高中数学第三章函数的应用3.1函数与方程3.1.2用二分法求方程的近似解学案(含解析)新人教版.docx_第1页
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文档简介

3.1.2用二分法求方程的近似解学习目标1.了解二分法求方程近似解的步骤.2.能用二分法求出方程的近似解.知识点1二分法的定义(1)满足的条件:在区间a,b上连续不断的函数yf(x)且在区间端点的函数值满足:f(a)f(b)0.(2)操作过程:把函数f(x)的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点的近似值.【预习评价】二分法求函数的零点的近似值适合于()A.零点两侧函数值异号的函数B.零点两侧函数值同号的函数C.所有函数都适合D.所有函数都不适合解析由函数零点存在性定理可知选A.答案A知识点2二分法求函数零点近似值的步骤【预习评价】(正确的打“”,错误的打“”)(1)二分法所求出的方程的解都是近似解.()(2)函数f(x)|x|可以用二分法求零点.()(3)用二分法求函数零点的近似值时,每次等分区间后,零点必定在右侧区间内.()提示(1)如函数f(x)x2用二分法求出的解就是精确解.(2)对于函数f(x)|x|,不存在区间(a,b),使f(a)f(b)0,所以不能用二分法求其零点.(3)函数的零点也可能是区间的中点或在左侧区间内.题型一二分法概念的理解【例1】(1)下列函数中,不能用二分法求零点的是()(2)用二分法求方程2x3x70在区间(1,3)内的根,取区间的中点为x02,那么下一个有根的区间是_.解析(1)观察图象与x轴的交点,若交点附近的函数图象连续,且在交点两侧的函数值符号相异,则可用二分法求零点,故B不能用二分法求零点.(2)设f(x)2x3x7,则f(1)2370,f(2)30,故f(x)零点所在的区间为(1,2),方程2x3x70有根的区间是(1,2).答案(1)B(2)(1,2)规律方法运用二分法求函数的零点应具备的条件(1)函数图象在零点附近连续不断.(2)在该零点左右函数值异号.只有满足上述两个条件,才可用二分法求函数零点.【训练1】已知函数f(x)的图象如图,其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为()A.4,4B.3,4C.5,4D.4,3解析图象与x轴有4个交点,所以零点的个数为4;零点左、右函数值异号的有3个,所以可以用二分法求解的个数为3.答案D题型二用二分法求函数的零点【例2】用二分法求函数f(x)x3x1在区间1,1.5内的一个零点(精确度0.01).解经计算,f(1)0,所以函数在1,1.5内存在零点x0.取区间(1,1.5)的中点x11.25,经计算f(1.25)0,因为f(1.25)f(1.5)0,所以x0(1.25,1.5).如此继续下去,得到函数的一个零点所在的区间,如下表:(a,b)(a,b)的中点中点函数值符号(1,1.5)1.25f(1.25)0(1.25,1.375)1.312 5f(1.312 5)0(1.312 5,1.343 75)1.328 125f(1.328 125)0(1.312 5,1.328 125)1.320 312 5f(1.320 312 5)0因为|1.328 1251.320 312 5|0.007 812 50.01,所以函数f(x)x3x1的一个精确度为0.01的近似零点可取为1.328 125.规律方法用二分法求函数零点的近似值应遵循的原则(1)需依据图象估计零点所在的初始区间m,n(一般采用估计值的方法完成).(2)取区间端点的平均数c,计算f(c),确定有解区间是m,c还是c,n,逐步缩小区间的“长度”,直到区间的两个端点符合精确度要求,终止计算,得到函数零点的近似值.【训练2】证明函数f(x)2x3x6在区间(1,2)内有唯一一个零点,并求出这个零点(精确度0.1).解f(1)10,又f(x)是增函数,函数f(x)2x3x6在区间(1,2)内有唯一的零点,设该零点为x0,则x0(1,2).取x11.5,则f(1.5)1.330,f(1)f(1.5)0,f(1)f(1.25)0,x0(1,1.25).取x31.125,则f(1.125)0.440,f(1.125)f(1.25)0,x0(1.125,1.25).取x41.187 5,则f(1.187 5)0.160,f(1.187 5)f(1.25)0,x0(1.187 5,1.25).|1.251.187 5|0.062 50.1,可取x01.25,则函数f(x)的一个零点可取x01.25.题型三用二分法求方程的近似解【例3】用二分法求方程2x33x30的一个正实数近似解(精确度0.1).解令f(x)2x33x3,经计算,f(0)30,f(1)20,f(0)f(1)0,所以函数f(x)在(0,1)内存在零点,即方程2x33x3在(0,1)内有解.取(0,1)的中点0.5,经计算f(0.5)0,又f(1)0,所以方程2x33x30在(0.5,1)内有解.