高中数学第三章导数在研究函数中的应用课堂10分钟达标3.3.3函数的最大小值与导数检测（含解析）.docx

课堂10分钟达标1.函数f(x)=x3-3x(|x|1)()A.有最大值,但无最小值B.有最大值,也有最小值C.无最大值,但有最小值D.既无最大值,也无最小值【解析】选D.f(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1),当x(-1,1)时,f(x)0,所以f(x)在(-1,1)上是单调递减函数,无最大值和最小值.2.下列说法正确的是()A.函数在其定义域内若有最值与极值,则其极大值便是最大值,极小值便是最小值B.闭区间上的连续函数一定有最值,也一定有极值C.若函数在其定义域上有最值,则一定有极值;反之,若有极值,则一定有最值D.若函数在给定区间上有最大、小值,则有且仅有一个最大值,一个最小值,但若有极值,则可有多个极值【解析】选D.由极值与最值的区别知选D.3.函数y=2x3-3x2-12x+5在-2,1上的最大值、最小值分别是()A.12,-8B.1,-8C.12,-15D.5,-16【解析】选A.y=6x2-6x-12,由y=0x=-1或x=2(舍去).x=-2时y=1,x=-1时y=12,x=1时y=-8.所以ymax=12,ymin=-8.4.函数f(x)=x3-3ax-a在(0,1)内有最小值,则a的取值范围为()A.0a1B.0a1C.-1a1D.0a12【解析】选B.因为f(x)=x3-3ax-a,所以f(x)=3x2-3a,令f(x)=0,可得a=x2,又因为x(0,1),所以0a1.【补偿训练】函数f(x)=ex-x在区间-1,1上的最大值是()A.1+1eB.1C.e+1D.e-1【解析】选D.f(x)=ex-1.令f(x)=0,得x=0.当x-1,0时,f(x)0;当x0,1时,f(x)0.所以f(x)在-1,0上递减,在0,1上递增.又因为f(-1)=+1,f(1)=e-1,所以f(-1)-f(1)=2+-e0,所以f(-1)f(1).所以f(x)max=f(1)=e-1.5.函数f(x)=x3-x2-x+a在区间0,2上的最大值是3,则a等于.【解析】f(x)=3x2-2x-1,令f(x)=0,解得x=-(舍去)或x=1,又f(0)=a,f(1)=a-1,f(2)=a+2,则f(2)最大,即a+2=3,所以a=1.答案:16.已知a是实数,函数f(x)=x2(x-a).(1)若f(1)=3,求a的值及曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程.(2)求f(x)在区间0,2上的最大值.【解析】(1)f(x)=3x2-2ax.因为f(1)=3-2a=3,所以a=0.又当a=0时,f(1)=1,f(1)=3,所以曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为3x-y-2=0.(2)令f(x)=0,解得x1=0,x2=.当0,即a0时,f(x)在0,2上单调递增,从而f(x)max=f(2)=8-4a.当2,即a3时,f(x)在0,2上单调递减,从而f(x)max=f(0)=0.当02,即0a3时,f(x)在上单调递减,在上单调递增,从而f(x)max=综上所述,f(x)max=7.【能力挑战题】已知对任意的实数m,直线x+y+m=0都不与曲线f(x)=x3-3ax(aR)相切.(1)求实数a的取值范围.(2)当x-1,1时,函数y=f(x)的图象上是否存在一点P,使得点P到x轴的距离不小于14,试证明你的结论.【解题指南】(1)通过对函数y=f(x)求导,得导函数的值域,对任意mR,直线x+y+m=0都不与y=f(x)相切,故-1-3a,+),从而求得实数a的取值范围.(2)问题等价于当x-1,1时,|f(x)|max.构造函数g(x)=|f(x)|,g(x)在x-1,1上是偶函数,故只要证明当x0,1时|f(x)|max即可,然后分a0和0a两种情况分别给予证明.【解析】(1)f(x)=3x2-3a-3a,+).因为对任意mR,直线x+y+m=0都不与y=f(x)相切,所以-1-3a,+),-1-3a,实数a的取值范围是a1;当0a时,f(x)=3x2-3a=3(x+)(x-),列表:x(-,-a)-a(-a,a)a(a,+)f(x)+0-0+f(x)极大值2aa极小值-2aaf(x)在(0,)上递减,在(,1)上递增,注意到f(0)=f()=0,且1,所以x(0,)时,g(x)=-f(x),x(,1)时,g(x)=f(x),所以g(x)max=maxf(1),-f().由f(1)=1-3a及0a,解得0a,此时-f()f(1)成立