高中数学第三章导数及其应用章末复习学案（含解析）新人教A版.docx

导数及其应用章末复习学习目标1.理解导数的几何意义并能解决有关斜率、切线方程等问题.2.掌握初等函数的求导公式，并能够综合运用求导法则求函数的导数.3.掌握利用导数判断函数单调性的方法，会用导数求函数的极值和最值.4.会用导数解决一些简单的实际应用问题1在xx0处的导数(1)定义：函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率是，我们称它为函数yf(x)在xx0处的导数(2)几何意义：函数yf(x)在xx0处的导数是函数图象在点(x0，f(x0)处的切线斜率2导函数当x变化时，f(x)便是x的一个函数，我们称它为f(x)的导函数(简称导数)，f(x)yli.3基本初等函数的导数公式原函数导函数yc(c为常数)y0yx(Q*)yx1ysinxycos_xycosxysin_xyaxyaxln_a(a0)yexyexylogaxy(a0且a1)ylnxy4.导数的运算法则和差的导数f(x)g(x)f(x)g(x)积的导数f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)商的导数(g(x)0)5.函数的单调性、极值与导数(1)函数的单调性与导数在某个区间(a，b)内，如果f(x)0，那么函数yf(x)在这个区间内单调递增；如果f(x)0，那么函数yf(x)在这个区间内单调递减(2)函数的极值与导数极大值：在点xa附近，满足f(a)f(x)，当x0，当xa时，f(x)0，则点a叫做函数的极大值点，f(a)叫做函数的极大值；极小值：在点xa附近，满足f(a)f(x)，当xa时，f(x)a时，f(x)0，则点a叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值6求函数yf(x)在a，b上的最大值与最小值的步骤(1)求函数yf(x)在(a，b)内的极值(2)将函数yf(x)的各极值与端点处函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.类型一导数几何意义的应用例1设函数f(x)x3ax29x1(a0)，直线l是曲线yf(x)的一条切线，当l的斜率最小时，直线l与直线10xy6平行(1)求a的值；(2)求f(x)在x3处的切线方程考点切线方程求解及应用题点求曲线的切线方程解(1)f(x)x22ax9(xa)2a29，f(x)mina29，由题意知a2910，a1或1(舍去)故a1.(2)由(1)得a1.f(x)x22x9，则kf(3)6，f(3)10.f(x)在x3处的切线方程为y106(x3)，即6xy280.反思与感悟利用导数求切线方程时关键是找到切点，若切点未知需设出常见的类型有两种，一类是求“在某点处的切线方程”，则此点一定为切点，易求斜率进而写出直线方程即可得；另一类是求“过某点的切线方程”，这种类型中的点不一定是切点，可先设切点为Q(x1，y1)，由f(x1)和y1f(x1)求出x1，y1的值，转化为第一种类型跟踪训练1已知直线ykx是曲线yex的切线，则实数k的值为()A.BCeDe考点切线方程求解及应用题点根据切点或切线斜率求值答案D解析yex，设切点为(x0，y0)，则x0，x01，ke.类型二函数的单调性与导数例2已知函数f(x)(x2ax2a23a)ex(xR)，其中aR.(1)当a0时，求曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线的斜率；(2)试求f(x)的单调区间考点利用导数研究函数的单调性题点求含参数函数的单调区间解(1)当a0时，f(x)x2ex，f(x)(x22x)ex，故f(1)3e.即曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线的斜率为3e，(2)f(x)x2(a2)x2a24aex.令f(x)0，解得x2a或xa2，当2aa2，即a时，f(x)0，f(x)在R上单调递增当2a时，则当x(，2a)或x(a2，)时，f(x)0，故f(x)在(，2a)，(a2，)上为增函数，当x(2a，a2)时，f(x)a2，即a0，故f(x)在(，a2)，(2a，)上为增函数当x(a2，2a)时，f(x)0，f(x)在(a2，2a)上为减函数综上所述，当a时，f(x)的增区间为(，2a)，(a2，)，减区间为(2a，a2)反思与感悟(1)关注函数的定义域，单调区间应为定义域的子区间(2)已知函数在某个区间上的单调性时转化要等价(3)分类讨论求函数的单调区间实质是讨论不等式的解集(4)求参数的范围时常用到分离参数法跟踪训练2已知函数f(x)x3ax1.