高中数学第一章集合与函数概念章末复习课（一）学案（含解析）新人教版.docx

第一章 集合与函数概念章末复习课网络构建核心归纳1.集合的“三性”正确理解集合元素的三性，即确定性、互异性和无序性.在集合运算中，常利用元素的互异性检验所得的结论是否正确，因互异性易被忽略，在解决含参集合问题时应格外注意.2.集合与集合之间的关系集合与集合之间的关系有包含、真包含和相等.判断集合与集合之间的关系的本质是判断元素与集合的关系，包含关系的传递性是推理的重要依据.空集比较特殊，它不包含任何元素，是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集.解题时，已知条件中出现AB时，不要遗漏A.3.集合与集合之间的运算并、交、补是集合间的基本运算，Venn图与数轴是集合运算的重要工具.注意集合之间的运算与集合间的关系之间的转化，如ABABAABB.4.函数与映射的概念(1)已知A，B是两个非空集合，在对应关系f的作用下，对于A中的任意一个元素x，在B中都有唯一的一个元素与之对应，这个对应叫做从A到B的映射，记作f：AB.(2)函数是一个特殊的映射，其特殊点在于A，B都为非空数集.函数有三要素：定义域、值域、对应关系.两个函数只有当定义域和对应关系分别相同时，这两个函数才是相等函数.5.函数的单调性(1)函数的单调性主要涉及求函数的单调区间，利用函数的单调性比较函数值的大小，利用函数的单调性解不等式等相关问题.深刻理解函数单调性的定义是解答此类问题的关键.(2)函数单调性的证明根据增函数、减函数的定义分为四个步骤证明，步骤如下：取值：任取x1，x2D，且x10；作差变形：yy2y1f(x2)f(x1)，向有利于判断差的符号的方向变形；判断符号：确定y的符号，当符号不确定时，可以进行分类讨论；下结论：根据定义得出结论.(3)证明函数单调性的等价变形：f(x)是单调递增函数任意x1x2，都有f(x1)0f(x1)f(x2)(x1x2)0；f(x)是单调递减函数任意x1f(x2)0f(x1)f(x2)(x1x2)0.6.函数的奇偶性判定函数奇偶性，一是用其定义判断，即先看函数f(x)的定义域是否关于原点对称，再检验f(x)与f(x)的关系；二是用其图象判断，考察函数的图象是否关于原点或y轴对称去判断，但必须注意它是函数这一大前提.要点一集合的基本概念解决集合的概念问题的两个注意点(1)研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件.当集合用描述法表示时，注意弄清元素表示的意义是什么.(2)对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.【例1】集合Mx|ax23x20，aR中只有一个元素，求a的取值范围.解由题意可知若集合M中只有一个元素，则方程ax23x20只有一个根.当a0时，方程为3x20，只有一个根x；当a0时，(3)24a(2)0，得a.综上所述，a的取值范围是.【训练1】已知集合Am2，2m2m，若3A，则m的值为_.解析因为3A，则m23或2m2m3.当m23，即m1时，m22m2m，不符合题意，故舍去；当2m2m3，即m1或m，m1不合题意，若m，m22m2m，满足题意，故m.答案要点二集合间的基本关系两集合间关系的判断(1)定义法.判断一个集合A中的任意元素是否属于另一集合B，若是，则AB，否则A不是B的子集；判断另一个集合B中的任意元素是否属于第一个集合A，若是，则BA，否则B不是A的子集；若既有AB，又有BA，则AB.(2)数形结合法.对于不等式表示的数集，可在数轴上标出集合的元素，直观地进行判断，但要注意端点值的取舍.【例2】已知集合Ax|2x33x5，Bx|x2m1，若AB，则实数m的取值范围是_.解析解不等式2x33x5得x8，即Ax|x8，因为AB，所以2m18，解得m.答案【训练2】已知集合Ax|，xR，B1，m，若AB，则m的值为()A.2 B.1C.1或2 D.2或解析由，可得解得x2，A2，又B1，m，AB，m2.