高中数学第三章函数的应用3.2函数模型及其应用3.2.2函数模型的应用实例学案（含解析）新人教版.docx

3.2.2函数模型的应用实例学习目标1.会利用已知函数模型解决实际问题(重点).2.能建立函数模型解决实际问题(重、难点).知识点1常见的函数模型常用函数模型(1)一次函数模型ykxb(k，b为常数，k0)(2)二次函数模型yax2bxc(a，b，c为常数，a0)(3)指数型函数模型ybaxc(a，b，c为常数，b0，a0且a1)(4)对数型函数模型ymlogaxn(m，a，n为常数，m0，a0且a1)(5)幂型函数模型yaxnb(a，b为常数，a0)(6)分段函数y【预习评价】一个矩形的周长是40，矩形的长y关于宽x的函数解析式为()A.y20x(0x10)B.y202x(0x20)C.y40x(0x10)D.y402x(0xx，所以0x10，故选A.答案A知识点2解决函数应用问题的步骤利用函数知识和函数观点解决实际问题时，一般按以下几个步骤进行：(一)审题；(二)建模；(三)求模；(四)还原.这些步骤用框图表示如图：【预习评价】某工厂生产某种产品固定成本为2 000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元.又知总收入K是单位产品数Q的函数，K(Q)40QQ2，则总利润L(Q)的最大值是_万元.解析L(Q)40QQ210Q2 000Q230Q2 000(Q300)22 500，当Q300时，L(Q)的最大值为2 500万元.答案2 500题型一一次函数、二次函数模型【例1】商场销售某一品牌的羊毛衫，购买人数是羊毛衫标价的一次函数，标价越高，购买人数越少.把购买人数为零时的最低标价称为无效价格，已知无效价格为每件300元.现在这种羊毛衫的成本价是100元/件，商场以高于成本价的价格(标价)出售.问：(1)商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件多少元？(2)通常情况下，获取最大利润只是一种“理想结果”，如果商场要获得最大利润的75%，那么羊毛衫的标价为每件多少元？解(1)设购买人数为n人，羊毛衫的标价为每件x元，利润为y元，则x(100，300，nkxb(k0).0300kb，即b300k，nk(x300).利润y(x100)k(x300)k(x200)210 000k(x(100，300).k0且a1，m0)，在实际问题中，有关人口增长，银行利率，细胞分裂等增长率问题都可用指数型函数模型来表示.(2)对数型函数模型：ymlogaxc(m0，a0且a1)，对数型函数模型一般给出函数关系式，然后利用对数的运算求解.(3)指数型、对数型函数应用题的解题思路：依题意，找出或建立数学模型，依实际情况确立解析式中的参数，依题设数据解决数学问题，得出结论.【训练2】一片森林原来面积为a，计算每年砍伐一些树，且使森林面积每年比上一年减少p%，10年后森林面积变为.为保护生态环境，所剩森林面积至少要为原面积的.已知到今年为止，森林面积为a.(1)求p%的值；(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？(3)今后最多还能砍伐多少年？解(1)由题意得a(1p%)10，即(1p%)10，解得p%1.(2)设经过m年森林面积为a，则a(1p%)ma，即，得，解得m5.故到今年为止，已砍伐了5年.(3)设从今年开始，n年后森林面积为a(1p%)n，令a(1p%)na，即(1p%)n，得，解得n15，故今后最多还能砍伐15年.题型三分段函数模型【例3】经市场调查，某城市的一种小商品在过去的近20天内的销售量(件)与价格(元)均为时间t(天)的函数，且销售量近似满足g(t)802t(件)，价格近似满足f(t)(元).(1)试写出该种商品的日销售额y与时间t(0t20)的函数表达式；(2)求该种商品的日销售额y的最大值与最小值.解(1)由已知，由价格乘以销售量可得：y(2)由(1)知当0t10时，yt210t1 200(t5)21 225，函数图象开口向下，对称轴为t5，该函数在t(0，5上递增，在t(5，10上递减，ymax1 225(当t5时取得)，ymin1 200(当t10时取得)；当10200时，f(x)30 000100x是减函数，f(x)30 00010020020，x2 00828.7，则x2 036.7，即x2 037.答案2 0375.某工厂生产某产品x吨所需费用为P元，而卖出x吨的价格为每吨Q元，已知P1 0005xx2，Qa，若生产出的产品能全部卖掉，且当产量为150吨时利润最大，此时每吨价格为40元，求实数a，b的值.解设利润为y元，则yQxPax1 0005xx2x2(a5)x1 000.依题意得化简得解得课堂小结1.函数模型的应用实例主要包括三个方面：(1)利用给定的函数模型解决实际问题；(2)建立确定性的函数模型解决实际问题；(3)建立拟合函数模型解决实际问题.2.在引入自变量建立目标函数解决函数应用题时，一是要注意自变量的取值范围，二是要检验所得结果，必要时运用估算和近似计算，以使结果符合实际问题的要求.3.在实际问题向数学问题的转化过程中，要充分使用数学语言，如引入字母，列表，画图等使实际问题数学符号化.4.根据收集到的数据的特点，通过建立函数模型，解决实际问题的基本过程，如下图所示.基础过关1.某厂日产手套总成本y(元)与手套日产量x(副)的函数解析式为y5x4 000，而手套出厂价格为每副10元，则该厂为了不亏本，日产手套至少为()A.200副 B.400副C.600副 D.800副解析由5x4 00010x，解得x800，即日产手套至少800副时才不亏本.