高中数学第二章双曲线课时提升作业（十四）双曲线方程及性质的应用检测（含解析）.docx

课时提升作业(十四)双曲线方程及性质的应用(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.直线l过点(2,0)且与双曲线x2-y2=2仅有一个公共点,则这样的直线有()A.1条B.2条C.3条D.4条【解题指南】先判断点与曲线的位置关系,再结合题意求解.【解析】选C.点(,0)即为双曲线的右顶点,过该点有两条与双曲线渐近线平行的直线与双曲线仅有一个公共点,另过该点且与x轴垂直的直线也与双曲线只有一个公共点,故这样的直线只有3条.2.(2015温州高二检测)已知双曲线E的中心为原点,F(3,0)是E的焦点,过F的直线l与E相交于A,B两点,且AB的中点为N(-12,-15),则E的方程为()A.x23-y26=1B.x24-y25=1C.x26-y23=1D.x25-y24=1【解题指南】中点弦问题,借助点差法求解.【解析】选B.由c=3,设双曲线方程为-=1,kAB=1,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x12a2-y129-a2=1,x22a2-y229-a2=1,-,得-=0,又N(-12,-15)为AB中点,所以x1+x2=-24,y1+y2=-30.所以=.所以=1.所以a2=4.所以双曲线方程为-=1.3.设直线l过双曲线C的一个焦点,且与C的一条对称轴垂直,l与C交于A,B两点,|AB|为C的实轴长的2倍,则C的离心率为()A.2B.3C.2D.3【解题指南】用a,b表示|AB|,由|AB|=4a求a,b的等量关系,进而求离心率.【解析】选B.由题意不妨设l:x=-c,则|AB|=,又|AB|=22a,故b2=2a2,所以e=.4.(2015西安高二检测)过双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右顶点A作斜率为-1的直线,该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B,C.若=,则双曲线的离心率是()A.2B.3C.5D.10【解析】选C.右顶点为A(a,0),则直线方程为x+y-a=0,可求得直线与两渐近线的交点坐标B,C,则=,=.又2=,所以2a=b,所以e=.5.已知F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,P为双曲线右支上的任意一点,若|PF1|2|PF2|的最小值为8a,则双曲线的离心率e的取值范围是()A.(1,+)B.(1,2C.(1,3D.(1,3【解析】选D.依题意知|PF1|-|PF2|=2a,=4a+|PF2|8a,当且仅当=|PF2|时等号成立.此时|PF2|=2a,|PF1|=4a,因为|PF1|+|PF2|2c.所以6a2c,即10)的右焦点,O为坐标原点,设P是双曲线C上一点,则POF的大小不可能是()A.15B.25C.60D.165【解题指南】先求渐近线的夹角,再借助双曲线与渐近线的关系,数形结合求解.【解析】选C.双曲线的渐近线方程为y=33x,所以渐近线的倾斜角为30或150,所以POF不可能等于60.2.(2015冀州高二检测)过双曲线x2a2-y25-a2=1(a0)右焦点F作一条直线,当直线斜率为2时,直线与双曲线左、右两支各有一个交点;当直线斜率为3时,直线与双曲线右支有两个不同交点,则双曲线离心率的取值范围为()A.(2,5)B.(5,10)C.(1,2)D.(5,52)【解析】选B.由题意可知,从而40,b0)的渐近线与动点P的轨迹没有公共点,则双曲线离心率的取值范围是.【解题指南】先由直接法确定点P的轨迹(为一个圆),再由渐近线与该轨迹无公共点得到不等关系,进一步列出关于离心率e的不等式进行求解.【解析】设P(x,y),由题设条件,得动点P的轨迹为(x-1)(x+1)+(y-2)(y-2)=0(x1),即x2+(y-2)2=1(x1),它是以(0,2)为圆心,1为半径的圆(A,B两点除外).又双曲线-=1(a0,b0)的渐近线方程为y=x,即bxay=0,由题意,可得1,即1,所以e=1,故1eb0)两条渐近线分别交于点A,B,若点P(m,0)满足|PA|=|PB|,则该双曲线的离心率是.【解题指南】求出A,B的坐标,写出AB中点Q的坐标,因为|PA|=|PB|,所以PQ与已知直线垂直,寻找a与c的关系.【解析】由双曲线的方程可知,它的渐近线方程为y=x与y=-x,分别与x-3y+m=0(m0)联立方程组,解得A,B,设AB的中点为Q,则Q,因为|PA|=|PB|,所以PQ与已知直线垂直,所以kPQ=-3,解得2a2=8b2=8(c2-a2),即=,=52.答案:52三、解答题(每小题10分,共20分)5.已知双曲线3x2-y2=3,直线l过其右焦点F2,且倾斜角为45,与双曲线交于A,B两点,试问A,B两点是否位于双曲线的同一支上?并求弦AB的长.【解析】因为直线l过点F2且倾斜角为45,所以直线l的方程为y=x-2.代入双曲线方程,得2x2+4x-7=0.设A(x1,y1),B(x2,y2).因为x1x2=-0,所以A,B两点分别位于双曲线的左、右两支上.因为x1+x2=-2,x1x2=-,所以|AB|=|x1-x2|=6.6.(2015北京高二检测)直线l:y=kx+1与双曲线C:2x2-y2=1的右支交于不同的两点A,B.(1)求实数k的取值范围.(2)是否存在实数k,使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F?若存在,求出k的值;若不存在,说明理由.【解析】(1)将直线l的方程y=kx+1代入双曲线C的方程2x2-y2=1后,整理得,(k2-2)x2+2kx+2=0.依题意,直线l与双曲线C的右支交于不同两点,故解得k的取值范围是-2k-.(2)设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则由式得假设存在实数k,使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F(c,0).则由FAFB得(x1-c)(x2-c)+y1y2=0,即(x1-c