多元函数积分概念与性质.ppt

将一元函数积分学中的“分割、近似、求和、 取极限”思想推广，运用到多元函数情形。,第1节 多元数量函数积分的 概念和性质,1.曲顶柱体的体积 曲顶柱体：以XOY平面上的闭区域D为底，以D 的边界曲线为准线，母线平行于Z 轴的 柱面为侧面，并以z=f(x,y) 为顶的空间立体.,一. 两个实例：,如何求此曲顶柱体的体积V？微元法思想.,分割： 把 D 任意分成 n 个小区域 (同时用 表示第 i 个小区域的面积），分别以 的边界为准线作母线平行于 z 轴的柱面，则原曲顶柱体分成了 n 个小的曲顶柱体。,近似 ： 任取 ， 则以 为底的小曲顶柱 体体积:,求和：,取极限：区域中任意两点距离的最大值称为该区域的直径，记,则：,设有一物体对应于空间曲面 ,(x,y,z) 为密度 函数(连续）， 现要求该物体的质量 m。,2. 质量：,分割：把任意分成n 小块 ， 表示 第 i 小块曲面的面积。,近似：任取 ，则第 i小块曲面的质量,取极限：,求和：,二. 数量函数积分的概念,定义1,二重积分；,三重积分：,其中称为积分域，f 称为被积函数，f(M)d 称为被积式或积分微元。,几种具体的类型：,第一型曲线积分,（对弧长的曲线积分）：,第一型曲面积分,（对面积的曲面积分）：,L称为积分路径。,数量函数积分的几何意义：,当 时， = 以D为底,以 为顶的曲顶柱体的体积；,数量函数积分的物理应用之一：,三. 积分存在的条件和性质.,必要条件: f 在上可积，则f 在上有界。,1.线性性质：,2.可加性,3.积分不等式 若 则,5.中值定理,特别地，有,若 则,第2节 二重积分的计算,一. 直角坐标系中二重积分的计算：,任取 ，过 x 轴作平行于yoz坐标面的平面，此平面与曲顶柱体之交为一曲边梯形，设其面积为 ，则,而该体积也可用定积分的方法求得:,X -型区域：任一平行 y 轴的直线与D的边界的交点至多只有两个。,上面假定 ，但实际上上公式对一般的 也成立。对各种不同类型的积分区域D，二重积分化为二次积分的情况总结如下：,Y -型区域：任一平行 x 轴的直线与D的边界的交点至多只有两个。,例 1 计算,解,解 法一 先对y后对x积分,例 2,法二 先对x后对y积分,解 由于 的原函数不能用初等函数表示，故不能先对y积分,例3 计算,注意：在例2中，法1比法2简便，在例3中，由于被积函数中含有 ，只能先对x积分. 因此，在把二重积分化为二次积分时，选择恰当的积分次序是非常重要的，而要计算二重积分，关键的是要化为二次积分。,例4 作出积分域，并改变积分次序：,解 原积分=,解 原积分=,解 原积分=,解 原积分,例5 求两个底面半径相同的正交圆柱体所围成的立体的体积。,解,二. 极坐标系下二重积分的计算,则得极坐标系下的二重积分计算公式:,作极坐标变换,若区域D可用极坐标的不等式,若区域D可用极坐标的不等式,若区域D可用极坐标的不等式,若区域D可用极坐标的不等式,于是,例6 计算,例 7 计算反常积分,解 设,而,从而,例8 将下列二次积分化为极坐标形式下的 二次积分：,解,积分区域：D:,在极坐标下，D：,于是,解,在极坐标下，将D分为二部分表示：,于是,解,在极坐标下，D分为二部分表示：,于是,解,例9 求Bernoulli双纽线,围成的面积A.,解 双纽线在极坐标下的方程为：,由 的周期性得图形的对称性，而且当 从 增加到 时， 由零增加到 ，再减少 到零，于是可得如图所示的双纽线图形。,（2）变换T： 把 uov平面上的区域 一对一的变为 D，,定理1 设（1）,（3）(u,v),(u,v)在 上具有一阶连续偏导数， 且：,三.二重积分的换元法,例10 计算,解,于是,例 11 求由曲线 所围区域 D 的面积S。,于是,例12 求椭圆 围成区域的面积A。,作 业,P93-97 习题6.2 1(1)(b) 2(3) 3(2) 4(1)(2)(