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文档简介

第二节 统计量与抽样分布,一、统计量,二、统计学中三个常用分布和上分位点,三、抽样分布定理,1.定义 P142,中不含有任何的未知参数,则称函数g(X1,X2,,Xn),如果样本X1,X2,,Xn的函数g(X1,X2,,Xn),为统计量.,g(x1,x2,, xn)为统计量g(X1,X2,,Xn)的一个,若x1,x2,, xn是相应的样本值,则称函数值,观察值.,一、统计量,由样本值去推断总体情况,需要对样本值进行“加工”,这就要构造一些样本的函数,它把样本中所含的(某一方面)信息集中起来.,若 , 2 已知, 则,是统计量,而,例如:,不是统计量.,也是统计量.,是未知参数,2.几个常用的统计量 P142,样本均值,样本方差,它反映了总体均值 的信息,它反映了总体方差 的信息,样本标准差,样本 k 阶(原点)矩,样本 k 阶中心矩,k=1,2,它反映了总体 k 阶矩 的信息,它反映了总体 k 阶 中心矩的信息,它们的观察值分别为:,例1. 从一批相同的电子元件中随机地抽出8个,测得使用寿命(单位:小时)分别为:2300,2430,2580,2400,2280,1960,2460,2000,试计算样本均值、样本方差.,解:,如何使用计算器:,1. 进入SD状态,2. 保险起见,清除数据,检测 n =0,3. 输入数据,4. 检测一下 n 是否正确,5. 查看结果,6. 清除数据,以备下次使用,注: 是样本标准差,求 需再平方,抽样分布,统计量是样本的函数,而样本是随机变量,故统计量也是随机变量,因而就有一定的分布,它的分布称为“抽样分布” .,二、统计学中三个常用分布和上分位点 P143,下面介绍三个来自正态总体的抽样分布.,(1)定义: 设 相互独立,都服从标准正态,分布 N(0,1), 则称随机变量:,所服从的分布为自由度为 n 的 分布,记为,分布的概率密度为,处的值.,(2),有所改变.,分布的概率密度图形如下:,(3),性质1.,分布的性质:,(4),这个性质称为 分布的可加性.,性质1证明:,设,相互独立,则,t 的概率密度为:,(1)定义: 设XN( 0 , 1 ) , Y,所服从的分布为自由度为 n 的 t 分布.记为tt (n).,2、t 分布 P144,,且 X 与 Y 相互,独立,则称变量,n=4,n=10,n=1,当n充分大时(n30),其图形与标准正态分布的概率密度函数的图形非常接近.但对于较小的n,t 分布与N (0,1)分布相差很大.,(2) 性质,性质1: t分布的概率密度函数关于t=0对称,性质2: t分布的极限分布是标准正态分布,由定义可见,,3、F分布 P145,则称统计量,服从自由度为n1及 n2 的F分布,n1称为第一自由度,,F(n2,n1),定义: 设,X 与 Y 相互独立,,n2称为第二自由度,记作 FF(n1,n2) .,若XF(n1,n2),则X的概率密度为,注意:统计的三大分布的定义、基本性质在后面的学习中经常用到,要牢记!,例2.设总体X和Y相互独立,同服从,分布,而 X1,X2,, X9 和 Y1,Y2,, Y9,的分布.,分别是来自X和Y的简单随机样本,求统计量,解:,X1,X2,,X15是来自X的简单随机样本,求,解:,试确定常数 c ,使,解:,故,因此,4、上分位点 P145,(1)定义:设随机变量X的概率密度为 f(x),对于,任意给定的(01),若存在实数x,使得:,则称点x为该概率分布的上分位点,(2)正态分布的上分位点,对标准正态分布变量ZN(0, 1)和给定的,上分位数是由:,PZz =,即 PZz =1-,(z) =1-,确定点z.,如图:,例如, =0.05,而,PZ1.645 =0.95,所以, z0.05 =1.645.,z0.01 =,2.33,a)对于 分布,当n充分大时(n45),,其中Z是标准正态分布的上分位点,=26.296,=4.865,(3) 分布的上分位点,P277 附表4,a)由其对称性,有:,b) 当n充分大时(n45),,=1.7396,=1.4759,c)由其对称性,有:,(4) t分布的上分位点,P276 附表3,a)对于F分布,有:,(5) F分布的上分位点,P279 附表5,共5个表,3.29,3.68,练习 查表求下列值:,解:,,,根据中心极限定理知,正态分布在实际应用中经常用到,故在统计推断中占有及其重要的地位。下面介绍几个重要的当总体为正态分布时的抽样分布定理.,三、抽样分布定理 P147,(1)样本均值,(2)样本均值 与样本方差 相互独立。,(3)随机变量,补充,注意与的区别,简证:,定理 2 设X1,X2,Xn是取自正态总体,则有,注意与的区别,简证:,定理 3 (两个总体样本均值差的分布),且X与Y独立,分别是这两个样本的样本方差,则有,补充,简证:,故成立,注:此时 已知,若未知,则用样本方差代替,即,特别,若,则,定理 4 (两个总体样本方差比的分布),且X与Y独立,分别是这两个样本的样本方差,则有,简证:,上述4个抽样分布定理很重要,要牢固掌握.,正态分布的抽样分布定理,的概率不小于90%,则样本容量至少取多少?,解:设样本容量为 n , 则,得,即,所以至少取,n = 20的样本,解: (1)

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