答案D2.某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为()A. B.C. D.1解析设年平均增长率为x，则有(1p)(1q)(1x)2，解得x1.答案D3.若镭经过100年后剩留原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x年后剩留量为y，则x，y的函数关系是()A.y0.957 6 B.y0.957 6100xC.y D.y10.042 4解析设镭一年放射掉其质量的t%，则有95.76%1(1t%)100，1t%0.957 6，y(1t%)x0.957 6.答案A4.已知元素“碳14”每经过5 730年其质量就变成原来的一半.现有一文物，测得其中“碳14”的残存量为原来的41%，此文物距现在约有_年.(注：精确到个位，lg 20.301 0，lg 4.10.613)解析设距现在为x年，则有41%，两边取对数，利用计算器可得x7 400.答案7 4005.用一根长为12 m的铁丝弯成一个矩形的铁框架，则能弯成的框架的最大面积是_m2.解析设矩形的一边长为x m，则与这条边垂直的边长为 m，所以矩形面积Sxx26x(0x6)，当x3 m时，S最大9 m2.答案96.物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是T0，经过一定时间t后的温度是T，则TTa(T0Ta)，其中Ta表示环境温度，h称为半衰期.现有一杯用88 热水冲的速溶咖啡，放在24 的房间中，如果咖啡降温到40 需要20 min，那么降温到35 时，需要多少时间？解由题意知4024(8824)，即，解得h10.故T24(8824).当T35时，代入上式，得3524(8824)，即.两边取对数，用计算器求得t25.因此，约需要25 min，可降温到35.7.某公司试销某种“上海世博会”纪念品，每件按30元销售，可获利50%，设每件纪念品的成本为a元.(1)试求a的值；(2)公司在试销过程中进行了市场调查，发现销售量y(件)与每件销售价x(元)满足关系y10x800.设每天销售利润为W(元)，求每天销售利润W(元)与每件销售价x(元)之间的函数解析式；当每件售价为多少时，每天获得的利润最大？最大利润是多少？解(1)按30元销售，可获利50%，a(150%)30，解得a20.(2)销售量y(件)与每件销售价x(元)满足关系y10x800，则每天销售利润W(元)与每件销售价x(元)满足W(10x800)(x20)10x21 000x16 00010(x50)29 000，故当x50时，W取最大值9 000，即每件销售价为50元时，每天获得的利润最大，最大利润是9 000元.能力提升8.一个高为H，盛水量为V0的水瓶的轴截面如图所示，现以均匀速度往水瓶中灌水，直到灌满为止，如果水深h时水的体积为V，则函数Vf(h)的图象大致是()解析水深h越大，水的体积V就越大，故函数Vf(h)是个增函数，一开始增长的慢，然后增长的快，后来又增长的慢，故选D.答案D9.根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)(A，c为常数).已知工人组装第4件产品用时30 min，组装第A件产品用时15 min，那么c和A的值分别是()A.75，25 B.75，16 C.60，25 D.60，16解析由题意知，组装第A件产品所需时间为15，故组装第4件产品所需时间为30，解得c60.将c60代入15，得A16.答案D10.某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km按起步价付费)；超过3 km但不超过8 km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元.现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了_km.解析设出租车行驶x km时，付费y元，则y由y22.6，解得x9.答案911.已知长为4，宽为3的矩形，若长增加x，宽减少，则面积最大.此时x_，面积S_.解析根据题目条件03，即0x6，所以S(4x)(x22x24)(x1)2(0x6).故当x1时，S取得最大值.答案112.国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若旅行团人数在30人或30人以下，每人需交费用为900元；若旅行团人数多于30人，则给予优惠：每多1人，人均费用减少10元，直到达到规定人数75人为止.旅行社需支付各种费用共计15 000元.(1)写出每人需交费用y关于人数x的函数；(2)旅行团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？解(1)当0x30时，y900；当30x75，y90010(x30)1 20010x；即y(2)设旅行社所获利润为S元，则当0x30时，S900x15 000；当30x75时，Sx(12 0010x)15 00010x21 200x15 000；即S因为当0x30时，S900x15 000为增函数，所以x30时，Smax12 000；当3012 000.所以当旅行社人数为60时，旅行社可获得最大利润.13.(选做题)如图所示，等腰梯形ABCD的两底分别为AD2，BC1