高中数学第二章双曲线的简单几何性质第1课时双曲线的简单几何性质学案(含解析)新人教A版.docx_第1页
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文档简介

2.2.2双曲线的简单几何性质第1课时双曲线的简单几何性质学习目标1.了解双曲线的简单性质,如范围、对称性、顶点、渐近线和离心率等.2.能用双曲线的简单性质解决一些简单问题.3.能区别椭圆与双曲线的性质知识点一双曲线的几何性质标准方程1(a0,b0)1(a0,b0)图形性质范围xa或xaya或ya对称性对称轴:坐标轴对称中心:原点顶点坐标A1(a,0),A2(a,0)A1(0,a),A2(0,a)实轴和虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴;线段B1B2叫做双曲线的虚轴渐近线yxyx离心率e,e(1,)知识点二等轴双曲线思考在双曲线标准方程中,若ab,其渐近线方程是什么?答案yx.梳理实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线,它的渐近线是yx.1双曲线有四个顶点,分别是双曲线与其实轴及虚轴的交点()2双曲线的离心率越大,双曲线的开口越开阔()3方程1(a0,b0)的渐近线方程为yx.()4等轴双曲线的离心率为.()类型一双曲线的几何性质例1求双曲线9y24x236的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程考点双曲线的几何性质题点由双曲线的方程研究几何性质解将9y24x236化为标准方程1,即1,a3,b2,c.因此顶点为A1(3,0),A2(3,0),焦点为F1(,0),F2(,0),实轴长2a6,虚轴长2b4,离心率e,渐近线方程为yxx.反思与感悟讨论双曲线的几何性质,先要将双曲线方程化为标准形式,然后根据双曲线两种形式的特点得到几何性质跟踪训练1求双曲线x23y2120的实轴长、虚轴长、焦点坐标、顶点坐标、渐近线方程、离心率考点双曲线的几何性质题点由双曲线的方程研究几何性质解将方程x23y2120化为标准方程1,a24,b212,a2,b2,c4.双曲线的实轴长2a4,虚轴长2b4.焦点坐标为F1(0,4),F2(0,4),顶点坐标为A1(0,2),A2(0,2),渐近线方程为yx,离心率e2.类型二由双曲线的几何性质求标准方程例2求满足下列条件的双曲线的标准方程:(1)以直线2x3y0为渐近线,过点(1,2);(2)与双曲线1具有相同的渐近线,且过点M(3,2);(3)过点(2,0),与双曲线1离心率相等;(4)与椭圆1有公共焦点,离心率为.考点双曲线性质的应用题点由双曲线的几何性质求方程解(1)方法一由题意可设所求双曲线方程为4x29y2(0),将点(1,2)的坐标代入方程解得32.因此所求双曲线的标准方程为1.方法二由题意可设所求双曲线方程为1(mn0)由题意,得解得因此所求双曲线的标准方程为1.(2)设所求双曲线方程为(0)由点M(3,2)在双曲线上,得,2.故所求双曲线的标准方程为1.(3)当所求双曲线的焦点在x轴上时,可设其方程为(0),将点(2,0)的坐标代入方程得,故所求双曲线的标准方程为y21;当所求双曲线的焦点在y轴上时,可设其方程为(0),将点(2,0)的坐标代入方程得0,b0)因为e1,所以a2,则b2c2a25,故所求双曲线的标准方程为1.方法二因为椭圆焦点在x轴上,所以可设双曲线的标准方程为1(160,b0)焦点在y轴上的双曲线的标准方程可设为1(a0,b0)与双曲线1共焦点的双曲线方程可设为1(0,b20),将点(5,4)代入双曲线方程,得9,双曲线方程为1.