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文档简介

一、阶跃函数和冲激函数,我们来讨论这样的一个函数:,(虚线代表n增大时的变化趋势),1.4 阶跃函数和冲激函数,该脉冲波形下的面积为1, 不妨称其为函数 的强度,宽度趋于0,幅度趋于无穷大,但强度=1,1.单位阶跃函数,2.单位冲激函数的定义有两种:,狄拉克(Dirac)给出的定义,函数值只在t = 0时不为零,积分面积(强度)为1,t =0 时, ,为无界函数。,n表示脉冲宽度,它们不同于普通函数。,函数本身有不连续点(跳变点)或其导数与积分有不连续点的情况,这类函数统称为奇异函数,符号函数:(Signum)奇异函数例,冲激函数的导数,的一阶导数 称为冲激偶,可以从下述关系理解公式,单位斜变函数,若冲激不是发生在原点,而是在 则记为,a0时,a(t)表示t=0处强度为a的冲激函数; a0时, a(t)表示t=0处强度为a的负冲激函数。,时移的冲激函数,三、有延迟的单位冲激和单位阶跃信号,有延迟的单位阶跃信号,单位阶跃信号,阶跃信号的作用: (1)利用阶跃信号的单边性表示信号的时间范围,例如:门函数,可表示为:,阶跃信号的作用:(2)表示任意的方波脉冲信号,其他函数只要用门函数处理(乘以门函数),就只剩下门内的部分。,例如:如图所示的函数:,可表示为:,例如:如下图所示的函数:,可表示为:,例如:如下图所示的 序列:,可表示为:,四、冲激函数的性质,设f(t)在t=0处连续,且处处有界,则:,仍为一个冲激函数, 但强度为 f(0)。,1、 及其导数与普通函数的乘积,具有提取连续时间信号样本的作用。,取样性质,冲激函数抽样性质证明,分 和 讨论,仍为一个冲激函数, 但强度为 f(0)。,1、 及其导数与普通函数的乘积,取样性质,例1.4-1:分别化简函数 ( 为常数)与 的乘积。(P19) 解:,例题:1.8 (8),例1-4.2,解:,如图所示。写出其用阶跃函数表示的表达式,求其导数,并画出波形,对上式求导,得,常义导数,强度等于2的冲激和强度为4的负冲激函数。,其波形图见下页:,冲激信号的作用1:表示信号间断点的导数,例1-4.2,解:,直接画图并写出其表达式,一般,设f(t)是分段连续函数,它在 处有第一类间断点。,则分段连续函数f(t)的导数为:,跳跃度,常义导数,强度等于 的冲激函数。,3、尺度变换,分析:用两边与f(t)的乘积的积分值相等证明, 分a0 、a0两种情况,两边相等,(1),尺度变换证明,(2),由上述得:,冲激偶尺度变换证明,(1),(2),得证,已知f(t),画出g(t) = f (t)和g(2t),4、奇偶性,取,当n为偶数时,,是t 的偶函数,当n为奇数时,,是t 的奇函数,是t 的偶函数,是t 的奇函数,5.复合函数形式的冲激函数(P21),不作要求,自学,考虑:,注意:只要积分区间不包括冲激信号(t-t0)的t=t0时刻,则积分结果必为零,冲激函数的性质总结,(1)抽样性,(3)奇偶性,(2)尺度变换(比例性),(4)微积分性质,(5)冲激偶,(6)卷积性质,1.5 系统的描述,动态系统:指任意时刻的响应,不仅与该时刻的激励 有关,而且与它过去的历史状况有关 。,系统按响应与激励之间的关系分为:,动态系统,即时系统:任意时刻的响应仅取决于该时刻的激励, 而与它过去的历史无关。如 , 加法器,数乘器等。,即时系统,激励与响应均为连续信号的系统,为连续系统。,激励与响应均为离散信号的系统,为离散系统。,系统按响应与激励的信号形式,连续系统,离散系统,一、系统的数学模型:,描述连续系统的数学模型:微分方程;,描述离散系统的数学模型:差分方程;,描述系统的方法有多种形式:方程描述(输入输出 方程和状态方程两种)、框图描述、信号流图描述、系统函数(系统单位冲激响应)描述等。,*系统的各种描述方式之间可以相互转换。