高中数学第二章2.1指数函数2.1.2指数函数及其性质（一）学案（含解析）新人教A版.docx

2.1.2指数函数及其性质(一)学习目标1.理解指数函数的概念，了解对底数的限制条件的合理性.2.掌握指数函数图象的性质.3.会应用指数函数的性质求复合函数的定义域、值域知识点一指数函数思考细胞分裂时，第一次由1个分裂成2个，第2次由2个分裂成4个，第3次由4个分裂成8个，如此下去，如果第x次分裂得到y个细胞，那么细胞个数y与次数x的函数关系式是什么？这个函数式与yx2有什么不同？答案y2x.它的底为常数，自变量为指数，而yx2恰好反过来梳理一般地，函数yax(a0，且a1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R.特别提醒：(1)规定yax中a0，且a1的理由：当a0时，ax可能无意义；当a0时，x可以取任何实数；当a1时，ax1 (xR)，无研究价值因此规定yax中a0，且a1.(2)要注意指数函数的解析式：底数是大于0且不等于1的常数指数函数的自变量必须位于指数的位置上ax的系数必须为1.指数函数等号右边不能是多项式，如y2x1不是指数函数知识点二指数函数的图象和性质指数函数yax(a0，且a1)的图象和性质如下表：a10a0时，y1；当x0时，0y0时，0y1；当x1单调性在R上是增函数在R上是减函数1yxx(x0)是指数函数()2yax2(a0且a1)是指数函数()3因为a01(a0且a1)，所以yax恒过点(0,1)()4yax(a0且a1)的最小值为0.()类型一求指数函数的解析式例1已知指数函数f(x)的图象过点(3，)，求函数f(x)的解析式考点待定系数法求指数函数解析式题点待定系数法求指数函数解析式解设f(x)ax(a0，且a1)，将点(3，)代入，得到f(3)，即a3，解得a，于是f(x).反思与感悟(1)根据指数函数的定义，a是一个常数，ax的系数为1，且a0，a1，凡是不符合这个要求的都不是指数函数(2)要求指数函数f(x)ax(a0，且a1)的解析式，只需要求出a的值，要求a的值，只需一个已知条件即可跟踪训练1已知指数函数y(2b3)ax经过点(1,2)，求a，b的值考点待定系数法求指数函数解析式题点待定系数法求指数函数解析式解由指数函数的定义可知2b31，即b2.将点(1,2)代入yax，得a2.类型二求指数函数与其他函数复合所得函数的定义域、值域命题角度1f(ax)型例2求下列函数的定义域、值域(1)y；(2)y4x2x1.考点指数函数的值域题点指数型复合函数的值域解(1)函数的定义域为R(对一切xR,3x1)y1，又3x0,13x1，01，10，010，2x，即x1时，y取最小值，同时y可以取一切大于的实数，值域为.反思与感悟解决此类题可采用换元法，利用二次函数与指数函数的性质求解跟踪训练2求下列函数的定义域与值域(1)y；(2)y(a0，且a1)考点指数函数的值域题点指数型复合函数的值域解(1)1x0，x1，解得x0，原函数的定义域为0，)令t1x (x0)，则0t1，00，t11，01，20，110，且a1)，得ax.ax0，0，1y0且y1(2)由5x10得x，所以函数定义域为.由0得y1，所以函数值域为y|y1类型三指数函数图象的应用命题角度1指数函数整体图象例4在如图所示的图象中，二次函数yax2bxc与函数yx的图象可能是()考点指数函数的图象与性质题点指数函数图象的位置与底数的关系答案A解析根据图中二次函数图象可知c0，二次函数yax2bx，0，二次函数的对称轴为x0，排除B，D.对于A，C，都有01，0，C不符合故选A.反思与感悟函数yax的图象主要取决于0a1.但前提是a0且a1.跟踪训练4已知函数f(x)4ax1的图象经过定点P，则点P的坐标是()A(1,5) B(1,4) C(0,4) D(4,0)考点指数函数的图象与性质题点指数函数图象过定点问题答案A解析当x10，即x1时，ax1a01，为常数，此时f(x)415.即点P的坐标为(1,5)命题角度2指数函数局部图象例5若直线y2a与函数y|2x1|的图象有两个公共点，求实数a的取值范围考点指数函数的图象与性质题点指数函数图象的应用解y|2x1|图象如下：由图可知，要使直线y2a与函数y|2x1|的图象有两个公共点，需02a1，即0a1)的图象是()考点指数函数的图象与性质题点指数函数图象的应用答案B解析函数ya|x|是偶函数，当x0时，yax.由已知a1，故选B.1下列各函数中，是指数函数的是()Ay(3)xBy3xCy3x1Dyx考点指数函数的概念题点指数函数的判断答案D2若函数y(2a1)x(x是自变量)是指数函数，则a的取值范围是()Aa0且a1Ba0且a1Ca且a1Da考点指数函数的概念题点根据指数函数的定义求参数的值答案C3.