如此继续下去,得到方程的正实数根所在的区间,如表:(a,b)中点cf(a)f(b)f()(0,1)0.5f(0)0f(1)0f(0.5)0(0.5,1)0.75f(0.5)0f(1)0f(0.75)0(0.5,0.75)0.625f(0.5)0f(0.75)0f(0.625)0(0.625,0.75)0.687 5f(0.625)0f(0.75)0f(0.687 5)0由于|0.687 50.75|0.062 50.1,所以方程2x33x30的一个精确度为0.1的正实数近似解可取为0.687 5.规律方法用二分法求方程的近似解的思路和方法(1)思路:求方程f(x)0的近似解,可按照用二分法求函数零点近似值的步骤求解.(2)方法:对于求形如f(x)g(x)的方程的近似解,可以通过移项转化成求函数F(x)f(x)g(x)的零点的近似值,然后按照用二分法求函数零点的近似值的步骤求解.【训练3】求方程x22x1的一个近似解(精确度0.1).解设f(x)x22x1.因为f(2)10,所以可以确定区间(2,3)作为计算的初始区间.用二分法逐步计算,列表如下:端点(中点)端点或中点的函数值取值区间f(2)1,f(3)2(2,3)x12.5f(2.5)0.250(2,2.5)x22.25f(2.25)0.437 50(2.25,2.5)x32.375f(2.375)0(2.375,2.437 5)由于|2.3752.437 5|0.062 50.1,因此可以选取区间(2.375,2.437 5)内的任意一个数,例如取2.4作为函数的一个零点,从而方程x22x1的一个近似解为2.4.课堂达标1.下列函数中能用二分法求零点的是()解析在A和D中,函数虽有零点,但它们均是不变号零点,因此它们都不能用二分法求零点.在B中,函数无零点.在C中,函数图象是连续不断的,且图象与x轴有交点,并且其零点为变号零点,所以C中的函数能用二分法求其零点.答案C2.用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时,经计算f(0.64)0,f(0.68)0,则函数的一个精确度为0.1的正实数零点的近似值为()A.0.9 B.0.7 C.0.5 D.0.4解析由题意可知函数的零点在(0.68,0.72)内,四个选项中只有0.7,满足|0.70.68|0.1,故选B.答案B3.用二分法求关于x的方程ln x2x60的近似解时,能确定为解所在的初始区间的是()A.(2,3) B.(0,2)C.(1,2) D.(0,)解析令函数f(x)ln x2x6,可判断f(x)在(0,)上单调递增,f(1)4,f(2)ln 220,根据函数的零点判断方法可得:零点在(2,3)内,方程ln x2x60的解所在的初始区间为(2,3).故选A.答案A4.某方程有一无理根在区间D(1,3)内,若用二分法求此根的近似值,将D等分_次后,所得近似值的精确度达到0.1.解析由10,n14,即n5.答案55.判定方程3xx20在区间1,2内是否有实数解,若有,求出精确度为0.01的近似解;若没有,请说明理由.解方程3xx20在区间1,2内没有实数解,下面说明理由.设f(x)3xx2,则f(1)20,f(2)50,又根据函数y3x,yx2增长速度可知,当x1,2时,3xx20恒成立,故不存在x1,2,使3xx20,即方程3xx20在区间1,2内没有实数解.课堂小结1.二分法就是通过不断地将所选区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,直至找到零点附近足够小的区间,根据所要求的精确度,用此区间的某个数值近似地表示真正的零点.2.并非所有函数都可以用二分法求其零点,只有满足:(1)在区间a,b上连续不断;(2)f(a)f(b)0.上述两条的函数,方可采用二分法求得零点的近似值.基础过关1.已知定义在R上的函数f(x)的图象是连续不断的,且有如下对应值表:x0123f(x)3.10.10.93那么函数f(x)一定存在零点的区间是()A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,)解析因为f(1)f(2)0,所以f(x)在(1,2)内一定存在零点.答案B2.以下每个图象表示的函数都有零点,但不能用二分法求函数零点的是()解析根据二分法的思想,函数f(x)在区间a,b上的图象连续不断,且f(a)f(b)0,即函数的零点是变号零点,才能将区间a,b一分为二,逐步得到零点的近似值,对各图象分析可知,A,B,D都符合条件,而选项C的图象经过零点时函数值不变号,因此不能用二分法求函数零点.答案C3.在用二分法求函数f(x)零点近似值时,第一次所取的区间是2,4,则第三次所取的区间可能是()A.1,4 B.2,1C. D.解析第一次所取的区间是2,4,第二次所取的区间可能为2,1,1,4,第三次所取的区间可能为,.答案D4.用二分法求方程x32x50在区间(2,4)上的实数根时,取中点x13,则下一个有根区间是_.