,*对于一个确定的系统,输入输出方程形式唯一,系统函数唯一,而状态方程、框图、信号流图均可有多种形式。,例1、如图所示电路,写出:,解:(1) 激励, 响应,代入(1)式得:,以 为响应,则,微分方程的一般形式:,一般:,例2、某人向银行贷款 万元,月息为 ,他定于每月初还款,设第 月初还款为 万元。若令第 月尚未还清的钱款数为 万元,则有,差分方程的一般形式:,一般,二、系统的框图表示,在用方框图描述时,常用的基本单元有:,积分器,延时器,除了利用数学表达式描述系统模型外,也可以借助方框图表示系统模型。,数乘器,加法器,延迟单元,例1.5-1已知某连续系统的框图,写出系统的微分方程。,解:,(书上25页),例5.1-2某连续系统如图所示,写出该系统的微分方程,解:,先设中间变量,再对两个加法器列方程,最后消去中间变量。,(书上25页),对连续系统,设其最右端积分器的输出为x(t),对两个加法器列式:,消去中间变量,用 乘 :,用 乘 :,又:,例5.1-3、某离散系统如图所示,写出该系统的差分方程,解:,先设中间变量,再对两个加法器输出列方程,最后消去中间变量。 对离散系统,设其最左端延时器的输入为x(k),(书上27页),对两个加法器列式:,消去中间变量:,用 乘以,用 乘以,总之,已知框图列写其微分(或差分方程)的一般步骤是 P27,连续系统,设最右端的积分器输出为 ;,2.逐个写出加法器输出信号的方程;,3.消去中间变量。,1.选中间变量:,离散系统,设最左端的迟延单元输入为,例5.1-2某连续系统如图所示,写出该系统的微分方程,(书上26页),消去中间变量的最终结果:简单替换结果一致,例5.1-3、某离散系统如图所示,写出该系统的差分方程,(P27),1.6 系统的特性和分析方法,对于连续或离散的动态系统,按基本特性可分为线性系统与非线性系统,时变系统与非时变系统,因果系统与非因果系统,稳定系统与非稳定系统等等。本书主要讨论LTI(Linear Time Invariant)系统。,一、线性,设系统的激励与响应之间的关系为:,线性性质包括两个内容:齐次性和可加性。,激励 作用于系统所引起的响应为,1.齐次性,2.可加性,一个系统既是齐次的又是可加的,则称该系统是线性的.,一、线性,线性特性,设 为任意常数,则对于线性系统应有,动态系统的响应取决于,输入信号:,初始状态:,这样,动态系统在任意时刻 (或 )的响应 可以由初始状态 和 区间 或 上 的激励 完全的确定。,为简便,设初始时刻为,系统的完全响应可写为:,根据线性性质,线性系统的响应是 和 单独作用 所引起的响应之和,即:,零输入响应,零状态响应,分解特性,这样,动态系统是线性系统,应满足:,1、分解特性,2、零输入线性:当有多个初始状态 时,对所 有的初始状态 呈线性。,3、零状态线性:当有多个激励 时,对所有 的 呈线性。,总之,一个既具有分解特性,又具有零状态线性和零输入线性的系统,称为线性系统,否则称为非线性系统。,例题(补充):设初始状态为x(0),激励为f(t),试判断下列系统是否为线性系统,解:,由于无法区分 ,所以不是线性系统。,满足分解特性。,不满足零状态线性。,所以不是线性系统。,不具有零状态线性,满足分解特性,所以不是线性系统。,系统时不变认识:,二、时不变性,对一个系统,若激励在时间上有一个任意平移,都导 致零状态响应 在时间上有相同的平移,则称该系统 为时不变系统,否则称为时变系统。,电路分析上看:元件的参数值是否随时间而变,从方程看:系数是否随时间而变,从输入输出关系看:,线性时不变系统可由常系数的线性微分方程式或差分方程式描述。,称该系统为时不变系统。,对一个系统,若激励在时间上有一个任意平移,都导 致零状态响应 在时间上有相同的平移,则称该系统 为时不变系统,否则称为时变系统。,例:,判断下列系统是否为时不变系统?,解:,所以,该系统为时不变系统。