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文档简介
2019/7/15,1,第四章,随机变量的数字特征:,数学期望(均值),方差,相关系数,矩,离散型 连续型 随机变量函数,2,4.1 随机变量的数学期望,Example: 一射手进行打靶练习,规定射入区域E2得2分,射入E1得1分,脱靶,即射入区域E0得0分。 如果该射手一共射击了N次,其中得0分的有N0次,得1分的有N1次,得2分的有N2次,N0+N1+N2N 总得分: 平均分:,E1,E2,E0,N00 + N11 + N22,( N00 + N11 + N22 ) / N,2019/7/15,3,定义:,设离散型随机变量X的概率分布列为 P(X=xi)=pi,i=1,2, 若 ,则称 为X的数学期望(EX ) 即,离散型随机变量的数学期望,2019/7/15,4,离散型随机变量的数学期望,例 1 甲、乙两人进行打靶,所得分数分别记为X1,X2,它们的分布律分别为,X1 0 1 2,pk 0 0.2 0.8,X2 0 1 2,pk 0.6 0.3 0.1,试评定他们的成绩的好坏,数学期望可通俗理解为平均值.故此处所求可理解为平均分,2019/7/15,5,离散型随机变量的数学期望,例 2 按规定,某车站每天8:009:00, 9:0010:00都恰有一辆客车到站,但到站的时刻是随机的,且两者到站的时间相互独立,其规律为,到站时间,8:10 9:10,8:30 9:30,8:50 9:50,本题关键在于确定随机变量X,并求出其分布列,概 率 1/6 3/6 2/6,一旅客8:00到车站,求他候车时间的数学期望 一旅客8:20到车站,求他候车时间的数学期望,重点掌握二项分布数学期望和方差的求法:例4.2,2019/7/15,6,例3 据统计,一位40岁的健康者,在5年内活着或自杀的概率为 ,5年内非自杀死亡的概率为 .保险公司开办5年人寿保险,参加者需交保险费 元,若5年内非自杀死亡,公司赔偿 元 .应如何定 , 才能使公司获益?,离散型随机变量的数学期望,2019/7/15,7,例4 在一个人数很多的团体中,普查某种疾病,为此需化验 个人的血,可以用两种方法: (1)将每个人的血都分别化验,这就需要 次; (2)按 个人一组分组,把从 个人抽来的血混在一起检验,若呈阴性,则只需一次;若呈阳性,则再对每个人的血进行化验,这样需要 次. 假设每个人化验呈阳性的概率为 ,且化验结果互相独立,试说明在 很小时,选取适当的 ,按第二种方法可以减少化验次数,并说明 取什么值时最适合.,离散型随机变量的数学期望,2019/7/15,8,定义:设连续型随机变量X的概率密度函数为f(x),若积分,收敛,则称积分值 为X的数学期望(EX) 即,连续型随机变量的数学期望,例4.5,4.6,2019/7/15,9,随机变量函数的数学期望,设随机变量Y是随机变量X的函数,即 Y = g (X) 若已知X的分布,如何确定Y的期望? 若X是离散型随机变量 (例 4.14) 若X是连续型随机变量(例 4.10, 4.11),EY可直接根据fX(x)及Y与X的函数关系求出,而无需求出fy(y),可推广至二维随机变量,例4.12,2019/7/15,10,数学期望的重要性质,1. 设C为常数,则 EC = C 2. 设X是一个随机变量,C是常数,则有 ECX = CEX 3. 设X,Y是两个随机变量,则有 E(X+Y) = E(X) + E(Y) 4. 设X,Y是相互独立的随机变量,则有 E(XY) = E(X) E(Y),直观,易记忆,应用方便。从下页的推导即可看到其用途,2019/7/15,11,定义:,设X为一随机变量,若E(X-EX)2存在,则称它为随机变量X的方差,记为DX或Var(X),即,方差的算术平方根 称为X的标准差,若X是离散型随机变量,若X是连续型随机变量,4.2 随机变量的方差,DX是衡量X取值分散程度的一个尺度,推导过程?多用此式计算方差,见例4.16。,2019/7/15,12,方差的重要性质,1. 设C为常数,则 DC = 0 2. 任意随机变量X有DX 0,且DX 0的充要条件是 P(X=C) = 1 ( C = EX为常数 ) 3. 设X是一个随机变量,C是常数,则有 DCX = C2DX 4. 设X,Y是相互独立的两个随机变量,则有 D(X+Y) = D(X) + D(Y),2019/7/15,13,例4.22,设有随机变量X,EX=,DX=2,称Y=(X- )/ 为X的标准化,证明EY=0,DY=1.,例4.23,设随机变量X1,X2,Xn相互独立,EXi=,DXi=2 (i=1,2,n).令 求,从侧面验证了P58通过线性变换将正态分布转化为标准正态分布的正确性,注意不是充分性证明,注意本题结论的物理意义,2019/7/15,14,小 结,在二维随机变量(X, Y)中 随机变量的数学期望 EX, EY 随机变量的方差 DX, DY,反映了X和Y各自取值的集中位置,反映了X和Y各自的取值对集中位置的偏离程度,与4.4相比较,2019/7/15,15,几种重要随机变量的数学期望及方差,0 - 1分布 二项分布 泊松分布 几何分布 均匀分布 指数分布 正态分布,XB(n,p) EX = np DX=npq,XP() EX = DX = ,XB(1,p) EX = p DX=pq,X几何分布 EX = 1/p DX= q/p2,XUa,b EX = (a+b)/2 DX= (b-a)2/12,XE() EX = DX=1/ 2,XN(,2) EX = DX= 2,2019/7/15,16,4.3 随机变量的矩,设X是随机变量, 若E(Xk),k1,2存在,则称它为X的k阶原点矩,简称k阶矩; 若EX-E(X)k,k1,2存在,则称它为X的k阶中心矩。 X的数学期望EX是X的一阶原点矩,方差DX是X的二阶中心矩,2019/7/15,17,4.4 协方差和相关系数,随机变量X和Y之间的关系(独立与否) 相关系数 :表征XY之间线性关系紧密程度的量 协方差 Cov(X,Y),推导?,2019/7/15,18,1. 若以下的协方差均存在,则,(1)Cov(X,Y)=Cov(Y,X) (2)Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y) (3)Cov(aX,bY)=abCov(X,Y),其中a,b为任意常数,2. 若X,Y相互独立,则Cov(X,Y)=0,3. 设k0,k1,kn为任意常数, X1,X2, ,Xn为随机变量,则,协方差的重要性质,0,2019/7/15,19,定理 4.8 设为随机变量X与Y的相关系数,则,P ( Y = aX+b ) = 1,其中a,b为常数, = 0 X,Y不相关 X,Y完全相关,相关系数的重要性质, = 1 X,Y正相关 = -1 X,Y负相关,亦即XY之间以概率1存在着线性关系。越大,线性相关程度越好。,相关与否只是就线性关系来说,(见p125)
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