类型三与双曲线有关的离心率问题命题角度1求双曲线离心率的值例3双曲线的两条渐近线的夹角为60,则双曲线的离心率为()A2或B2C.D.考点双曲线的几何性质题点求双曲线的离心率答案A解析因为双曲线的两条渐近线的夹角为60,所以有以下两种情况(以焦点在x轴上为例):(1)如图所示,其中一条渐近线的倾斜角为60;(2)如图所示,其中一条渐近线的倾斜角为30.所以该渐近线的斜率为k或k.当双曲线焦点在x轴上时,有或.因为b2c2a2,所以3或,所以e24或e2,得e2或e;同理,当双曲线焦点在y轴上时,则或,所以或.同理可得e或e2.故选A.反思与感悟求双曲线离心率的常见方法(1)依据条件求出a,c,再计算e.(2)依据条件建立参数a,b,c的关系式,一种方法是消去b转化为离心率e的方程求解,另一种方法是消去c转化成含的方程,求出后,利用e求解跟踪训练3双曲线1(0a0)的左、右焦点,过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点,若ABF2为钝角三角形,则该双曲线的离心率e的取值范围为()A(1,) B(1,)C(1,1) D(1,)考点双曲线的几何性质题点求双曲线离心率的取值范围答案B解析由题设条件可知ABF2为等腰三角形,且AF2BF2,只要AF2B为钝角即可由题设可得AF1,所以有2c,即2ac0,b0)的右支上到原点O和右焦点F距离相等的点有两个,则双曲线的离心率的取值范围为_考点双曲线的几何性质题点求双曲线离心率的取值范围答案(2,)解析由于到原点O和右焦点F距离相等的点在线段OF的垂直平分线上,其方程为x.依题意,在双曲线1 (a0,b0)的右支上到原点和右焦点距离相等的点有两个,所以直线x与右支有两个交点,故应满足a,即2,得e2.1双曲线2x2y28的实轴长是()A2B2C4D4考点双曲线的几何性质题点由双曲线的方程研究几何性质答案C解析双曲线的标准方程为1,故实轴长为4.2中心在原点,实轴长为10,虚轴长为6的双曲线的标准方程是()A.1B.1或1C.1D.1或1考点双曲线性质的应用题点由双曲线的几何性质求方程答案B解析由题意知,a5,b3,双曲线标准方程为1或1.3已知双曲线1(a0)的右焦点为(3,0),则双曲线的离心率等于()A.B.C.D.考点双曲线的几何性质题点求双曲线的离心率答案C解析由题意知a259, 解得a2,则e.4双曲线x2y21的顶点到其渐近线的距离等于()A.B.C1D.考点双曲线的几何性质题点由双曲线的方程研究几何性质答案A解析双曲线x2y21的顶点坐标为(1,0),渐近线yx,所以xy0,所以顶点到渐近线的距离为d.5已知双曲线1的一个焦点在直线xy5上,则双曲线的渐近线方程为()AyxByxCyxDyx考点双曲线性质的应用题点以离心率或渐近线为条件的简单问题答案B解析根据题意,双曲线的方程为1,则其焦点在x轴上,直线xy5与x轴交点的坐标为(5,0),则双曲线的焦点坐标为(5,0),则有9m25,解得m16,则双曲线的方程为1,其渐近线方程为yx,故选B.1渐近线是双曲线特有的性质,两方程联系密切,把双曲线的标准方程1(a0,b0)右边的常数“1”换为“0”,就是渐近线方程反之由渐近线方程axby0变为a2x2b2y2,再结合其他条件求得就可得双曲线方程2准确画出几何图形是解决解析几何问题的第一突破口利用双曲线的渐近线来画双曲线特别方便,而且较为精确,只要作出双曲线的两个顶点和两条渐近线,就能画出它的近似图形一、选择题1双曲线25x29y2225的实轴长、虚轴长、离心率分别是()A10,6,B6,10,C10,6,D6,10,考点双曲线的几何性质题点由双曲线的方程研究几何性质答案B解析