舍去)故a1.11已知函数f(x)ex2xa有零点，则a的取值范围是_考点函数极值的应用题点函数的零点与方程的根答案(，2ln22解析f(x)ex2.令f(x)0，解得xln2.当x(，ln2)时，f(x)0.f(x)minf(ln2)22ln2a.由题意知，22ln2a0，可得a2ln22.三、解答题12已知函数f(x)x3ax23x.(1)若f(x)在1，)上是增函数，求实数a的取值范围；(2)若x3是f(x)的极值点，求f(x)在1，a上的最大值和最小值考点含参数的函数最值问题题点含参数的函数求最值解(1)f(x)3x22ax3，当x1，)时，f(x)0恒成立，amin3(当且仅当x1时取等号)，a3，即实数a的取值范围为(，3(2)由题意知f(3)0，即276a30，a5，f(x)x35x23x，f(x)3x210x3.令f(x)0，得x13，x2(舍去)当1x3时，f(x)0，当3x0，即当x3时，f(x)取得极小值f(3)9.又f(1)1，f(5)15，f(x)在1,5上的最小值是f(3)9，最大值是f(5)15.13设f(x)lnx，g(x)f(x)f(x)(1)求g(x)的单调区间和最小值(2)求a的取值范围，使得g(a)g(x)0成立考点函数最值的应用题点恒成立中参数的取值范围解(1)由题设知f(x)的定义域为(0，)，f(x)，所以g(x)lnx，所以g(x).令g(x)0，得x1，当x(0,1)时，g(x)0，故(1，)是g(x)的单调递增区间因此x1是g(x)在(0，)上的唯一极值点，且为极小值点，也是最小值点，所以最小值为g(1)1.(2)因为g(a)g(x)0成立，即lna0成立由(1)知，g(x)的最小值为1，所以lna1，解得0aBkCk考点函数最值的应用题点恒成立中参数的取值范围答案D解析命题等价于当x3,3时，(x2k1)0恒成立，即kx3x2x.设g(x)x3x2x，则g(x)x2x(3x)(1x)由g(x)0，得1x3；由g(x)0，得3x.15已知函数f(x)lnx.(1)当a0时，求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在1，e上的最小值是，求a的值考点含参数的函数最值问题题点知最值求参数解函数f(x)lnx的定义域为(0，)，f(x)，(1)a0，故函数在其定义域(0，)上单调递增(2)当