(1)若f(x)在R上单调递增，求a的取值范围；(2)是否存在实数a，使f(x)在(1,1)上单调递减，若存在，求出a的取值范围，若不存在，请说明理由考点利用函数单调性求变量题点已知函数单调性求参数解(1)求导得f(x)3x2a，因为f(x)在R上是增函数，所以f(x)0在R上恒成立即3x2a0在R上恒成立即a3x2，而3x20，所以a0.当a0时，f(x)x31在R上单调递增，符合题意所以a的取值范围是(，0(2)假设存在实数a，使f(x)在(1,1)上单调递减，则f(x)0在(1,1)上恒成立即3x2a0在(1,1)上恒成立，即a3x2，又因为在(1,1)上，03x23，所以a3.当a3时，f(x)3x23，在(1,1)上，f(x)0，所以f(x)在(1,1)上单调递减，即a3符合题意所以存在实数a，使f(x)在(1,1)上单调递减，且a的取值范围是3，)类型三函数的极值、最值与导数例3已知函数f(x)x2alnx.(1)若a1，求函数f(x)的极值，并指出是极大值还是极小值；(2)若a1，求函数f(x)在1，e上的最大值和最小值；(3)若a1，求证：在区间1，)上，函数f(x)的图象在函数g(x)x3的图象的下方考点导数的综合应用题点导数的综合应用(1)解由于函数f(x)的定义域为(0，)，当a1时，f(x)x，令f(x)0，得x1或x1(舍去)，当x(0,1)时，f(x)0，函数f(x)单调递增，所以f(x)在x1处取得极小值，且极小值为.(2)解当a1时，f(x)x2lnx，f(x)x0，则函数f(x)在1，e上为增函数，所以f(x)minf(1)，f(x)maxf(e)e21.(3)证明设F(x)f(x)g(x)x2lnxx3，则F(x)x2x2，当x1时，F(x)0，故F(x)在区间1，)上是减函数，又F(1)0，所以在区间1，)上，F(x)0恒成立即f(x)g(x)恒成立因此，当a1时，在区间1，)上，函数f(x)的图象在函数g(x)的图象的下方反思与感悟(1)已知极值点求参数的值后，要代回验证参数值是否满足极值的定义(2)讨论极值点的实质是讨论函数的单调性，即f(x)的正负(3)求最大值要在极大值与端点值中取最大者，求最小值要在极小值与端点值中取最小者跟踪训练3已知函数f(x)exaxa(aR且a0)(1)若函数f(x)在x0处取得极值，求实数a的值，并求此时f(x)在2,1上的最大值；(2)若函数f(x)不存在零点，求实数a的取值范围考点导数的综合应用题点导数的结合应用解(1)函数f(x)的定义域为R，f(x)exa，f(0)e0a0，a1.f(x)ex1，在(，0)上，f(x)0，f(x)单调递增，当x0时，f(x)取极小值，a1.f(x)在2,0上单调递减，在(0,1上单调递增，且f(2)3，f(1)e，f(2)f(1)，f(x)在2,1的最大值为3.(2)f(x)exa，由于ex0.当a0时，f(x)0，f(x)是增函数，且当x1时，f(x)exa(x1)0.当x0时，取x，则f1aa0，函数f(x)存在零点，不满足题意当a0时，令f(x)exa0，则xln(a)在(，ln(a)上，f(x)0，f(x)单调递增，当xln(a)时，f(x)取最小值函数f(x)不存在零点，等价于f(ln(a)eln(a)aln(a)a2aaln(a)0，解得e2a0.综上所述，所求的实数a的取值范围是(e2，0).1曲线y在点(1，1)处的切线方程为()Ay2x1By2x1Cy2x3Dy2x2考点切线方程求解及应用题点求曲线的切线方程答案A解析y，ky|x12，切线方程为y12(x1)，即y2x1.2函数yln的大致图象为()考点导数的综合应用题点导数的综合应用答案D解析yln(x1)的图象关于x1对称，当x1时，yln(x1)为减函数3对于R上可导的任意函数f(x)，若满足(x1)f(x)0，则必有()Af(0)f(2)2f(1)Cf(0)f(2)2f(1)Df(0)f(2)2f(1)考点利用导数研究函数的单调性题点比较函数值的大小答案D解析若f(x)不恒为0，则当x1时，f(x)0，当xf(1)，f(1)2f(1)若f(x)0恒成立，则f(2)f(0)f(1)综合，知f(0)f(2)2f(1)4体积为16的圆柱，它的半径为_时，圆柱的表面积最小考点几何类型的优化问题题点面积的最值问题答案2解析设圆柱底面半径为r，母线长为l.16r2l，即l，则S表面积2r22rl2r22r2r2，由S4r0，得r2.