高中数学第二章2.3幂函数学案（含解析）新人教A版.docx

2.3幂函数学习目标1.了解幂函数的概念.2.掌握yx的图象与性质.3.理解和掌握幂函数在第一象限的分类特征，能运用数形结合的方法处理幂函数的有关问题知识点一幂函数的概念思考y，yx，yx2三个函数有什么共同特征？答案底数为x，指数为常数梳理一般地，函数yx叫做幂函数，其中x是自变量，是常数知识点二五个幂函数的图象与性质1在同一平面直角坐标系内函数(1)yx；(2)(3)yx2；(4)yx1；(5)yx3的图象如图2五个幂函数的性质yxyx2yx3yx1定义域RRR0，)x|x0值域R0，)R0，)y|y0奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增在0，)上增，在(，0上减增增在(0，)上减，在(，0)上减知识点三一般幂函数的图象特征一般幂函数特征：(1)所有的幂函数在(0，)上都有定义，并且图象都过点(1,1)；(2)当0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间0，)上是增函数特别地，当1时，幂函数的图象下凸；当01时，幂函数的图象上凸；(3)当1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列1y是幂函数()2当x(0,1)时，x2x3.()3与定义域相同()4若yx在(0，)上为增函数，则0.()类型一幂函数的概念例1已知是幂函数，求m，n的值考点幂函数的概念题点由幂函数定义求参数值解由题意得解得或所以m3或1，n.反思与感悟幂函数与指数函数、对数函数的定义类似，只有满足函数解析式右边的系数为1，底数为自变量x，指数为常数这三个条件，才是幂函数如：y3x2，y(2x)3，y4都不是幂函数跟踪训练1在函数y，y2x2，yx2x，y1中，幂函数的个数为()A0B1C2D3考点幂函数的概念题点判断函数是否为幂函数答案B解析因为yx2，所以是幂函数；y2x2由于出现系数2，因此不是幂函数；yx2x是两项和的形式，不是幂函数；y1x0(x0)，可以看出，常数函数y1的图象比幂函数yx0的图象多了一个点(0,1), 所以常数函数y1不是幂函数类型二幂函数的图象及应用例2若点(，2)在幂函数f(x)的图象上，点在幂函数g(x)的图象上，问当x为何值时，(1)f(x)g(x)；(2)f(x)g(x)；(3)f(x)1或xg(x)；(2)当x1或x1时，f(x)g(x)；(3)当1x1且x0时，f(x)bcBbacCbcaDcba考点比较幂值的大小题点利用单调性比较大小答案B解析yx在R上为减函数，即ac.bac.故选B.反思与感悟此类题在构建函数模型时要注意幂函数的特点：指数不变比较大小的问题主要是利用函数的单调性，特别是要善于应用“搭桥”法进行分组，常数0和1是常用的中间量跟踪训练3比较下列各组数中两个数的大小：(1)0.3与0.3；(2)1与1；(3)0.3与考点比较幂值的大小题点利用中间值比较大小解(1)00.3，0.30.3.(2)yx1在(，0)上是减函数，又1.(3)yx0.3在(0，)上为增函数，由0.3，可得0.30.30.3.又y0.3x在(，)上为减函数，由知命题角度2幂函数性质的综合应用例4已知幂函数yx3m9 (mN*)的图象关于y轴对称且在(0，)上单调递减，求满足的a的取值范围考点幂函数的性质题点利用幂函数的性质解不等式解因为函数在(0，)上单调递减，所以3m90，解得m32a0或32aa10或a1032a，解得a或af(a1)的实数a的取值范围考点幂函数的性质题点利用幂函数的性质解不等式解(1)mN*，m2mm(m1)为偶数令m2m2k，kN*，则f(x)，定义域为0，)，在0，)上f(x)为增函数(2)m2m2，解得m1或m2(舍去)，由(1)知f(x)在定义域0，)上为增函数，f(2a)f(a1)等价于2aa10，解得1a.1已知幂函数f(x)kx的图象过点，则k等于()A.B1C.D2考点幂函数的概念题点由幂函数定义求参数值答案C解析由幂函数的定义知k1.