高中数学第一章集合与函数概念1.3函数的基本性质1.3.2奇偶性学案（含解析）新人教版.docx

1.3.2奇偶性学习目标1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义(难点).2.掌握判断函数奇偶性的方法，了解奇偶性与函数图象对称性之间的关系(重点).3.会利用函数的奇偶性解决简单问题(重点).知识点函数的奇偶性函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)是偶函数关于y轴对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)是奇函数关于原点对称【预习评价】(正确的打“”，错误的打“”)(1)对于函数yf(x)，若存在x，使f(x)f(x)，则函数yf(x)一定是奇函数.()(2)不存在既是奇函数，又是偶函数的函数.()(3)若函数的定义域关于原点对称，则这个函数不是奇函数，就是偶函数.()提示(1)反例：f(x)x2，存在x0，f(0)f(0)0，但函数f(x)x2不是奇函数；(2)存在f(x)0，xR既是奇函数，又是偶函数；(3)函数f(x)x22x，xR的定义域关于原点对称，但它既不是奇函数，又不是偶函数.题型一函数奇偶性的判断【例1】判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)2|x|；(2)f(x)；(3)f(x)；(4)f(x)解(1)函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，又f(x)2|x|2|x|f(x)，f(x)为偶函数.(2)函数f(x)的定义域为1，1，关于原点对称，且f(x)0，又f(x)f(x)，f(x)f(x)，f(x)既是奇函数又是偶函数.(3)函数f(x)的定义域为x|x1，不关于原点对称，f(x)是非奇非偶函数.(4)f(x)的定义域是(，0)(0，)，关于原点对称.当x0时，x0，f(x)1(x)1xf(x)；当x0，f(x)1(x)1xf(x).综上可知，对于任意x(，0)(0，)，都有f(x)f(x)，故f(x)为偶函数.规律方法判断函数奇偶性的两种方法：(1)定义法：(2)图象法：【训练1】判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)x3x5；(2)f(x)|x1|x1|；(3)f(x).解(1)函数的定义域为R，关于原点对称.又f(x)(x)3(x)5(x3x5)f(x)，f(x)是奇函数.(2)f(x)的定义域是R，关于原点对称.又f(x)|x1|x1|x1|x1|f(x)，f(x)是偶函数.(3)函数f(x)的定义域是(，1)(1，)，不关于原点对称，f(x)是非奇非偶函数.题型二奇、偶函数的图象问题【例2】已知奇函数f(x)的定义域为5，5，且在区间0，5上的图象如图所示.(1)画出f(x)在区间5，0上的图象；(2)写出使f(x)0的x的取值集合.解(1)因为函数f(x)是奇函数，所以yf(x)在5，5上的图象关于原点对称.由yf(x)在0，5上的图象，可知它在5，0上的图象，如图所示.(2)由图象知，使函数值f(x)0的x的取值集合为(2，0)(2，5).规律方法1.巧用奇偶性作函数图象的步骤(1)确定函数的奇偶性.(2)作出函数在0，)(或(，0)上对应的图象.(3)根据奇(偶)函数的图象关于原点(y轴)对称得出在(，0(或0，)上对应的函数图象.2.奇偶函数图象的应用类型及处理策略(1)类型：利用奇偶函数的图象可以解决求值、比较大小及解不等式问题.(2)策略：利用函数的奇偶性作出相应函数的图象，根据图象直接观察.【训练2】已知偶函数f(x)的一部分图象如图，试画出该函数在y轴另一侧的图象，并比较f(2)，f(4)的大小.解f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称，如图，由图象知，f(2)f(4).考查方向题型三函数奇偶性的应用方向1利用奇偶性求函数值【例31】已知f(x)x5ax3bx8，若f(3)10，则f(3)()A.26 B.18C.10 D.26解析法一由f(x)x5ax3bx8，得f(x)8x5ax3bx.令G(x)x5ax3bxf(x)8，G(x)(x)5a(x)3b(x)(x5ax3bx)G(x)，G(x)是奇函数，G(3)G(3)，即f(3)8f(3)8.又f(3)10，f(3)f(3)16101626.法二由已知条件，得得f(3)f(3)16，又f(3)10，f(3)26.答案D方向2利用奇偶性求参数值【例32】若函数f(x)为奇函数，则a_.解析f(x)是奇函数，f(x)f(x)，即，显然x0，整理得x2(a1)xax2(a1)xa，故a10，解得a1.答案1方向3利用奇偶性求函数的解析式【例33】已知函数f(x)(xR)是奇函数，且当x0时，f(x)2x1，求函数f(x)的解析式.解设x0，则x0，f(x)2(x)12x1.又f(x)是奇函数，f(x)f(x)，f(x)2x1.又f(x)(xR)是奇函数，f(0)f(0)，即f(0)0.所求函数的解析式为f(x)规律方法1.利用函数的奇偶性求函数值或参数值的方法：利用函数的奇偶性的定义f(x)f(x)或f(x)f(x)可求函数值，比较f(x)f(x)或f(x)f(x)的系数可求参数值.2.利用函数奇偶性求函数解析式的步骤(1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设；(2)转化到已知区间上，代入已知的解析式；(3)利用f(x)的奇偶性写出f(x)或f(x)，从而解出f(x).