Chapter2-随机变量及其分布.ppt

2019/7/15,1,第二章 随机变量及其分布,随机变量及其分布函数 离散型随机变量 连续型随机变量 随机变量函数的分布,2019/7/15,2,2.1 随机变量及其分布函数,定义1：设E为随机试验， =为其样本空间，若对任意,，有唯一实数X（ ）与之对应，则称X（ ）,定义2：设有随机变量X，对任意x-，+ ，称,为随机变量,为随机变量X的分布函数.,实质上是定义在上的单值函数,注意：1.不是等于 2.一定要区分X与x,2019/7/15,3,分布函数的性质,设随机变量X的分布函数为F（x），则,（1）,（2）F（x）是x的非降函数,（3）F（x）右连续,（4）,分布函数的每一个取值都是一个概率,2019/7/15,4,2.2 离散型随机变量,定义：若随机变量X只取有限个可能值或至多可列个可能,值x1,x2 ,xi ,，则称X为离散型随机变量，称,为随机变量X的概率分布列,表示为：,X,P,x1,x2, , xi , ,p1,p2, , pi , ,离散型随机变量X的分布列的两条基本性质：,（1）非负性,（2）规范性,n个人中至少两人生日相同的概率的表格是不是分布列？,2019/7/15,5,离散型随机变量的分布函数,例：给定离散型随机变量X的分布列如下：,X,P,0 1 2,（1）求X的分布函数F（x）,（2）作出F（x）的图形,（3）求,通常说的随机变量的概率分布（常简称分布）是指随机变量的分布列或者分布函数.,2019/7/15,6,两点分布,定义：设离散型随机变量X的分布列为,X,P,0 1,1-p p,其中 ，则称X服从两点分布，亦称X服从（01）分布，记为X（01）分布,两点分布的分布函数,区分以下概念：分布函数，概率分布列（分布列），概率分布图，概率分布（分布）,注意并熟悉这种提法,2019/7/15,7,二项分布,n重独立试验将试验E重复进行n次，且各次试验的结果在,概率上互不影响,伯努利试验一次试验只有两种可能的结果,n重伯努利试验中，X表示事件A出现的次数，则A发生k次的概率：（p是A在各次试验中出现的概率，q1-p）,显然,定义：若离散型随机变量X的分布列为,其中0p1，q=1-p.则称X服从参数为n，p的二项分布，简称X服从二项分布，记为XB（n，p）,两点分布是其n1时的特例,2019/7/15,8,定理：,设离散型随机变量XB（n，p），若记(n+1)p为(n+1)p的整数部分，则 ;若(n+1)p,为正整数，则P(X= (n+1)p)=P(X =(n+1)p-1)均为pk, k=0,1, 2, ,n中的最大值.称(n+1)p是二项分布B(n,p)中最可能出现次数，称 P(X= (n+1)p)为二项分布的中心项,例：,有9位工人，间歇的使用电力，假设在每一时刻每位工人都以同样的概率0.2需要一个单位的电力，并且各位工人工作（需要电力）相互独立，求最大可能有多少位工人同时需要供应一个单位的电力？,解：,X任一时刻同时需要供应电力的工人数,XB(n,p)， n=9,p=0.2,(n+1)p=(9+1) 0.2=2,与第一章解题的关键在于提炼出事件A相对应，本章关键在于提炼出随机变量X,2019/7/15,9,例：,某种疾病据历史资料显示，这种疾病的患者自然痊愈率为0.25，为了试验一种新药，在有关部门批准后，某医生把此药给10个病人服用.该部门实现规定一个决策原则：若这10个病人中至少有4个治好了，则认为这种药有效，提高了痊愈率；反之则认为无效，问：虽然新药有效，并把痊愈率提高到了0.35，但通过实验却被否定的概率是多少？,例：,设有一决策系统，其中每个成员作出的决策互不影响，且每个成员作出正确决策的概率均为p（0p1）.当占半数以上的成员作出正确决策时，系统作出正确决策，问p多大时，5个成员的决策系统比3个成员的决策系统更为可靠？,5个成员的决策系统作出正确决策的概率,3个成员的决策系统作出正确决策的概率,2019/7/15,10,泊松分布,泊松定理：,在n重伯努利试验中，设事件A出现的概率为pn(与试验总数n有关)，若 ，则有,在二项分布B(n,p)中，若 时，取 ，则,二项分布的泊松逼近近似计算公式为：,定义：设离散型随机变量X的所有可能取值为0，1，2，且,取各个值的概率为,其中 为常数，则称X服从参数为 的泊松分布,记为XP（）或X（）,2019/7/15,11,例：,有同类设备300台，各台工作状态相互独立，已知每台设备发生故障的概率为0.01，若一台设备发生故障需要一人去处理，(1)问至少需要配备多少维修工人，才能保证设备发生故障而不能及时维修的概率小于0.01？(2)若改为一人负责维修20台或3人负责维修80台，求这两种情况下，设备发生故障而不能及时维修的概率.,例：,某商店过去的销售记录可知，某种商品每月的销售数可用参数 的泊松分布描述，为了有99%以上的把握保证不脱销，问商店在月底至少要进该商品多少件？