又f，所以，解得，从而k.2以下结论正确的是()A当0时，函数yx的图象是一条直线B幂函数的图象都经过(0,0)，(1,1)两点C若幂函数yx的图象关于原点对称，则yx在定义域内y随x的增大而增大D幂函数的图象不可能在第四象限，但可能在第二象限考点幂函数的综合问题题点幂函数的综合问题答案D3设，则使函数yx的定义域为R的所有的值为()A1,3B1,1C1,3D1,1,3考点幂函数的定义域和值域题点幂函数的定义域答案A4若a0，则0.5a,5a,5a的大小关系是()A5a5a0.5aB5a0.5a5aC0.5a5a5aD5a5a0.5a答案B解析5aa，因为a0时，函数yxa在(0，)上单调递减，且0.55，所以5a0.5a5a.5先分析函数的性质，再画出其图象考点幂函数的图象题点幂函数的图象与性质解，定义域为R，在0，)上是上凸的增函数，且是偶函数，故其图象如下：1幂函数yx(R)，其中为常数，其本质特征是以幂的底x为自变量，指数为常数，这是判断一个函数是不是幂函数的重要依据和唯一标准2幂函数yx的图象与性质由于的值不同而比较复杂，一般从两个方面考查：(1)当0时，图象过点(0,0)，(1,1)，在第一象限的图象上升；当0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立(2)曲线在第一象限的凹凸性，当1时，曲线下凸；当01时，曲线上凸；当0时，曲线下凸3在具体应用时，不一定是yx，1，1,2,3这五个已研究熟的幂函数，这时可根据需要构造幂函数，并针对性地研究某一方面的性质.一、选择题1下列函数中是幂函数的是()Ayx4x2By10xCyDyx1考点幂函数的概念题点判断函数是否为幂函数答案C解析根据幂函数的定义知，y是幂函数，yx4x2，y10x，yx1都不是幂函数2已知y(m2m5)xm是幂函数，且在第一象限内是单调递减的，则m的值为()A3B2C3或2D3考点幂函数的性质题点幂函数的单调性答案A解析由y(m2m5)xm是幂函数，知m2m51，解得m2或m3.该函数在第一象限内是单调递减的，m0.故m3.3已知幂函数(nZ)的图象关于y轴对称，且在(0，)上是减函数，则n的值为()A3B1C2D1或2考点幂函数的性质题点幂函数的单调性答案B解析由于f(x)为幂函数，所以n22n21，解得n1或n3，经检验只有n1符合题意，故选B.4在同一坐标系内，函数yxa(a0)和yax的图象可能是()考点幂函数的图象题点幂函数有关的知图选式问题答案C解析选项A中，幂函数的指数a1，则直线yax应为增函数，B错误；选项D中，幂函数的指数a0，直线yax在y轴上的截距为正，D错误5已知f(x)x，若0ab1，则下列各式中正确的是()Af(a)f(b)ffBfff(b)f(a)Cf(a)f(b)ffDff(a)ff(b)考点比较幂值的大小题点利用单调性比较大小答案C解析因为函数在(0，)上是增函数，又0ab，故f(a)f(b)fcbBabcCcabDbca考点比较幂值的大小题点利用单调性比较大小答案A解析根据幂函数与指数函数的单调性直接可以判断出来，在x0时是增函数，所以ac，yx在x0时是减函数，所以cb，所以acb.7如图，图中曲线是幂函数yx在第一象限的大致图象，已知取2，2四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的的值依次为()A2，2B2，2C，2,2，D2，2，考点幂函数的图象题点幂指数大小关系问题答案B解析令x2，由图知C1，C2，C3，C4对应纵坐标依次减小，而故选B.8对于幂函数f(x)x，若0x1BfCfD无法确定考点幂函数的图象题点幂函数的图象与性质答案A解析幂函数f(x)x在(0，)是增函数，大致图象如图所示设A(x1,0)，C(x2,0)，其中0x1(|AB|CD|)，f，故选A.二、填空题9判断大小：5.251_5.262.(填“”或“解析yx1在(0，)上是减函数，5.255.261；y5.26x是增函数，12，5.2615.262.综上，5.2515.2615.262.10函数f(x)(x3)2的单调增区间是_考点幂函数的性质题点幂函数的单调性答案(，3)解析yx2的单调增区间为(，0)，单调减区间为(0，)，y(x3)2是由yx2向左平移3个单位得到的y(x3)2的单调增区间为(，3)11已知幂函数f(x)x(mZ)的图象与x轴、y轴都无交点，且关于原点对称，则函数f(x)的解析式是_考点求幂函数的解析式题点求幂函数的解析式答案f(x)x1解析函数的图象与x轴、y轴都无交点，m210，解得1m1.图象关于原点对称，且mZ，m0，f(x)x1.三、解答题12已知幂函数f(x)x(mZ)在(0，)上单调递减，且为偶函数(1)求f(x)的解析式；(2)讨论F(x)af(x)(a2