CHP3.2随机向量随机变量的独立性.ppt

第三章,随机变量与分布函数,第一节 随机变量及其分布,第二节 随机变量与随机向量的独立性,第三节 随机变量的函数及其分布,第二节 随机变量及随机向量的独立性,一、随机向量及其分布,二、边际分布,三、条件分布,四、随机变量的独立性,一、随机向量及其分布,构成一个n维随机变量或n维随机向量。,定义,若随机变量 定义在同一概率空间 上，则称,把它们作为一个随机向量，我们不仅能研究各个分量的性质，而且可以考察它们之间的联系，对许多问题来说，这是十分必要的。,对于任意的n个实数,定义,称 n 元函数,为随机向量 的（联合）分布函数。,亦即对于 中的 n 维矩形 ，有,利用测度论的方法还可以证明，若 为 上任一博雷尔点集，也有,以后，我们将要用到这个结论。,给出了分布函数以后，我们可以计算事件,的概率，例如当 时，有,类似于一元的场合，可以证明多元分布函数的一些性质,（1）单调性：关于每个变元是单调不减函数。,（2）,（3） 关于每个变元左连续。,在二元场合，还应该有：对任意 ，都有,（4）,性质（4）能推出单调性，但存在着反例说明，由单调性并不能保证（4）式成立。这是多元场合与一元场合的不同之处。,随机向量也有不同类型，最常见的也是离散型与连续型。,在离散型场合，概率分布集中在有限或可列个点上，重要的离散型分布有多项分布与多元超几何分布，它们分别是二项分布和超几何分布往多元场合的推广。,可以证明：满足（2），（3），（4）这三条性质的二元函数必为某二元随机变量的分布函数。因此，以后我们称满足以上三条性质的函数 为二元联合分布函数。,重复这种实验 次，并假定这些实验是相互独立的，若以 分别记 出现的次数，则,这里整数 ，且仅当 时上式才成立，否则为0。,多项分布,在实验中，若每次实验的可能结果为 ，而,且,多元超几何分布,袋中装有 号球 只， ，从中随机摸出 只，若以 分别记 号球的出现数，则,这里整数 ，且仅当 时上式才成立，否则为0。,以上两个分布在抽样中常用，前者用于有放回场合，后者则用于不放回场合。,在连续型场合，存在着非负函数 ，使,这里的 称为密度函数，满足如下两个条件,均匀分布和 元正态分布是比较常见的多维连续型分布,均匀分布,若 为 中有限区域，其测度 ；则由密度函数,给出的分布称为 上的均匀分布。,多元正态分布,若 是 阶正定对称矩阵，以 表示 的逆矩阵； 表示 的行列式的值。 是任意实值行向量，则由密度函数,定义的分布称为 元正态分布，简称为,元正态分布是最重要的一种多维分布，它在概率论、数理统计、随机过程论中都占有重要地位，具有许多重要性质。,元正态分布地密度函数可以写为向量形式：,这里 表示向量 的转置。,二维正态分布的联合密度函数 的图形是一个钟形曲面，它与平行于坐标平面 的水平平面相交的截口为椭圆，而与平行 于另外两个坐标平面的竖直平面相交 的截口为正态曲线。,二维正态分布的图形特点,二、边际分布,为方便起见，讨论将对二维场合进行，多维时这些结论仍然成立。,考虑二维离散型分布的场合，设 取值 ； 取值 ，记,显然,此外对固定的 和 ，有,称为联合概率分布， 称为边际分布。,注意：,联合分布不能由边际分布唯一确定，也就是说二维随机向量的性质不能由它两个分量的个别性质来确定，这时还必须考虑它们之间的联系，这也说明了研究多维随机向量的作用。,一般地，若 是二维随机向量，其分布函数为 ，我们能由 得出 或 的分布函数，事实上，,同理,及 称为 的边际分布函数。,若 是连续型分布函数，有密度函数 ，那么,因此 是连续型分布函数，其密度函数为,同理 也是连续型分布函数，其密度函数为,及 称为 的边际分布密度函数。,二元正态分布（P139）,元正态分布 时的特殊情况。相应地,二元正态分布的边际分布仍为正态分布。,问题：,均匀分布的边际分布是否还是均匀分布？,例,设 服从单位圆 上的均匀分布，试求它的边际密度函数。,解,联合密度函数为：,当 时， 故 ；而当 时，,对称可得,因而，单位圆上均匀分布的边际分布不是一维均匀分布。,三、条件分布,对于多个随机事件可以讨论它们的条件概率，同样地，对于多个随机变量也可以讨论它们的条件分布。,仍对二维的场合进行讨论。也还是从离散型开始。,若已知 则事件 的条件概率为,此式定义了随机变量 关于随机变量 的条件分布。,在一般情况下，它不同于 ，这表示从 的取值可以得出关于 的某些信息。,对于一般随机向量 ，我们也想定义条件分布函数,，但是由于会出现 ，因此我们不能像上式一样简单地定义。,自然会想到可以用下式来定义,特别对于有连续密度函数的场合，这定义导出,因此在给定 的条件下， 的分布密度函数为,因此在给定 的条件下， 的分布密度函数为,利用积分中值定理， 当 时，,这里当然也要求,例,二元正态分布 ，其中,的条件分布仍然是正态分布，即,例,若 服从单位圆上的均匀分布，则在 的条件下 的条件分布是区间 上的均匀分布，即,特别指出，这一条件分布的均值是 的线性函数，这一结论在一些统计问题中很重要。,四、随机变量的独立性,定义,设 是概率空间 上的 个随机变量，如果他们的联合分布函数等于各自边缘分布函数之积，即,则称 相互独立。,一族无限多个随机变量称作相互独立的，如果其中任意有限个相互独立。,定理,如果随机变量 相互独立，则其中任何一部分随机变量仍独立。,于是，整体独立的多个随机变量是两两独立的，但其逆命题不真。,定理,随机向量 相互独立，当且仅当,定理,如果 为离散型随机向量，则 与 独立的充分必要条件是它的联合分布等于边际分布之积。,定理,如果 为连续型随机向量，则 与 独立的充分必要条件是它的联合密度等于边际密度之积。,对几乎处处的 成立。,下面，以 为例讨论独立性定义的种种等价形式。,若随机变量 与 独立，则条件分布化为无条件分布。,即由 的取值不能得出任何关于 的信息。,随机向量之间的独立性,定义,对于 维随机向量 和 维随机向量 ，如果,成立，,则称 与 相互独立。,其中 分别是任意一个 维和 维的博雷尔点集。,显然若 与 独立，则 的子向量 与 的子向量独立,命题,二维正态随机变量相互独立的充分必要条件为参数 。,随机变量的独立性概念是概率论中最基本的概念之一，也是最重要的概念之一，关于独立随机变量的研究构成了概率论的重要课题，我们将在第五章介绍一些基本结果。,正态分布的一个条件,（1） 与 有连续的密度函数。,（2） 与 相互独立。,弹落点的坐标 是一个二维随机变量，若满足,（3） 的密度函数在 点的值仅与它到原点的距 离有关。,则 与 均服从正态分布。,例,假定在一段确定的时间内，放射性物质发射出的 粒子数服从参数为 的泊松分布，如果每个发射出的 粒子被记录下的概率均为 ，且各粒子能否被记录相互独立，求证在这段时间内被记录下的 粒子数 与未被记录下的粒子数 相互独立。