chapter3-1.1(学生版).ppt

,到现在为止，我们只讨论了一维r.v及其分布. 但有些随机现象用一个随机变量来描述还不够，而需要用几个随机变量来描述.,在打靶时,命中点的位置是由一对r .v (两个坐标)来确定的.,飞机的重心在空中的位置是由三个r .v (三个坐标)来确定的等等.,我们开始第三章的学习.,一维随机变量及其分布,多维随机向量及其分布,重点讨论二维随机变量 .,它是第二章内容的推广.,设,是定义在 上的随机变量,由它们构成的一个 维向,一维随机变量XR1上的随机点坐标 二维随机向量(X,Y)R2上的随机点坐标 n维随机向量(X1,X2,Xn)Rn上的随机点坐标 与一维类似，用分布函数、概率密度、或分布律来描述其统计规律,第三章 随机向量,3.1 二维随机向量的分布 3.2 随机向量的数字特征 3.3 二维正态分布 3.4 中心极限定理 3.5 大数定理,如果对于任意实数,二元 函数,称为二维随机向量 的分布函数,定义1,一、二维随机变量的分布函数,3.1 二维随机向量的分布,随机向量,将二维随机变量 看成是平面上随机点的坐标,那么,分布函数 在点 处的函数值就是随机点 落在下面左图所示的,以点 为顶点而位于该点左下方的无穷矩形域内的概率.,分布函数的函数值的几何解释,随机点 落在矩形域,内的概率为,或随机变量X和Y 的联合分布律.,k=1,2, ,X 的分布律,k=1,2, ,定义2,的值是有限对或可列无限多对,设二维离散型随机向量,可能取的值是,记,如果二维随机向量,全部可能取到的不相同,称之为二维离散型随机向量 的分布律,二、二维离散型随机向量,二维离散型随机向量 的分布律具有性质,也可用表格来表示随机变量X和Y 的联合分布律.,离散型二维r.v.联合概率分布确定方法,(1).找出随机变量X和Y的所有取值结果,得到(X,Y)的所有取值数对; (2).利用古典概型或概率的性质计算每个数值对的概率; (3).列出联合概率分布表.,例1 同一品种的5个产品中, 有2个正品, 每次从中取1个检验质量, 不放回地抽取, 连续2次, 记,例2.设随机变量YN(0，1），令 求（X1，X2）的联合概率分布。,例3.二维随机向量(X,Y)的联合概率分布为:,求:(1)常数a的取值; (2)P(X0,Y1); (3) P(X1,Y1),解:(1)由pij=1得: a=0.1,（2) P(X0,Y1)=P(X=0,Y=0)+ P(X=0,Y=1) +P(X=1,Y=0)+P(X=1,Y=1) =0.1+0.2+0.1+0.20.6,(3)P(X1,Y1),=P(X=-1,Y=0)+P(X=-1,Y=1)+P(X=0,Y=0),+P(X=0,Y=1)+P(X=1,Y=0)+P(X=1,Y=1)0.75,X的概率密度函数,定义3,三、二维连续型随机变量,（X,Y）的概率密度的性质 :,满足1,2的二元函数为某个随机向量的 联合概率密度。,（X,Y）在区域D内的概率计算转化为求二重积分的计算。被积函数为f(x,y)的积分区域为D。,例. 验证,构成二维随机向量的联合概率密度函数。 其中:D为可度量的平面区域,SD为区域D的面积.,解:,=1,(1)f(x,y)0;,(2),称(X,Y)服从区域D上的均匀分布.,若（X，Y）在区域D上服从均匀分布，,二重积分计算回顾矩形积分区域,二重积分计算回顾X型积分区域,Y型,求：(1)常数A；(2) F(1,1)；(3) (X, Y)落在三角形区域 D：X0, Y0, 2X+3Y6 内的概率。,例 (基本题型） 设,解(1)由归一性,(3) (X, Y)落在三角形区域D：X0, Y0, 2X+3Y6 内的概率。,解,练习,解 (1),故,(2) .,例：设(X,Y)的概率密度是,(1) 求分布函数,(2) 求概率 .(选作作业）,积分区域,解 (1),当 时,故,当 时,(2),二维联合分布全面地反映了二维随机变量 (X,Y)的取值及其概率规律. 而单个随机变量X,Y 也具有自己的概率分布. 那么要问:二者之间有 什么关系呢?,二维随机变量 (X,Y)作为一个整体,分别记为,三、边缘分布,一般地，对离散型 r.v ( X,Y )，,则 (X,Y) 关于X 的边缘分布律为,X和Y 的联合分布律为,离散型随机变量的边缘分布律,(X,Y) 关于 Y 的边缘分布律为,我们常将边缘分布律写在联合分布律表格的边缘上，由此得出边缘分布这个名词.,X,Y,.,分布表,离散型联合分布与边缘分布,例 已知(X,Y)的分布律为 XY 0 1 0 1/10 3/10 1 3/10 3/10 求X、Y的边缘分布律。,XY 0 1 pi. 0 1/10 3/10 1 3/10 3/10 p.j,故关于X和Y的分布律分别为： X 0 1 Y 0 1 P 2/5 3/5 P 2/5 3/5,2/5,3/5,2/5,3/5,例.设(X,Y)的联合概率分布表为:,Pi. 0.25 0.4 0.35,p.j,0.25,0.5,0.25,求:(1)X,Y的边缘分布; (2)X+Y的概率分布.,解:(1)由分析得:,(2)X+Y的取值为-1,0,1,2,3,P(X+Y=-1)=P(X=-1,Y=0)=0.05,P(X+Y=0)=P(X=0,Y=0)