高中数学第二章基本初等函数（Ⅰ）2.1指数函数2.1.2指数函数及其性质第1课时指数函数的图象及性质学案.docx

2.1.2指数函数及其性质第1课时指数函数的图象及性质学习目标1.了解指数函数的概念(易错点).2.会画出指数函数图象(重点).3.掌握并能应用指数函数的性质(重、难点).知识点1指数函数的概念一般地，函数yax(a0，且a1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R.【预习评价】(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数y2x是指数函数.()(2)函数y2x1是指数函数.()(3)函数y(3)x是指数函数.()提示(1)因为指数幂2x的系数为1，所以函数y2x不是指数函数；(2)因为指数不是x，所以函数y2x1不是指数函数；(3)因为底数小于0，所以函数y(3)x不是指数函数.知识点2指数函数的图象及性质a10a1图象性质定义域：R值域：(0，)过点(0，1)，即x0时，y1当x0时，y1；当x0时，0y1当x0时，0y1；当x0时，y1在R上是增函数在R上是减函数【预习评价】(1)函数y2x的图象是()(2)函数f(x)ax12(a0且a1)的图象恒过定点_.解析(1)y2x是(，)上的单调递减函数，故选B.(2)令x10，则x1，f(1)a021，则f(x)的图象恒过点(1，1).答案(1)B(2)(1，1)题型一指数函数的概念及应用【例1】(1)给出下列函数：y23x；y3x1；y3x；yx3；y(2)x.其中，指数函数的个数是()A.0 B.1 C.2 D.4(2)已知函数f(x)是指数函数，且f，则f(3)_.解析(1)中，3x的系数是2，故不是指数函数；中，y3x1的指数是x1，不是自变量x，故不是指数函数；中，3x的系数是1，幂的指数是自变量x，且只有3x一项，故是指数函数；中，yx3的底为自变量，指数为常数，故不是指数函数.中，底数20，不是指数函数.(2)设f(x)ax(a0且a1)，由fa5，故a5，故f(x)5x，所以f(3)53125.答案(1)B(2)125规律方法判断一个函数是指数函数的方法(1)看形式：只需判断其解析式是否符合yax(a0，且a1)这一结构特征.(2)明特征：看是否具备指数函数解析式具有的三个特征.只要有一个特征不具备，则该函数不是指数函数.【训练1】若函数ya2(2a)x是指数函数，则()A.a1或1 B.a1C.a1 D.a0且a1解析由条件知解得a1.答案C题型二指数函数图象的应用【例2】(1)函数f(x)2ax13(a0，且a1)的图象恒过的定点是_.(2)已知函数y3x的图象，怎样变换得到y2的图象？并画出相应图象.(1)解析因为yax的图象过定点(0，1)，所以令x10，即x1，则f(x)1，故f(x)2ax13的图象过定点(1，1).答案(1，1)(2)解y23(x1)2.作函数y3x的图象关于y轴的对称图象得函数y3x的图象，再向左平移1个单位长度就得到函数y3(x1)的图象，最后再向上平移2个单位长度就得到函数y3(x1)22的图象，如图所示.规律方法处理函数图象问题的策略(1)抓住特殊点：指数函数的图象过定点(0，1)，求指数型函数图象所过的定点时，只要令指数为0，求出对应的y的值，即可得函数图象所过的定点.(2)巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平移).(3)利用函数的性质：奇偶性与单调性.【训练2】(1)函数y2|x|的图象是()(2)函数f(x)axb的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是()A.a1，b1，b0C.0a0D.0a1，b0解析(1)y2|x|故选B.(2)从曲线的变化趋势，可以得到函数f(x)为减函数，从而有0a1；从曲线位置看，是由函数yax(0a0，即b0.答案(1)B(2)D题型三指数型函数的定义域、值域问题【例3】(1)函数f(x)的定义域为()A.(3，0 B.(3，1C.(，3)(3，0 D.(，3)(3，1(2)函数f(x)1，x1，2的值域为_.(3)函数y4x2x11的值域为_.