当r2时，S0；当r2时，S0)，则f(x)(x0)令f(x)0，解得x1(舍)或x5.当x(0,5)时，f(x)0，故f(x)在(5，)内为增函数所以函数f(x)在x5时取得极小值f(5)ln5.1利用导数的几何意义可以求出曲线上任意一点处的切线方程yy0f(x0)(xx0)明确“过点P(x0，y0)的曲线yf(x)的切线方程”与“在点P(x0，y0)处的曲线yf(x)的切线方程”的异同点2借助导数研究函数的单调性，经常同三次函数，一元二次不等式结合，融分类讨论、数形结合于一体3利用导数求解优化问题，注意自变量中的定义域，找出函数关系式，转化为求最值问题一、选择题1已知曲线yf(x)x22x2在点M处的切线与x轴平行，则点M的坐标是( )A(1,3) B(1，3)C(2，3) D(2,3)考点切线方程求解及应用题点根据切点或切线斜率求值答案B解析令f(x)2x20，解得x1.又f(1)(1)22(1)23，M(1，3)2函数f(x)(0x0，得0xe，则f(x)在(0，e)上为增函数；令f(x)0，得ex0的解集为()A(，0)(1,2)B(1,2)C(，1)D(，1)(2，)考点利用导数研究函数的单调性题点利用导数求解不等式答案A解析不等式xf(x)0等价于当x0时，f(x)0，即x0时，函数递增，此时1x2；或者当x0时，f(x)0，即当x0时，函数递减，此时x0的解集为(，0)(1,2)6已知函数f(x)x32ax23x(a0)的导数f(x)的最大值为5，则在函数f(x)图象上的点(1，f(1)处的切线方程是()A3x15y40B15x3y20C15x3y20D3xy10考点切线方程求解及应用题点求曲线的切线方程答案B解析f(x)2x24ax32(xa)232a2，f(x)max32a25，又a0，a1.f(x)2x24x3，f(1)2435，又f(1)23，所求切线方程为y5(x1)即15x3y20.7.函数f(x)ax3bx2cxd的图象如图，则函数yax2bx的单调递增区间是()A(，2 B.C2,3D.考点函数极值的应用题点函数极值在函数图象上的应用答案D解析不妨取a1，f(x)x3bx2cxd，f(x)3x22bxc，由题图可知f(2)0，f(3)0，124bc0,276bc0，b，c18.yx2x6，y2x，当x时，y0.yax2bx的单调递增区间为.故选D.8设函数yf(x)在(a，b)上的导函数为f(x)，f(x)在(a，b)上的导函数为f(x)，若在(a，b)上，f(x)0恒成立，则称函数f(x)在(a，b)上为“凸函数”已知当m2时，f(x)x3mx22x2在(1,2)上是“凸函数”，则f(x)在(1,2)上()A既没有最大值，也没有最小值B既有最大值，也有最小值C有最大值，没有最小值D没有最大值，有最小值考点函数最值的应用题点最值存在性问题答案A解析f(x)x2mx2，f(x)xm，由题意知当1x2时，f(x)xm0，a0.11已知f(x)(2xx2)ex，给出以下四个结论：f(x)0的解集是x|0x02xx200x2，所以正确由f(x)(2xx2)ex，得f(x)(2x2)ex，令f(x)0，得到x1，x2，因为在(，)和(，)上f(x)0，所以f(x)单调递增，所以f()是极小值，f()是极大值，故正确；由题意知，f()为最大值，且无最小值，故错误，正确，故正确的为.三、解答题12已知曲线yx3x2在点P0处的切线l1与直线4xy10平行，且点P0在第三象限(1)求P0的坐标；(2)若直线ll1，且l也过切点P0，求直线l的方程考点切线方程求解及应用题点求曲线的切线方程解(1)由yx3x2，得y3x21，由已知得3x214，解得x1.当x1时，y0；当x1时，y4.又点P0在第三象限，切点P0的坐标为(1，4)(2)直线ll1，l1的斜率为4，直线l的斜率为.l过切点P0，点P0的坐标为(1，4)，直线l的方程为y4(x1)，即x4y170.13已知函数f(x)x3axb(a，bR)在x2处取得极小值.(1)求函数f(x)的增区间；(2)若f(x)m2m对x4,3恒成立，求实数m的取值范围考点函数最值的应用题点恒成立中参数的取值范围解(1)由已知得f(2)，f(2)0，又f(x)x2a，所以解得则f(x)x34x4.令f(x)x240，得x2，所以增区间为(，2)，(2，)(2)由(1)知f(x)x34x4，所以f(4)，f(2)，f(2)，f(3)1，则当x4,3时，f(x)的最大值为，故要使f(x)m2m对x4,3恒成立，只要m2m，解得m2或m3.所以实数m的取值范围是(，32，)四、探究与拓展14若函数f(x)xsin2xasinx在(，)上单