课堂达标1.下列函数是偶函数的是()A.yx B.y2x23C.y D.yx2，x(1，1解析对于A，f(x)xf(x)，是奇函数；对于B，定义域为R，满足f(x)f(x)，是偶函数；对于C和D，定义域不关于原点对称，则不是偶函数，故选B.答案B2.若函数f(x)(m1)x2(m2)x(m27m12)为偶函数，则m的值是()A.1 B.2 C.3 D.4解析f(x)(m1)x2(m2)x(m27m12)，f(x)(m1)x2(m2)x(m27m12)，由f(x)f(x)，得m20，即m2.答案B3.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x(，0)时，f(x)2x3x2，则f(2)_.解析f(2)f(2)2(8)412.答案124.如图，已知偶函数f(x)的定义域为x|x0，xR，且f0，则不等式f(x)0的解集为_.解析由条件利用偶函数的性质，画出函数f(x)在R上的简图(如图).数形结合可得不等式f(x)0时，f(x)x1，求f(x)的解析式.解当x0，f(x)x1，又f(x)f(x)，故f(x)x1.当x0时，由f(0)f(0)，得f(0)0，f(x)课堂小结1.定义域关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的一个必要条件，f(x)f(x)或f(x)f(x)是定义域上的恒等式.2.奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据.为了便于判断函数的奇偶性，有时需要先将函数进行化简，或应用定义的等价形式：f(x)f(x)f(x)f(x)01(f(x)0).3.应用函数的奇偶性求值、参数或函数的解析式，要根据函数奇偶性的定义，利用f(x)f(x)或f(x)f(x)对函数值及函数解析式进行转换.基础过关1.函数f(x)x的图象关于()A.y轴对称 B.直线yx对称C.坐标原点对称 D.直线yx对称解析f(x)的定义域为x|x0，关于原点对称，又f(x)xf(x)，f(x)x是奇函数，f(x)的图象关于原点对称，故选C.答案C2.设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是()A.f(x)g(x)是偶函数 B.|f(x)|g(x)是奇函数C.f(x)|g(x)|是奇函数 D.|f(x)g(x)|是奇函数解析f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，|f(x)|为偶函数，|g(x)|为偶函数.再根据两个奇函数的积是偶函数、两个偶函数的积还是偶函数、一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数，可得f(x)|g(x)|为奇函数，故选C.答案C3.一个偶函数定义在区间7，7上，它在0，7上的图象如图，下列说法正确的是()A.这个函数仅有一个单调增区间B.这个函数有两个单调减区间C.这个函数在其定义域内有最大值是7D.这个函数在其定义域内有最小值是7解析根据偶函数在0，7上的图象及其对称性，作出在7，7上的图象，如图所示，可知：这个函数有三个单调增区间；这个函数有三个单调减区间；这个函数在其定义域内有最大值是7；这个函数在其定义域内最小值不是7.故选C.答案C4.若f(x)(xa)(x4)为偶函数，则实数a_.解析由f(x)(xa)(x4)得f(x)x2(a4)x4a，若f(x)为偶函数，则a40，即a4.答案45.已知函数f(x)是奇函数，当x(，0)时，f(x)x2mx，若f(2)3，则m的值为_.解析因为f(x)是奇函数，f(2)3，所以f(2)f(2)3，即f(2)(2)22m3，解得m.答案6.判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)；(2)f(x)(x1).解(1)f(x)的定义域为(，)，关于原点对称，且f(x)f(x)，故f(x)是奇函数.(2)f(x)的定义域为1，)，不关于原点对称，所以f(x)既不是奇函数，也不是偶函数.7.已知f(x)是R上的奇函数，且当x0时，f(x)x2x1.(1)求f(x)的解析式；(2)作出函数f(x)的图象(不用列表)，并指出它的增区间.解(1)设x0，所以f(x)(x)2(x)1x2x1.又因为函数f(x)是奇函数，所以f(x)f(x)，所以f(x)f(x)x2x1.当x0时，由f(0)f(0)，得f(0)0，所以f(x)(2)作出函数图象，如图所示.由函数图象易得函数的增区间为，.能力提升8.定义两种运算：ab，ab，则函数f(x)为()A.奇函数 B.偶函数C.奇函数且为偶函数 D.非奇函数且非偶函数解析f(x)，由解得2x2且x0，所以f(x)，易得f(x)f(x)，所以f(x)是奇函数.答案A9.已知f(x)ax2bx是定义在a1，2a上的偶函数，那么ab的值是()A. B. C. D.解析依题意得：f(x)f(x)，b0，又a12a，a，ab.故选B.答案B10.已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)g(x)x3x21，则f(1)g(1)_.解析在f(x)g(x)x3x21中，令x1，得f(1)g(1)1，即f(1)g(1)1.答案111.函数f(x)为R上的偶函数，且当x0时，f(x)_.解析当x0时，x0时，x0，则f(x)(x)33(x)21x33x21(x33x21)f(x).当x0，则f(x)