复变函数4.3-4.4复变函数的泰勒展开及罗朗展开.ppt

1 泰勒级数展开定理,2 将函数展开成泰勒级数,4.3 解析函数的泰勒展开,实函数在某一点的邻域内展开成泰勒级数是,非常重要的问题，它是表示函数、研究函数性质,以及进行数值计算的一种工具.,对于复变函数, 我们已经知道幂级数在收敛,圆域内收敛于解析函数. 在本节我们将证明解析,函数在解析点的某邻域内一定能够展开成幂级数,亦即泰勒级数. 这是解析函数的重要特征.,4.3.1 泰勒级数展开定理,R为 到D边界的距离,定理4.9 (Taylor展开定理) 设 在区域D,.,R,(D是全平面时, R=+),则 在 内可,展开为幂级数,其中,综合定理4.8和定理4.9，得到关于解析函数的 重要性质：,定理4.10 函数 f (z) 在z0处解析的充要条件是 f (z)在z0的某邻域内有泰勒展开式.,这是解析函数的重要特征.,泰勒展开式的唯一性,设复变函数 f (z) 是 D内的解析函数, z0是,注： 这个结果为把函数展开成泰勒级数的间接,方法奠定了基础.,4.3.2 将函数展开成泰勒级数,将函数展开为泰勒级数的方法:,1. 直接方法; 2. 间接方法.,1. 直接方法,由Taylor展开定理直接计算级数的系数,然后将函数 f (z) 在z0 展开成幂级数.,并且收敛半径,2. 间接方法,借助于一些已知函数的展开式 , 结合解析 函数的性质, 幂级数运算性质 (逐项求导, 逐项 积分等)和其它的数学技巧 (代换等) , 求函数的 泰勒展开式.,间接法的优点:,不需要求各阶导数与收敛半径 , 因而比直 接展开更为简洁 , 使用范围也更为广泛 .,例4.5 利用,并且收敛半径,同理,解：,故收敛半径,在 中，用-z替换 z, 则,逐项求导，得,令 则,解：根据例4.6，,泰勒级数，并指出该级数的收敛范围.,当 即 时,解：先对函数进行代数变形，即,附: 常见函数的Taylor展开式,1 罗朗级数的概念,2 函数的罗朗级数展开,3 典型例题,4.4 罗朗级数,4.4.1 罗朗级数的概念,如果函数f (z)在z0点解析, 则在z0的某邻域内, 可,展开为Taylor级数, 其各项由z-z0的非负幂组成. 如果,个圆环域内不一定都能展开为z-z0的幂级数.,本节将引进一种在圆环域收敛的双边幂级数,即Laurent级数. 它将在后面讨论孤立奇点与留数,及Z变换理论中起重要作用.,负幂项部分,正幂项部分,主要部分,解析部分,这种双边幂级数的形式为,同时收敛,罗朗级数,收敛,收敛半径R,收敛域,收敛半径R2,收敛域,两收敛域无公共部分;,两收敛域有公共部分,结论:,常见的特殊圆环域:,幂级数的收敛域是圆域,且和函数在收敛域 内解析. (2) 在圆域内的解析函数一定能展开成幂级数.,对于罗朗级数，已经知道： 罗朗级数的收敛域是圆环域，且和函数在圆环域内解析. 问题: 在圆环域内解析的函数是否可以展开 成罗朗级数?,对于通常的幂级数，讨论了下面两个问题:,4.4.2 函数的罗朗级数展开,定理4.12(Laurent展开定理) 设,在此圆环域内可展开为罗朗级数,其中,曲线C是圆环域内任一条绕z0的正向简单闭曲线.,注: 函数f (z)展开成罗朗级数的系数,与展开成Taylor级数的系数在形式上完全相同, 但,内不一定解析, 所以不能化为z0处的导数,解析, 那么根据柯西-古萨定理,所以罗朗级数包含了Taylor级数.,罗朗展开式的唯一性,设函数f (z)在圆环域R1|z-z0|R2内解析，并且可以展开成双边幂级数,则系数为,注:函数在圆环域内罗朗展开式是唯一的, 因此为,函数展开成罗朗级数的间接方法奠定了基础.,曲线C是圆环域内任一条绕z0的正向简单闭曲线.,将函数在圆环域内展开成罗朗级数, 理论,(1) 直接方法 直接计算展开式系数,然后写出罗朗展开式,这种方法只有理论意义, 而没有实用价值. 就是,上应该有两种方法: 直接方法与间接方法.,说, 只有在进行理论推导时, 才使用这种表示方法.,根据解析函数罗朗级数展开式的唯一性, 可运用代数运算、代换、求导和积分等方法将函数展开成罗朗级数.,(2) 间接方法,这是将函数展开成罗朗级数的常用方法.,数在各个不同的圆环域中有不同的罗朗展开式.,(包括Taylor展开式作为特例) 这与罗朗展开式的唯,一性并不矛盾, 但在同一圆环域内的展开式唯一.,内展开成罗朗级数.,处都解析, 并且可分解为,4.4.3 典型例题,函数f (z)在z=1和z=2处不解析, 在其它点,(1) 在 内, 有 则,于是在 内，,(2) 在 内, 有,于是在 内,(3) 在 内, 有,于是在 内,(4) 由 知,展开的级数形式应为,所以在 内,内展开成罗朗级数.,展开的级数形式应为,因为,所以在 内,为罗朗级数.,解 除z=0点之外, f (z)在复平面内处处解析,对任何复数z ,于是在 内,第四章 完,Niels Henrik Abel,(1802.8.5-1829.4.6),挪威数学家. 牧师的儿子, 家,境贫困. Abel 15岁读中学时, 优秀,的数学教师B. Holmboe(1795-1850)发现了Abel的数,学天才, 对他给予指导. 1821年进入克利斯安那大学.,1824年, 他解决了用根式求解五次方程的不可能性,问题. Abel短暂的一生中在分析和代数领域作出了,极其出色的贡献, 然而他的数学成就在当时没有得,到应有的注意, 生活悲惨, 在贫病交迫中早逝.,Brook Taylor,(1685.8.18-1731.12.29),英国数学家. 曾任英国皇家学,会秘书. 1715