答案A考查方向要点三集合的基本运算集合基本运算的方法及注意点(1)一般来讲，集合中的元素若是离散的，则用Venn图表示；集合中的元素若是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况.(2)进行集合的运算时要看集合的组成，并且要对有的集合进行化简.(3)涉及含字母的集合时，要注意该集合是否可能为空集.方向1集合的运算【例31】设全集UxN*|xa，若AB，则实数a的取值范围是()A.a1 B.a1 C.a0 D.a0解析(1)由ABA知BA，所以m3或m.当m3时，A1，3，B1，3，满足ABA；若m，即m1或0，当m1时，1，不合题意，舍去，当m0时，A1，3，0，B1，0，满足ABA，故选B.(2)因为AB，所以0B，且1B，所以a1.答案(1)B(2)B【训练3】(1)设集合A1，2，4，Bx|x24xm0.若AB1，则B()A.1，3 B.1，0 C.1，3 D.1，5(2)设集合Mx|3x7，Nx|2xk0，若MN，则实数k的取值范围为_.解析(1)由题意知1是方程x24xm0的解，把x1代入方程得m3，x24x30的解为x1或x3，B1，3.(2)因为Nx|2xk0x|x，且MN，所以3k6.答案(1)C(2)k|k6要点四求函数的定义域求函数定义域的类型与方法(1)已给出函数解析式：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合.(2)实际问题：求函数的定义域既要考虑解析式有意义，还应考虑使实际问题有意义.(3)复合函数问题：若f(x)的定义域为a，b，则f(g(x)的定义域应由ag(x)b解出；若f(g(x)的定义域为a，b，则f(x)的定义域为g(x)在a，b上的值域.注意：f(x)中的x与f(g(x)中的g(x)地位相同；定义域所指永远是x的范围.【例4】(1)函数f(x)(2x1)0的定义域为()A. B.C. D.(2)已知函数yf(x1)的定义域是1，2，则yf(13x)的定义域为()A. B.C.0，1 D.解析(1)由题意知解得x1且x，即f(x)的定义域是.(2)由yf(x1)的定义域是1，2，则x12，1，即f(x)的定义域是2，1，令213x1解得0x1，即yf(13x)的定义域为0，1.答案(1)D(2)C【训练4】已知函数f(x)2x3的值域为5，5，则它的定义域为()A.5，5 B.7，13C.1，4 D.4，1解析可以画出函数y2x3的图象，再根据图象来求；还可以运用函数性质来求，f(x)在R上单调递减，且当f(x)5时，x4；当f(x)5时，x1，所以定义域为1，4.答案C要点五求函数的解析式求函数解析式的题型与相应的解法(1)已知形如f(g(x)的解析式求f(x)的解析式，使用换元法或配凑法.(2)已知函数的类型(往往是一次函数或二次函数)，使用待定系数法.(3)含f(x)与f(x)或f(x)与f，使用解方程组法.(4)已知一个区间的解析式，求另一个区间的解析式，可用奇偶性转移法.【例5】(1)已知f(2x3)2x23x，则f(x)_；(2)已知f(x)3f(x)2x1，则f(x)_.解析(1)令2x3t，得x(t3)，则f(t)2(t3)2(t3)t2t，所以f(x)x2x.(2)因为f(x)3f(x)2x1，以x代替x得f(x)3f(x)2x1，两式联立得f(x)x.答案(1)x2x(2)x【训练5】已知f(x)是一次函数，且满足3f(x1)2f(x1)2x17，求f(x)的解析式.解设f(x)axb(a0)，则3f(x1)2f(x1)3ax3a3b172ax2a2b17ax5ab，即ax5ab2x17不论x为何值都成立，所以解得所以f(x)2x7.要点六函数的概念与性质函数单调性与奇偶性应用的常见题型(1)用定义判断或证明函数的单调性和奇偶性.(2)利用函数的单调性和奇偶性求单调区间.(3)利用函数的单调性和奇偶性比较大小，解不等式.(4)利用函数的单调性和奇偶性求参数的取值范围.