高中数学第三章两角和与差的正弦、余弦和正切公式3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式学案.docx

31.3二倍角的正弦、余弦、正切公式学习目标1.会用两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式.2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换并能灵活地将公式变形运用知识点一二倍角公式的推导思考1二倍角的正弦、余弦、正切公式就是用的三角函数表示2的三角函数的公式根据前面学过的两角和与差的正弦、余弦、正切公式，你能推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式吗？答案sin2sin()sincoscossin2sincos；cos2cos()coscossinsincos2sin2；tan2tan()(k，2k，kZ)思考2根据同角三角函数的基本关系式sin2cos21，你能否只用sin或cos表示cos2？答案cos2cos2sin2cos2(1cos2)2cos21；或cos2cos2sin2(1sin2)sin212sin2.知识点二二倍角公式的变形1公式的逆用2sincossin2，sincossin2，cos2sin2cos_2，tan2.2二倍角公式的重要变形升幂公式和降幂公式升幂公式1cos22cos2，1cos22sin2，1cos2cos2,1cos2sin2.降幂公式cos2，sin2.1sin2sincos.()2cos4cos22sin22.()3对任意角，tan2.()提示公式中所含各角应使三角函数有意义如及，上式均无意义.类型一给角求值例1(1)计算：cos2sin2；考点应用二倍角公式化简求值题点利用余弦的二倍角公式化简求值解原式cos.(2)计算：；考点应用二倍角公式化简求值题点利用正切的二倍角公式化简求值解222.(3)计算：cos20cos40cos80.考点应用二倍角公式化简求值题点利用正弦的二倍角公式化简求值解原式2sin 20cos 20cos 40cos 80sin 40cos 40cos 80sin 80cos 80sin 160.反思与感悟对于给角求值问题，一般有两类(1)直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角(2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式跟踪训练1(1)coscoscos的值为()A.BC.D考点应用二倍角公式化简求值题点利用正弦的二倍角公式化简求值答案D解析coscoscoscos.(2)cos2_；考点应用二倍角公式化简求值题点利用余弦的二倍角公式化简求值答案解析原式cos.类型二给值求值例2(1)若sincos，则sin2_.考点应用二倍角公式化简求值题点综合应用二倍角公式化简求值答案解析(sincos)2sin2cos22sincos1sin22，即sin212.(2)若tan，则cos22sin2等于()A.B.C1D.考点应用二倍角公式化简求值题点综合应用二倍角公式化简求值答案A解析cos22sin 2.把tan 代入，得cos22sin 2.故选A.引申探究在本例(1)中，若改为sincos，求sin2.解由题意，得(sin cos)2，12sin cos，即1sin 2，sin 2.反思与感悟(1)条件求值问题常有两种解题途径：对题设条件变形，把条件中的角、函数名向结论中的角、函数名靠拢；对结论变形，将结论中的角、函数名向题设条件中的角、函数名靠拢，以便将题设条件代入结论(2)一个重要结论：(sin cos)21sin 2.跟踪训练2(1)(2017石家庄高一检测)若sin()，且，则sin2的值为()ABC.D.考点二倍角的正弦、余弦、正切公式题点利有二倍角公式求二倍角的正弦值答案A解析因为sin()，所以sin，又因为，所以cos，所以sin22sincos2.(2)已知为锐角，若cos，则cos_.考点应用二倍角公式化简求值题点综合应用二倍角公式化简求值答案解析因为为锐角，cos0，所以为锐角，sin，则sin2sincos2.又cossin，所以cos.类型三利用二倍角公式化简证明例3(1)化简：.考点应用二倍角公式化简求值题点利用二倍角公式化简三角函数式解方法一原式tan .方法二原式tan .(2)求证：tan2.