高中数学第三章生活中的优化问题举例课后提升作业(二十五)3.4生活中的优化问题举例检测(含解析).docx_第1页
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课后提升作业 二十五生活中的优化问题举例(45分钟70分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.用长为24m的钢筋做成一个长方体框架,若这个长方体框架的底面为正方形,则这个长方体体积的最大值为()A.8m3B.12m3C.16m3D.24m3【解析】选A.设长方体的底面边长为xm,则高为(6-2x)m,所以0x0),L=2-.令L=0,得x=16或x=-16(舍去).因为L在(0,+)上只有一个极值点,所以它必是最小值点.因为x=16,所以=32.故当堆料场的宽为16m,长为32m时,可使砌墙所用的材料最省.【拓展延伸】求几何体面积或体积的最值问题的关键:1.分析几何体的几何特征,根据题意选择适当的量建立面积或体积的函数,2.再用导数求最值.3.某银行准备新设一种定期存款业务,经预算,存款量与存款利率的平方成正比,比例系数为k(k0).已知贷款的利率为0.0486,且假设银行吸收的存款能全部放贷出去.设存款利率为x,x(0,0.0486),若使银行获得最大收益,则x的取值为()A.0.016 2B.0.032 4C.0.024 3D.0.048 6【解析】选B.依题意,存款量是kx2,银行支付的利息是kx3,获得的贷款利息是0.0486kx2,其中x(0,0.0486).所以银行的收益是y=0.0486kx2-kx3(0x0.0486),则y=0.0972kx-3kx2.令y=0,得x=0.0324或x=0(舍去).当0x0;当0.0324x0.0486时,y0),则底面积S=x2,所以h=.S表=x3+x22=+x2,S表=x-,令S表=0得x=,因为S表只有一个极值,故x=为最小值点.6.把一个周长为12cm的长方形作为一个圆柱的侧面,当圆柱的体积最大时,该圆柱底面周长与高的比为()A.12B.1C.21D.2【解析】选C.设圆柱高为x,底面半径为r,则r=,圆柱体积V=x=(x3-12x2+36x)(0x6),V=(x-2)(x-6),当x=2时,V最大.此时底面周长为4,底面周长高=42=21.7.三棱锥O-ABC中,OA,OB,OC两两垂直,OC=2x,OA=x,OB=y,且x+y=3,则三棱锥O-ABC体积的最大值为()A.4B.8C.43D.83【解析】选C.V=y=(0x0,p(x)递增,当x(300,390)时,p(x)390时,p(x)=90090-100x-2000090090-100390-20000=310900),则获得最大利润时的年产量为百万件.【解析】依题意得,y=-3x2+27=-3(x-3)(x+3),当0x0;当x3时,y0),y=-+,令y=0,得x=5或x=-5(舍去).当0x5时,y5时,y0.所以当x=5时,y取得极小值,也是最小值.所以当仓库建在离车站5千米处时,两项费用之和最小.答案:5三、解答题(每小题10分,共20分)11.(2016韶关高二检测)已知A,B两地相距200km,一只船从A地逆水行驶到B地,水速为8km/h,船在静水中的速度为vkm/h(80),则y1=kv2,当v=12时,y1=720,所以720=k122,得k=5.设全程燃料费为y元,由题意y=y1=,所以y=.令y=0,得v=16,所以当v016,v=16km/h时全程燃料费最省,ymin=32000(元);当v016,v(8,v0时,y0,即y在(8,v0上为减函数,所以当v=v0时,ymin=(元).综上,当v016,v=16km/h时,船的实际速度为16-8=8(km/h),此时全程燃料费最省,为32000元;当v016,v=v0时,船的实际速度为(v0-8)km/h,此时全程燃料费最省,为元.【误区警示】忽视定义域致错本题在解题过程中容易忽视定义域,误以为v=16时取得最小值.本题的关键是弄清极值点是否在定义域范围内.12.某种产品每件成本为6元,每件售价为x元(6x11),年销量为u万件,若已知5858-u与x-2142成正比,且售价为10元时,年销量为28万件.(1)求年利润y万元关于售价x的函数关系式.(2)求售价为多少时,年利润最大,并求出最大年利润.【解析】(1)设-u=k,因为售价为10元时,年销量为28万件,所以-28=k,解得k=2.所以u=-2+=-2x2+21x+18.所以y=(-2x2+21x+18)(x-6)=-2x3+33x2-108x-108(6x0;当x(9,11)时,y0.所以函数y=-2x3+33x2-108x-108在(6,9)上是递增的,在(9,11)上是递减的.所以当x=9时,ymax=135,所以售价为9元时,年利润最大,最大年利润为135万元.【补偿训练】某单位用木料制作如图所示的框架,框架的下部是边长分别为x,y(单位:m)的矩形,上部是等腰直角三角形,要求框架的总面积为8m2,问:x,y分别是多少时用料最省?(精确到0.001m)【解析】依题意,有xy+x=8,所以y=-(0x4),于是框架用料长度为l=2x+2y+2=x+16x.l=+-=0,解得x1=8-4,x2=4-8(舍去).当0x8-4时, l0;当8-4x0,所以当x=8-4时,l取得最小值,此时,x=8-42.343(m),y2.829m.即当x为2.343m,y为2.829m时,用料最省.【能力挑战题】请您设计一个帐篷,它下部的形状是高为1m的正六棱柱,上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥.试问当帐篷的顶点O到底面中心O1的距离为多少时,帐篷的体积最大?最大体积是多少?【解题指南】帐篷可看做一个正六棱锥与一个正六棱柱的组合体.【解析】设OO1为xm,则1x4.由题设可得正六棱锥底面边长为=.于是底面正六边形的面积为6()2=(8+2x-x2).帐篷的体积为V(x)=(8+2x-x2)=(16+12x-x3)

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