【例6】 已知函数f(x)是奇函数，且f(2).(1)求实数m和n的值；(2)求函数f(x)在区间2，1上的最值.解(1)f(x)是奇函数，f(x)f(x)，.比较得nn，n0.又f(2)，解得m2.因此，实数m和n的值分别是2和0.(2)由(1)知f(x).任取x1，x22，1，且x1x2，则f(x1)f(x2)(x1x2)(x1x2).2x1x21，x1x20，x1x21，x1x210，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2).函数f(x)在2，1上为增函数，f(x)maxf(1)，f(x)minf(2).【训练6】设f(x)是定义在R上的函数，且满足f(x)f(x)，f(x)在(，0)上单调递增，且f(2a2a1)0，2a24a32(a1)210，由f(2a2a1)2a24a3，得5a2，a.a的取值范围是.要点七函数的图象及应用作函数图象的方法(1)描点法求定义域；化简；列表、描点、连线.(2)变换法熟知函数的图象的平移、伸缩、对称、翻转.平移：yf(x)yf(xh)；yf(x)yf(x)k.(其中h0，k0)对称：yf(x)关于y轴对称yf(x)；yf(x)关于x轴对称yf(x)；yf(x)关于原点对称yf(x).特别提醒：要利用单调性、奇偶性、对称性简化作图.【例7】已知函数f(x)x22|x|a，其中x3，3.(1)判断函数f(x)的奇偶性；(2)若a1，试说明函数f(x)的单调性，并求出函数f(x)的值域.解(1)因为定义域3，3关于原点对称，f(x)(x)22|x|ax22|x|af(x)，即f(x)f(x)，所以f(x)是偶函数.(2)当0x3时，f(x)x22x1(x1)22；当3x0时，f(x)x22x1(x1)22，即f(x)根据二次函数的作图方法，可得函数的图象，如图所示.函数f(x)的单调区间为3，1，(1，0)，0，1，(1，3.f(x)在区间3，1，0，1上为减函数，在(1，0)，(1，3上为增函数.当0x3时，函数f(x)(x1)22的最小值为f(1)2，最大值为f(3)2；当3x0时，函数f(x)(x1)22的最小值为f(1)2，最大值为f(3)2.故函数f(x)的值域为2，2.【训练7】对于任意xR，函数f(x)表示x3，x，x24x3中的较大者，则f(x)的最小值是_.解析首先应理解题意，“函数f(x)表示x3，x，x24x3中的较大者”是指对某个区间而言，函数f(x)表示x3，x，x24x3中最大的一个.如图，分别画出三个函数的图象，得到三个交点A(0，3)，B(1，2)，C(5，8).从图象观察可得函数f(x)的表达式：f(x)f(x)的图象是图中的实线部分，图象的最低点是点B(1，2)，所以f(x)的最小值是2.答案2基础过关1.若集合A0，1，2，3，B1，2，4，则集合AB ()A.0，1，2，3，4 B.1，2，3，4C.1，2 D.0解析集合A有4个元素，集合B有3个元素，它们都含有元素1和2，因此，AB共含有5个元素.故选A.答案A2.集合Px|y，集合Qy|y，则P与Q的关系是()A.PQ B.PQC.PQ D.PQ解析Px|y1，)，Qy|y0，)，所以QP.答案B3.若函数f(1)x22x，则f(3)()A.0 B.1 C.2 D.3解析在f(1)x22x中，令x2，得f(3)22220.答案A4.函数f(x)的定义域是_.解析由得xa，如果ABR，那么a的取值范围是_.解析如图所示，若要ABR，需a2，即a的取值范围是(，2.答案(，26.已知集合Ax|3x6，Bx|2x9.(1)分别求R(AB)，(RB)A；(2)已知Cx|axa1，若CB，求实数a的取值范围.解(1)ABx|3x6，Bx|2x9，R(AB)x|x3或x6，RBx|x2或x9.又Ax|3x6，(RB)Ax|x2或3x6或x9.(2)CB，解得2a8.故实数a的取值范围为a|2a8.7.对于函数f(x)x22|x|.