解析设函数f(x)x32x5,则f(2)10,f(4)510,下一个有根区间是(2,3).答案(2,3)5.关于“二分法”求方程的近似解,下列说法正确的有_.“二分法”求方程的近似解一定可将f(x)0在a,b内的所有根得到“二分法”求方程的近似解有可能得到f(x)0在a,b内的重根“二分法”求方程的近似解有可能得到f(x)0在a,b内没有根“二分法”求方程的近似解可能得到f(x)0在a,b内的精确解解析利用二分法求方程f(x)0在a,b内的根,那么在区间a,b内肯定有根存在,而对于重根无法求解出来,且所得的近似解可能是a,b内的精确解.答案6.用二分法求2xx4在1,2内的近似解(精确度为0.2).参考数据:x1.1251.251.3751.51.6251.751.8752x2.182.382.592.833.083.363.67解令f(x)2xx4,则f(1)2140.区间区间中点值xnf(xn)的值及符号(1,2)x11.5f(x1)0.330(1,1.5)x21.25f(x2)0.370(1.25,1.5)x31.375f(x3)0.0350(1.375,1.5)|1.3751.5|0.1250.2,2xx4在1,2内的近似解可取为1.375.7.已知函数f(x)3x在(1,)上为增函数,求方程f(x)0的正根(精确度0.01).解由于函数f(x)3x在(1,)上为增函数,故在(0,)上也单调递增,因此f(x)0的正根最多有一个.因为f(0)10,所以方程的正根在(0,1)内,取(0,1)为初始区间,用二分法逐次计算,列出下表:区间中点值中点函数近似值(0,1)0.50.732(0,0.5)0.250.084(0.25,0.5)0.3750.328(0.25,0.375)0.312 50.124(0.25,0.312 5)0.281 250.021(0.25,0.281 25)0.265 6250.032(0.265 625,0.281 25)0.273 437 50.005 43(0.273 437 5,0.281 25)因为|0.273 437 50.281 25|0.007 812 50.01,所以方程的根的近似值为0.273 437 5,即f(x)0的正根约为0.273 437 5.能力提升8.函数f(x)x3x22x2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算,参考数据如下表:f(1)2f(1.5)0.625f(1.25)0.984f(1.375)0.260f(1.437 5)0.162f(1.406 25)0.054那么方程x3x22x20的一个近似解(精确度为0.1)为()A.1.2 B.1.3 C.1.4 D.1.5解析f(1.437 5)0.162,f(1.406 25)0.054,f(1.437 5)f(1.406 25)0,即方程有一个近似解在(1.406 25,1.437 5)内.又|1.437 51.406 25|0.031 250.1,可取方程近似解为1.4.答案C9.用二分法求函数f(x)ln x2x6在区间(2,3)内的零点近似值,至少经过_次二分后精确度达到0.1.()A.2 B.3 C.4 D.5解析开区间(2,3)的长度等于1,每经过一次操作,区间长度变为原来的一半,经过n此操作后,区间长度变为,故有0.1,n4,至少需要操作4次.故选C.答案C10.用二分法研究函数f(x)x33x1的零点时,第一次经计算f(0)0,f(0.5)0,可得其中一个零点x0_,第二次应计算_.解析二分法要不断地取区间的中点值进行计算.由f(0)0,f(0.5)0,知x0(0,0.5).再计算0与0.5的中点0.25的函数值,以判断x0更准确的位置.答案(0,0.5)f(0.25)11.函数f(x)x2axb有零点,但不能用二分法求出,则a,b的关系是_.解析函数f(x)x2axb有零点,但不能用二分法,函数f(x)x2axb的图象与x轴相切,a24b0,a24b.答案a24b12.求函数y2x3x7的近似零点(精确度为0.1).解设f(x)2x3x7,根据二分法逐步缩小函数的零点所在的区间.经计算,f(1)20,所以函数f(x)2x3x7在1,2内存在零点.取1,2的中点1.5,经计算,f(1.5)0.330,又f(1)20,所以函数f(x)2x3x7在1,1.5内有零点.如此下去,得到函数f(x)2x3x7的零点所在的区间,如下表:左端点右端点第1次12第2次11.5第3次1.251.5第4次1.3751.5第5次1.3751.437 5因为|1.437 51.375|0.062 50.1,所以1.4是函数y2x3x7的近似零点.13.(选做题)如图,有一块边长为15 cm的正方形铁皮,将其四个角各截去一个边长为x cm的小正方形,然后折成一个无盖的盒子.(1)求出盒子的体积y以x为自变量的函数解析式,并讨论这个函数的定义

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