双曲线25x29y2225即为1,可得a3,b5,c,则实轴长为2a6,虚轴长为2b10,离心率e.2双曲线1的焦点到渐近线的距离为()A1B.C2D2考点双曲线的几何性质题点由双曲线的方程研究几何性质答案C解析双曲线1的一个焦点为F(4,0),其中一条渐近线方程为yx,点F(4,0)到xy0的距离为2.3已知双曲线1(a0,b0)的焦距为2,且双曲线的一条渐近线与直线2xy0垂直,则双曲线的方程为()A.y21Bx21C.1D.1考点双曲线性质的应用题点由双曲线的几何性质求方程答案A解析由焦距为2,得c.因为双曲线的一条渐近线与直线2xy0垂直,所以.又c2a2b2,解得a2,b1,所以双曲线的方程为y21.4若a1,则双曲线y21的离心率的取值范围是()A(,) B(,2)C(1,) D(1,2)考点双曲线的几何性质题点求双曲线离心率的取值范围答案C解析若a1,则双曲线y21的离心率为(1,)故选C.5若实数k满足0k5,则曲线1与曲线1的()A实半轴长相等B虚半轴长相等C离心率相等D焦距相等考点双曲线的几何性质题点由双曲线的方程研究几何性质答案D解析因为0k0)的左、右焦点分别为F1,F2,其中一条渐近线方程为yx,点P(,y0)在该双曲线上,则等于()A12B2C0D4考点双曲线性质的应用题点以离心率或渐近线为条件的简单问题答案C解析yx为渐近线方程,则b2,即双曲线方程为x2y22.当x时,y1.又双曲线的半焦距为2,F1(2,0),F2(2,0),(2,y0)(2,y0)1y110.故选C.8已知A,B为双曲线E的左、右顶点,点M在E上,ABM为等腰三角形,且顶角为120,则E的离心率为()A.B2C.D.考点双曲线的几何性质题点求双曲线的离心率答案D解析如图,设双曲线E的方程为1(a0,b0),则|AB|2a,由双曲线的对称性,可设点M(x1,y1)在第一象限内,过M作MNx轴于点N(x1,0),ABM为等腰三角形,且ABM120,|BM|AB|2a,MBN60,y1|MN|BM|sinMBN2asin60a,x1|OB|BN|a2acos602a.将点M(x1,y1)的坐标代入1,可得a2b2,e,故选D.二、填空题9已知双曲线1的实轴长为10,则该双曲线的渐近线的斜率为_考点双曲线的几何性质题点由双曲线的方程研究几何性质答案解析由题意m21625,4m30,m3,3,该双曲线的渐近线的斜率为.10已知双曲线1(a0,b0)的两条渐近线方程为yx,若顶点到渐近线的距离为1,则双曲线方程为_考点双曲线性质的应用题点由双曲线的几何性质求方程答案1解析顶点(a,0)到渐近线的距离为1,1,解得a2.,b.双曲线方程为1.11已知F1,F2是双曲线E:1的左、右焦点,点M在E上,MF1与x轴垂直,sinMF2F1,则E的离心率为_考点双曲线的几何性质题点求双曲线的离心率答案解析设F1(c,0),将xc代入双曲线方程,得1,所以1,所以y.因为sinMF2F1,所以tanMF2F1,所以e2e10,所以e(负值舍去)12若双曲线与椭圆4x2y264有公共的焦点,它们的离心率互为倒数,则双曲线方程为_考点双曲线性质的应用题点双曲线与椭圆结合的有关问题答案1解析椭圆4x2y264,即1,焦点为(0,4),离心率为,所以双曲线的焦点在y轴上,c4,e,所以a6,b2,所以双曲线方程为1.三、解答题13已知双曲线E:1.(1)若m4,求双曲线E的焦点坐标、顶点坐标和渐近线方程;(2)若双曲线E的离心率为e,求实数m的取值范围考点双曲线的几何性质题点由双曲线的方程研究几何性质解(1)当m4时,双曲线方

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