(1)判断其奇偶性，并指出图象的对称性；(2)画此函数的图象，并指出单调区间和最小值.解(1)函数的定义域为R，关于原点对称，又f(x)(x)22|x|x22|x|，则f(x)f(x)，f(x)是偶函数.图象关于y轴对称.(2)f(x)x22|x|画出图象如图所示，根据图象知，函数f(x)的最小值是1.单调增区间是1，0，1，)；单调减区间是(，1，0，1.能力提升8.设Ax|3x3，By|yx2t.若AB，则实数t的取值范围是()A.t3 D.t3解析x20，yx2tt，即By|yt，若AB，则t0时，f(x)单调递增，Pf()，Qf(3.14)，R()，则P，Q，R的大小为()A.RQP B.QRPC.PRQ D.PQR解析因为f(x)在(0，)上单调递增，且3.14，故f()f(3.14)f()，又f(x)是偶函数，所以f()f()，故f()f(3.14)f()，即PQR.答案D10.已知集合A(x，y)|y2x1，B(x，y)|yx3，若mA，mB，则m为_.解析由mA，mB知m(AB)，又由得即m为(4，7).答案(4，7)11.已知函数f(x)(a0，x0)，若f(x)在上的值域为，则a_.解析易知f(x)在上是增函数，又f(x)在上的值域为，所以f2，f(2)2，解得a.答案12.函数f(x)4x24axa22a2在区间0，2上有最小值3，求a的值.解f(x)4(x)22a2，当0，即a0时，函数f(x)在0，2上是增函数.f(x)minf(0)a22a2.由a22a23，得a1.a0，a1.当02，即0a0，满足f()f(x)f(y).(1)求f(1)的值；(2)若f(6)1，解不等式f(x3)f()2.解(1)在f()f(x)f(y)中，令xy1，则有f(1)f(1)f(1)，f(1)0.(2)f(6)1，f(x3)f()2f(6)f(6)，f(3x9)f(6)f(6)，即f()f(6).f(x)是(0，)上的增函数，解得3x9，即不等式的解集为(3，9).章末检测(一)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分)1.设集合Ax|(x1)(x2)20，则集合A中元素的个数为()A.1 B.2 C.3 D.4解析由(x1)(x2)20，可得x1或x2.则集合A中元素的个数为2.故选B.答案B2.已知集合MxN*|3x5，Nx|x5或x5，则M(RN)等于()A.1，2，3，4，5 B.x|3x5C.x|5x5 D.1，2，3，4解析MxN*|3x51，2，3，4，5，Nx|x5或x5，RNx|5x5，则M(RN)1，2，3，4，故选D.答案D3.集合Ax|x2，Bx|0x2，则A(RB)()A.x|x2 B.x|x1或x2C.x|x2 D.x|x2解析Bx|0x2，RBx|x2.Ax|x2，A(RB)x|x2.答案D4.下列四组函数，表示相等函数的是()A.f(x)，g(x)xB.f(x)x，g(x)C.f(x)，g(x)D.f(x)|x1|，g(x)解析A选项两者的定义域相同，但是f(x)|x|，对应法则不同；B选项两个函数的定义域不同，f(x)的定义域是R，g(x)的定义域是x|x0；C选项两个函数的定义域不同，f(x)的定义域是(，2)(2，)，g(x)的定义域是(2，)；D选项根据绝对值的意义，把函数f(x)整理成g(x)，两个函数的三个要素都相同，故选D.答案D5.F(x)(x32x)f(x)(x0)是奇函数，且f(x)不恒等于零，则f(x)为()A.奇函数 B.偶函数C.奇函数或偶函数 D.非奇非偶函数解析F(x)(x32x)f(x)(x0)是奇函数，且f(x)不恒等于零，可得F(x)(x32x)f(x)F(x)(x32x)f(x)，可得f(x)f(x)，即有f(x)为偶函数.故选B.答案B6.若函数f(x)x24x6，则f(x)在3，0)上的值域为()A.2，6 B.2，6)C.2，3 D.3，6解析函数f(x)x24x6，当x3，0)时，函数f(x)在区间3，2上单调递减，在区间2，0)上单调递增.f(2)2，f(3)3，f(0)6，2f(x)0的解集为()A.