,最终计算结果表明尽管任务重了，但工作质量却提高了，关键在于节省了人力物力.,泊松定理指明了以n,p (np=)为参数的二项分布，当n时趋于以为参数的泊松分布，由此可以看出泊松分布的重要性。,2019/7/15,12,几何分布,定义：,设X是一个无穷次伯努利试验序列中事件A首次发生时所需的试验次数，显然X为一个离散型随机变量，且可能的值为1，2，.由试验的独立性，即可知X的分布列为,由于上式中的每一项都是一个几何级数中的 一项，故称概率分布列为上式的随机变量X服从几何分布.,例：,设有某求职人员，在求职过程中每次求职成功率为0.4，试问该人员要求职多少次，才能有0.9的把握获得一个就业机会？,2019/7/15,13,解：X该人员在求职过程中，首次成功的求职次数,X服从几何分布，其中p=0.4,q=1-p=0.6.P(X=k)=0.6k-10.4,例：,设某高速公路一年内发生恶性交通事故的次数XP()，而每一次事故造成一位司机死亡的概率为p，且一次事故至多造成一位司机死亡.求一年内，恰有r位司机因车祸丧生的概率.,解：,Ak=一年内有k次恶性事故=X=k，k=0，1，2，,B=一年内因车祸恰有r位司机死亡,司机的死亡数的分布为B(k,p)，恰有r位司机死亡的概率,由全概率公式及问题的条件应有,2019/7/15,14,2019/7/15,15,2.3 连续型随机变量,离散型随机变量：取值是某一区间上的有限个值,连续型随机变量：取值充满一个区间,引例：,设有一质点等可能地落入区间0，2内的任何一点，且一定落入这个区间.令X为这个质点到0的距离，求X的分布函数.,2019/7/15,16,对F（x）在（ ）的区域求导，得,定义：设随机变量X的分布函数为F（x），若存在非负函数,f（x），使得对任意实数x，有,则称X为连续型随机变量，f（x）称为X的概率密度函数，简称为概率密度，f（x）的图形称为概率密度曲线,连续型随机变量X落在区间（a，b内的概率为,2019/7/15,17,例：设连续型随机变量X的分布函数为,（1）求系数A； （2）,（3）X的概率密度函数f(x)；（4）作出F(x)与f(x)的图形,概率密度的两个基本性质：非负性和规范性,与分布列的性质非常相似,对于任何一个连续型随机变量，它取任一个值x0的概率为0。故当一个随机事件概率为0时，不一定是不可能事件；同样为1时，也不一定是必然事件,2019/7/15,18,均匀分布,定义：设a,b为任一区间，若连续型随机变量X的概率密度,函数为,则称X服从a,b上的均匀分布，记为XUa,b,分布函数,例：,设某地区汛期的一周内最高水位（单位：m）XU 29.20,29.50,求该周内最高水位超过29.40m的概率.,也可直接用分布函数求解,2019/7/15,19,指数分布,定义：若连续型随机变量X的概率密度函数为,其中 为常数，则称X服从参数为的指数分布，记为XE(),分布函数,例：,设使用了t小时的电子装置在 以后的t小时内损坏的概率为 ，其中（ 0）是不依赖于t的参数，求电子设备在T小时内损坏的概率.,本题目其实是导出指数分布的过程，比较复杂,2019/7/15,20,正态分布,定义：若连续型随机变量X的概率密度函数为,分布函数,标准正态分布(XN(0,1)： 即0，1时,概率密度函数,分布函数,其图形关于x= 对称,故被称为位置参数;且x= 取到最大值,其中 为常数.则称X服从参数为，的正态分布或高斯分布，记为XN(,2).,2019/7/15,21,例：,设随机变量XN(,2)，试求,例：,由历史记录，某地区年总降雨量XN(600,1502),(单位：mm),求,（1）明年年降雨量在400mm700m之间的概率为多少？ （2）明年年降雨量至少为300mm的概率为多少？ （3）明年年降雨量小于何值时概率为0.1？,重要性质：,若XN(,2),说明只需通过一个线性变换，即可将正态分布化为标准正态分布,2019/7/15,22,2.4 随机变量函数的分布,定义：,设y=g(x)为 一个通常的连续函数，令Y=g(X)，,其中X为随机变量，那么Y也是随机变量，并,称它为随机变量X的函数.,2019/7/15,23,离散型随机变量函数的分布,设随机变量X的分布列为：,X,P,x1,x2, , xk , ,p1,p2, , pk , ,Y=g(X)为X的函数，求Y的分布列,例：设X的分布列为,X,P(X=xi),-2 -1 0 1 2,0.1 0.2 0.4 0.1 0.1,试求：(1)Y=2X+1，(2)Y=X2两种场合下Y的分布列,2019/7/15,24,连续型随机变量函数的分布,设有连续型随机变量X，其概率密度函数为fX(x)，又函数y=g(x)严格单调，反函数g-1(y) 有连续导数，则Y=g(X)也是一个连续型随机变量，且其密度函数为,其他,其中，,例：,设随机变量XN(,2)，求Y=aX+b（a，b为常数，a 0）的概率密度函数,2019/7/15,25,本章的核心内容是四个概念： 1.随机变量X 2.概率P（Xx） 3.分布函数F（x） 4.概率密度f（x）,2019/7/15,26,问题： 1.