,所以,该系统为时变系统。,系统作用:对输入信号作余弦运算,系统作用:输入信号乘cost,所以,该系统为时变系统。,所以,该系统为时变系统。,直观判断方法: 若f ()前出现变系数,或有反转、展缩变换,则系统为时变系统。,例:,判断下列系统是否为时不变系统?,根据LTI系统的线性和时不变性,可得到LTI系 统的微分特性和积分特性:(书上29页),一个系统既是线性又是时不变的,称线性时不变 系统。简记为LTI系统.,利用这两个性质可简化计算。,例1.6-1 某连续系统和离散系统的全响应分别为(P29),解:(1),系统的零输入响应和零状态响应分别为,符合分解特性,、 满足零输入线性和零状态线性,,因而该系统是线性的。,由于 是在 时接入的,在 时 , ,故上式可改写为:,故该系统是时不变的。,令 ,则 ,代入上式,相应的积分 限改写 为 到 ,得,解:(2) 系统的零输入响应和零状态响应分别为:,而且零输入响应满足零输入线性。,但零状态响应不满足可加性,因为一般而言,故该系统是非线性的。,符合分解特性,故该系统是时不变的 。,时不变性,直观判断方法: 若f ()前出现变系数,或有反转、展缩变换,则系统为时变系统。,三、因果性,1.定义:零状态响应不出现于激励之前的系统(或任一时刻的响应仅决定于该时刻和该时刻以前的输入值,而与将来时刻的输入值无关),称为因果系统,想一想: 的系统是不是因果系统?,设,则,可见在区间,即零状态响应出现于激励之前,因而该系统是非因果的,2.因果(Causality)/非因果系统直接判断法,响应不会超前于激励出现的系统,未来的激励,都是因果系统,常把 t=0 时接入系统的信号,即在t0,f(t)=0的信号称为因果信号或有始信号。,3.因果信号,表示为:,四、稳定性,对有界的输入 ,系统的零状态响应 也是有 界的,这称为有界输入有界输出稳定,简称为稳定。,更确切的说,若系统的激励 时,其零状 态响应 , 就称该系统是稳定的,否则 称为不稳定的。,BIBO:Bounded Input, Bounded Output,显然,无论激励是何种形式的序列,只要它是有界的,那么 也是有界的,因而该系统是稳定的。,例1:,是否稳定?,它随时间t无限增长,故系统是不稳定的。,判断一个系统是否稳定,若用此BIBO方法判断,则必须逐一检验所有的有界输入均为有界输出,因无法穷尽所有的有界输入是否都为有界输出,所以该方法太复杂,进一步需到第七章讲解。,*建立系统模型或描述系统的方法有多种形式: 方程描述(输入输出方程和状态方程两种)、 框图描述、 信号流图描述、 系统函数描述等。,*系统函数在分析LTI系统中起重要的作用。,*信号流图将系统方程、框图和系统函数联系在一起,并把系统的时域响应与频域响应联系起来,五 LTI系统分析方法概述,系统分析简言之就是建立表征系统的数学方程并求解。,着眼于激励与响应的关系,而不考虑系统内部变量情况; 单输入/单输出系统; 列写一元 n 阶微分方程。,输入输出描述法:,状态变量分析法:,1.建立系统模型的两种方法,不仅可以给出系统的响应,还可以描述内部变量,如电容电压 或电感电流 的变化情况。 研究多输入/多输出系统; 列写多个一阶微分方程。,2.数学模型的求解方法,1.时域法:计算较复杂,但物理概念清楚,2.变换域法,傅里叶变换FT 拉普拉斯变换LT z 变换ZT 离散傅里叶变换DFT 离散沃尔什变换DWT,l,卷积积分(或卷积和)法,系统的分类,习题一:,习题一:,习题1.27,某LTI连续系统,其初始状态一定,已知当激励 为 时,其全响应:,若初始状态不变,激励为 时,其全响应为:,求初始状态不变,而激励为 时系统的全响应。,解:,设零输入响应为 , 单独作用产生零状态响应为,当激励为 时,其全响

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