考点三角恒等式的证明题点三角恒等式的证明证明左边tan 2右边反思与感悟三角函数式化简、证明的常用技巧(1)特殊角的三角函数与特殊值的互化(2)对于分式形式，应分别对分子、分母进行变形处理，有公因式的提取公因式后进行约分(3)对于二次根式，注意二倍角公式的逆用(4)利用角与角之间的隐含关系，如互余、互补等(5)利用“1”的恒等变形，如tan 451，sin2cos21等跟踪训练3为第三象限角，则_.考点应用二倍角公式化简求值题点利用二倍角公式化简三角函数式答案0解析为第三象限角，cos0，sin0，0.1(2017山东)已知cosx，则cos2x等于()AB.CD.考点二倍角的正弦、余弦、正切公式题点利用二倍角公式求二倍角的余弦值答案D解析cos2x2cos2x1221.故选D.2sin15sin75的值是()A.B.C.D.考点二倍角的正弦、余弦、正切公式题点利用二倍角公式求二倍角的正弦值答案C解析sin15sin75sin15cos15sin30.3sin4cos4等于()ABC.D.考点应用二倍角公式化简求值题点利用余弦的二倍角公式化简求值答案B解析原式cos.4._.考点应用二倍角公式化简求值题点利用正切的二倍角公式化简求值答案解析原式tantan.5证明：tan.考点三角恒等式的证明题点三角恒等式的证明证明左边tan右边，原等式成立1对于“二倍角”应该有广义上的理解，如：8是4的二倍；6是3的二倍；4是2的二倍；3是的二倍；是的二倍；是的二倍；是的二倍(nN*)2二倍角余弦公式的运用在二倍角公式中，二倍角的余弦公式最为灵活多样，应用广泛常用形式：1cos22cos2；cos2；1cos22sin2；sin2.一、选择题1已知是第三象限角，cos，则sin2等于()AB.CD.考点二倍角的正弦、余弦、正切公式题点利用二倍角公式求二倍角的正弦值答案D解析由是第三象限角，且cos，得sin ，所以sin 22sin cos2，故选D.2(2017全国)已知sincos，则sin2等于()ABC.D.考点应用二倍角公式化简求值题点利用正弦的二倍角公式化简求值答案A解析sincos，(sincos)212sincos1sin2，sin2.故选A.3已知为锐角，且满足cos2sin，则等于()A30或60B45C60D30考点应用二倍角公式化简求值题点利用余弦的二倍角公式化简求值答案D解析因为cos212sin2，故由题意，知2sin2sin10，即(sin1)(2sin1)0.因为为锐角，所以sin，所以30.故选D.4已知x，cosx，则tan2x等于()A.BC.D考点二倍角的正弦、余弦、正切公式题点利用二倍角公式求二倍角的正切值答案D解析由cosx，x，得sinx，所以tanx，所以tan2x，故选D.5.的值是()Asin2Bcos2C.cos2Dcos2考点应用二倍角公式化简求值题点利用余弦的二倍角公式化简求值答案D解析原式cos2.6函数f(x)cos2x6cos的最大值为()A4B5C6D7考点应用二倍角公式化简求值题点综合应用二倍角公式化简求值答案B解析f(x)12sin2x6sinx22，所以当sinx1时，f(x)的最大值为5.7已知为第二象限角，sincos，则cos2等于()ABC.D.考点应用二倍角公式化简求值题点综合应用二倍角公式化简求值答案A解析由题意得(sin cos)2，1sin 2，sin 2.为第二象限角，cossin 0，cos0，且|cos|sin |，cos 2cos2sin20，所以不合题意，舍去，所以tan，所以tan2.10若2018，则tan2_.考点应用二倍角公式化简求值题点综合应用二倍角公式化简求值答案2018解析tan22018.11已知tan3，则_.考点应用二倍角公式化简求值题点综合应用二倍角公式化简求值答案3解析tan3.三、解答题12(2017山东青岛城阳一中期中考试)已知3sinsin(2)，且，k(kZ)，求证：tan()2tan.考点三角恒等式的证明题点三角恒等式的证明证明因为sin sin()sin()coscos()sin ；sin(2)sin()sin()coscos()sin ，所以3sin()cos3cos()sin sin()coscos()sin ，即sin()cos2cos()sin .又，k(kZ)，所以cos0，cos()0.于是等式两边同除以cos()cos，得tan()2tan .13化简：(180360)考点应用二倍角公式化简求值题点综合应用二倍角公式化简求值解原式.因为180360，所以90180，所以cos0，所以原式cos.四、探究与拓展14等腰三角形一个底角的余弦值为，那么这个三角形顶角的正弦值为_考点应用二倍角公式化简求值题点利用正弦的二倍角公式化简求值答案解析设A是等腰ABC的顶角，则cosB，sinB.所以sinAsin(1802B)sin2B2sinBco