解析(1)由题意得自变量x应满足解得30，故y1，即函数的值域为(1，).答案(1)A(2)(3)(1，)规律方法指数型函数yaf(x)的定义域、值域的求法(1)定义域：函数yaf(x)的定义域与yf(x)的定义域相同.(2)值域：换元，tf(x).求tf(x)的定义域为xD.求tf(x)的值域为tM.利用yat的单调性求yat，tM的值域.【训练3】求函数y5的定义域和值域.解由2x40，得x2，故函数的定义域为x|x2.因为0，所以y51，故函数的值域为y|y1.课堂达标1.若函数f(x)是指数函数，且f(2)2，则f(x)()A.()x B.2x C. D.解析由题意，设f(x)ax(a0且a1)，则由f(2)a22，得a，所以f(x)()x.答案A2.当x2，2)时，y3x1的值域是()A. B. C. D.解析y3x1，x2，2)是减函数，321y321，即0，且a1)的定义域是(，0，求实数a的取值范围.解由题意，当x0时，ax1，所以0a1，故实数a的取值范围是0a0且a1)这一结构形式，即ax的系数是1，指数是x且系数为1.2.指数函数yax(a0且a1)的性质分底数a1，0a0且a1)的定义域为R，即xR，所以函数yaf(x)(a0且a1)与函数f(x)的定义域相同.4.求函数yaf(x)(a0且a1)的值域的关键是求f(x)的值域.基础过关1.函数y(a24a4)ax是指数函数，则a的值是()A.4 B.1或3C.3 D.1解析由题意得得a3，故选C.答案C2.函数y823x(x0)的值域是()A.0，8) B.(0，8)C.0，8 D.(0，8解析x0，x0，3x3，023x238，0823xnm0，则指数函数ymx，ynx的图象为()解析由于0mn1，所以ymx与ynx都是减函数，故排除A，B，作直线x1与两个曲线相交，交点在下面的是函数ymx的图象，故选C.答案C4.指数函数y(2a)x在定义域内是减函数，则a的取值范围是_.解析由题意可知，02a1，即1a0且a1.(1)求a的值；(2)求函数yf(x)1(x0)的值域.解(1)因为函数f(x)ax1(x0)的图象经过点，所以a21a.(2)由(1)得f(x)(x0)，函数为减函数，当x0时，函数取最大值2，故f(x)(0，2，所以函数yf(x)11(x0)(1，3，故函数yf(x)1(x0)的值域为(1，3.7.设f(x)3x，g(x).(1)在同一平面直角坐标系中作出f(x)，g(x)的图象；(2)计算f(1)与g(1)，f()与g()，f(m)与g(m)的值，从中你能得到什么结论？解(1)函数f(x)，g(x)的图象如图所示：(2)f(1)313，g(1)3；f()3，g()3；f(m)3m，g(m)3m.从以上计算的结果看，两个函数当自变量取值互为相反数时，其函数值相等，即当指数函数的底数互为倒数时，它们的图象关于y轴对称.能力提升8.下图是指数函数(1)yax，(2)ybx，(3)ycx，(4)ydx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系是()A.ab1cd B.ba1dcC.1abcd D.ab1dc解析法一当指数函数底数大于1时，图象上升，且当底数越大，图象向上越靠近于y轴；当底数大于0且小于1时，图象下降，底数越小，图象向右越靠近于x轴.得ba1dd1a1b1，ba1d0，a1)的图象可能是()解析函数f(x)的图象恒过(1，0)点，只有图象D适合.答案D10.函数f(x)的值域是_.解析函数yf(x)，即有3x，由于3x0，则0，解得0y1.故值域为(0，1).答案(0，1)11.已知实数a，b满足等式，给出下列五个关系式：0ba；ab0；0ab；bab0；若a，b均为负数，则ab0；若ab0，则1，故不可能成立.答案12.设0x2，y4x32x5，试求该函数的最值.解令t2x，0x2，1t4.则y22x132x5t23t5.又y(t3)2，t1，4，y(t3)2在t1，3上是减函数，在t3，4上是增函数，当t3时，ymin；当t1时，ymax.故函数的最大值为，最小值为.13.(选做题)已知f(x)为定义在(1，1)上的奇函数，当x(0，1)时，f(x)2x22x.(1)求f(x)在(1，1)上的解析式；(