函数f(x)axb的图象如图所示，其中a，b均为常数，则下列结论正确的是()Aa1，b1，b0C0a0D0a1，b0考点指数函数的图象与性质题点指数函数图象的位置与底数的关系答案D4函数的值域是_考点指数函数的值域题点指数型复合函数的定义域答案(0,15函数f(x)的定义域为_考点指数函数的定义域题点指数型复合函数的定义域答案(3,0解析由题意，自变量x应满足解得30，且a1)的定义域为R，即xR，所以函数yaf(x)(a0，且a1)与函数f(x)的定义域相同4求函数yaf(x)(a0，且a1)的值域的方法如下：(1)换元，令tf(x)，并求出函数tf(x)的定义域；(2)求tf(x)的值域tM；(3)利用yat的单调性求yat在tM上的值域一、选择题1若函数f(x)(a23a3)ax是指数函数，则()Aa1或a2Ba1Ca2Da0且a1考点指数函数的概念题点根据指数函数的定义求参数的值答案C解析由题意得解得a2.2函数yaxa (a0且a1)的大致图象可能是()考点指数函数的图象与性质题点指数函数图象的位置与底数的关系答案C解析如果函数的图象是A，那么由1a1，得a0，这与a0且a1相矛盾，故A不可能；如果函数的图象是B，那么由a1a0，得00，这是不可能的，故B不可能；如果函数的图象是C，那么由01a1，得0a1，且a1a0，故C可能；如果函数的图象是D，那么由a1a0，得00且a1)，则下列等式中不正确的是()Af(xy)f(x)f(y)Bf(xy)Cf(nx)f(x)n(nQ)Df(xy)nf(x)nf(y)n(nN*)考点指数函数的性质题点指数函数的性质答案D解析f(xy)axyaxayf(x)f(y)，A对；f(xy)axyaxay，B对；f(nx)anx(ax)nf(x)n，C对；f(xy)n(axy)n，f(x)nf(y)n(ax)n(ay)n(axy)n，D错4设f(x)若方程f(x)a(a为实常数)有2个根，则a的取值范围是()A(0,1) B(0,1C(1，) D1，)考点指数函数的求值题点指数函数的求值答案D解析f(x)的图象如图所示由图可知，当且仅当a1时，ya与yf(x)有两个交点，从而f(x)a有2个根5函数y3x与y3x的图象关于下列哪条直线对称()Ax轴By轴C直线yxD直线yx考点指数函数的图象与性质题点指数函数的图象与性质答案B解析若点(x0，y0)在y3x的图象上，即y0，则(x0，y0)在y3x的图象上，反之亦然，y3x与y3x关于y轴对称6已知函数f(x)(a21)x，若x0时总有f(x)1，则实数a的取值范围是()A1|a|2B|a|1D|a|考点指数函数的概念题点根据指数函数的定义求参数的取值范围答案D解析由题意知a211，解得a或a0，则f(t).画出函数f(t)(t0)的图象，如图观察f(t)的图象，得此函数单调递减且无最小值8.如图所示，面积为8的平行四边形OABC的对角线ACCO，AC与BO交于点E.若指数函数yax(a0，且a1)的图象经过点E，B，则a等于()A.B.C2D3考点指数函数的图象与性质题点指数函数图象的应用答案A解析设点C(0，m)(m0)则由已知可得A，E，B.又因为点E，B在指数函数的图象上，所以式两边平方得m2a，联立，得m22m0，所以m0(舍)或m2，所以a.二、填空题9函数y的定义域是_考点指数不等式的解法题点指数不等式的解法答案(，5解析由322x0，得2x25，x5.10已知5a0.3,0.7b0.8，则ab与0的大小关系是_考点指数函数的图象与性质题点指数函数图象的应用答案ab0解析由f(x)5x与g(x)0.7x的图象可知，5a0.31时，a0.所以ab0.11给出函数f(x)则f(x)的值域为_考点指数函数的值域题点与指数函数有关的值域问题答案8，)解析当x3时，2x238；当x0，5x11，值域为(1，)13已知x3,2，求f(x)1的最小值与最大值考点指数函数的值域题点指数型复合函数的值域解f(x)14x2x122x2x12，x3,2，2x8，则当2x，即x1时，f(x)有最小值，当2x8，即x3时，f(x)有最大值57.四、探究与拓展14若函数f(x)axb1(a0，且a1)的图象经过第一、三、四象限，则一定有(a1)b_0.(填“”“”“”)考点指数函数的图象与性质题点指数函数图象的位置与底数的关系答案0，且a1)的图象经过第一、三、四象限，画出草图如图所示由图象可得解得a1且b0，(a1)b0.15已知函数y|x1|.(1)画出函数的图象(简图)；(2)由图象指出函数的单调区间；(3)由图象指出当x取何值时函数有最值，并求出最值考点指数函数的图象与性质题点指数函数图象的应用解(1)方法一y|x1|其图象由两部分组成：一部分：yx(x0)的图象yx1(x1