(，0)(1，) B.(6，0)(1，3)C.(，1)(3，) D.(，1)(3，)解析f(x)是定义在R上的偶函数，f(1)0且在0，)上单调递增，f(1)0且f(x)在(，0上单调递减，由f(2x1)0得2x11或2x11或x0，则不等式的解集为(，0)(1，)，故选A.答案A8.a，b为实数，集合M，Na，0，f：x2x表示把集合M中的元素x映射到集合N中为2x，则ab()A.2 B.0 C.2 D.2解析由条件知M中元素只能对应0，1只能对应a，所以0，a2，所以b0，a2，因此ab2.答案C9.设f(x)则f(5)的值是()A.24 B.21 C.18 D.16解析f(5)f(f(10)f(f(f(15)f(f(18)f(21)24.答案A10.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，x0时，f(x)x22x，则函数f(x)在R上的解析式是()A.f(x)x(x2)B.f(x)x(|x|2)C.f(x)|x|(x2)D.f(x)|x|(|x|2)解析f(x)在R上是偶函数，且x0时，f(x)x22x，当x0时，x0，f(x)(x)22xx22x，则f(x)f(x)x22xx(x2).又当x0时，f(x)x22xx(x2)，因此f(x)|x|(|x|2).答案D11.已知函数f(x)是R上的增函数，则a的取值范围是()A.3a0 B.3a2C.a2 D.a0时，f(x)1，则当x0时，f(x)1，当x0，f(x)f(x)1，即x0时，f(x)1.答案115.已知函数f(x)，则函数g(x)ff的定义域是_.解析由0，解得0x2，故解得x，故函数的定义域为.答案16.如果函数g(x)是奇函数，则f(x)_.解析设x0，g(x)2x3.g(x)为奇函数，f(x)g(x)g(x)2x3.答案2x3三、解答题(本大题共6个小题，共70分)17.(10分)已知集合Ax|2ax2a，Bx|x1或x4.(1)当a3时，求AB；(2)若AB，求实数a的取值范围.解(1)当a3时，Ax|1x5，Bx|x1或x4，ABx|1x1或4x5.(2)若A，此时2a2a，a0，满足AB.当a0时，Ax|2ax2a，AB，0a1.综上可知，实数a的取值范围是(，1).18.(12分)已知函数f(x)是奇函数，且f(2)5.(1)确定函数f(x)的解析式；(2)判断f(x)在(0，1)上的单调性.解(1)根据题意，函数f(x)是奇函数，则f(x)f(x)，即有，即b0，又由f(2)5，则有5，可解得a2，故f(x).(2)根据题意，设任意的实数x1，x2，且0x1x21，则f(x1)f(x2)2(x1x2)22(x1x2)2(x1x2)，又由0x1x21，则x1x20，x1x20，即f(x1)f(x2)，所以f(x)在(0，1)上是减函数.19.(12分)已知二次函数f(x)的图象过点(0，4)，对任意x满足f(2x)f(x)，且有最小值为1.(1)求f(x)的解析式；(2)若f(x)在区间3a，a1上不单调，求实数a的取值范围.解(1)对任意x，f(x)满足f(2x)f(x)，则有：对称轴x1，又最小值为1，设二次函数解析式为f(x)a(x1)21(a0).f(x)的图象过点(0，4)，a(01)214，a3，f(x)的解析式为f(x)3x26x4.(2)由(1)可知f(x)3x26x4，对称轴x1，开口向上.若f(x)在区间3a，a1上不单调，则有：解得0a，所以实数a的取值范围为.20.(12分)已知函数f(x)x24x4.(1)若x0，5，求f(x)的值域；(2)若xt，t1(tR)，求函数f(x)的最小值g(t)的解析式.解(1)f(x)x24x4(x2)28，对称轴x2，开口向上，f(x)在0，2)上递减，在(2，5上递增，f(x)的最小值是f(2)8，f(x)的最大值是f(5)1，故f(x)的值域为8，1.(2)f(x)x24x4(x2)28，即抛物线开口