实变函数论西南辅导课程一至九.ppt

实变函数,主讲教师 ：吴行平,辅导课程一,第一章 集 合,本章主要介绍集合的基本概念，运算及其运算性质。通过本章的学习，要掌握集合的基本概念及运算规律，掌握可数集的基本概念及其性质，理解集合对等的概念，了解基数的概念，同时我们要知道一些常用的可数集与不可数集。,第一节 集 合,一、概念 二、表示法 三、简单术语,一、概 念,集合：在一定范围内的个体事物的全体， 当把它们看作一个整体时，我们把这个整体称为一个集合，其中的每个事物叫做该集合元素。 注意：1 集合的对象是确定的。 2 集合的元素是互异的. 3 任一对象或事物x被当作某一给定集合A的元素时,x或者是A的元,或者不是A的元,二者必居其一,而且只居其一. 例1：1，2，3，5，8五个自然数构成一 个集合。 例2：全体自然数构成一个集合。 例3：全体大个子不构成一个集合。,二、表示法,1、列举法： 2、描述法：,如果A的元均为B的元,如果A与B有完全相同的元,结论:对任何集合,有,(1),(2),则,(3),注意 定理中的结论（2）是证明两个集合 相等的重要方法，以后我们经常用到。,则,第二节 集合的运算,一、概念 1 并集 2 交集 3 差集 4 上限集与下限集 二、运算规律,1 并集,（1）设A,B是两个集。由A中的元以及B中的元的全体所成的集称为 A,B两者的并，记成,例1,（2）设,=,例2 设,是一组集，这里I是指标集，在I中取值，那么它们的并定义为,2 交 集,例1 A,（1） 设A,B是两个集，由同时属于A与B两者的那些元所成的集称为A与B的交，记成,（2）设 ，,例2,在I中取值，那么它们的交定义为,是一组集，这里I是指标集,3 差集 设A,B是两个集，由属于A而不属于B的那些元 所成的集称为A与B的差，记成A-B. 当B,例1 A,A时，差集A-B又称为B关于A 的补集，,记成,4 上限集与下限集,（1）上限集,设,=,易知：,，可它表示为,是任意一列集.由属于上述集列中,无限多个集的那种元素的全体所组成的集称为这一集列的上限集或上极限记为,实变函数,主讲教师 ：吴行平,辅导课程二,4 上限集与下限集,（1）上限集,设 是任意一列集.由属于上述集列中无限 多个集的那种元素的全体所组成的集称为这一集列的上 限集或上极限记为 ，可它表示为,=,易知：,（2）下限集,设 是任意一列集，对于集列那种除有限个下标外，属于集列中每个集的元素全体所组成的集称为这一集列 的下限集或下极限，记为 ，可它表示为,=,（）极限集,如果 ，则称集列 收敛，并将这一集称为 的极限，记为,易知：,如果 为单调增加（减少）集列， 即 （ ），则 收敛，且有 = （ = ）。,二 运算规律,定理,（参见书上第页定理）,（交换律）,（结合律）,（分配律）,定理2 对于基本集X中的并集与交集的余集运算，有 （1） = （2） = 证 设 ，则不属于任何 ，故属于每个C , 因此 ，可见 ，同理可证， 右边是左边的子集故得（1） 由（1）取余集得C( )=C( ) 即 = C( ） 再将 换成C ,即得（2）。 所证定理常称为笛摩根法则。它提供一种对偶方法，能将已证明的关于集的性质转移到它们的余集上去。,定理 对于集E与任意一组集 ， ，恒有分配律 E （ ） 证 任取 E （ ），则 且 ，于是知 且属于某个 ，对于这个 ，有 ，从而更有 ，这就证明了E （ ） 反之 ，设 ，则属于某个 ，从而 且 （对于这个 ），故更有 且 ，这就证明了 E （ ） 由所得两步结果便证明了定理中的等式。,第三节 对等与基数,一 对等,定义1 设A,B是两个非空集，若依一定的法则f, 对每个x A, 在B中有唯一确定的元y与之对应，则称f是定义在A上而在B中取值的映射，记成 ，并将x与y的关系写成 。我们称A为f的定义域， 为f的值域。 设给定映射 ，而 ，称f为到上的映射；如果对每个 ，仅有唯一的 使 ，称f为 1-1的 设给定两映射 ， ，称映射 由关系式 ( ) 定义。 定义2 设A,B为两个非 空集，如有1-1的，到上 的 存在，使 ，则称A与B对等，记成 B,例1 自然数全体与正偶数全体对等。 证明 令 即可 例2 全体正奇数与全体正偶数对等 证明 令 即可 例3 （0，1）与全体实数对等 证明 令 即可 注意 例1表明一个无限集可以和它的一个 真子集对等，这正是无限集的本质特性。,定理1 对任何集合A、B、C，均有 （1）（反射性） AA （2）（对称性） 若AB，则BA （3）（传递性） 若AB,BC,则AC 由此可知，当两个有限集互相对等时， 它们的元素个素必相同。因此，我们可以 用对等的概念对两个无限集的元的个数进 行比较,二 基 数,根据定理1，我们可把彼此对等的集合归做一类。这样任何集合属于一类。我们把两个彼此对等的集合称为具有相同的基数（亦称势、浓度），用 表示集合A的基数,定义3 设 A 、B是两个集合，如果A不和B 对等，但存在B的真子集 ，有A ,则称A比B有较小的基数（B比A有较大的基数）并记为,定理 2（Bernstein定理） 设 A 、B是两个非空集合，如果 存在 使A T, B S, 则A B. 注 利用基数的说法是: 设 ， ，则,注意：这一定理提供了一个判定两个集合 对等的一个工具，以后我们经常用到。,第四节 可数集,本节我们主要介绍一类非常重要的无限集可数集。通过本节的学习，我们要掌握可数集的概念及其运算性质，同时我们还要知道一些常用的可数集。,一、可数集合的概念,定义1 如果集 A与自然数集对等，就称它为 可数集（可列集）。 显然，可数集的一切元可用自然数编号使之成 为无穷序列的形式:,结论：集合A是可数集合的充要条件是： A可以排成一个无穷序列,例1 全体正偶数可数。 例2 全体整数可数。,二、可数集的性质,定理1 任何无限集必含有可数子集。 证,-,可取出可数子集,定理2 可数集的子集至多是可数的。 即或为有限集或为可数集。,定理3 设A为可数集，B 为有限集合或 可数集，则 可数,证明 （1）先设 由于可数集总可排成无穷序列，不妨设 或 则,或,（2） 一般情形 可由已知结论得出,定理4 可数个可数集的并集是可数集。 证明 参见书第17页定理4。,=,（按下标递增）,例3,全体有理数为可数集。 事实上，把非零的有理数a写成既约分数 的形式， 0, 把和n=|p|+q称为a的模。现规定0的模为1，很明显，模为n的有理数的个数是有限的，于是把一切有理数按模递增编组，其模相同的编在同一组，最后再依次把这些有理数逐个编号，但重复者除去不计。这样，每一个有理数得到了一个确定的号码。因而建立了有理数与自然数之间的一一对应，这就证明了有理数集的可数性,定理 5 若A中每个元素由n个互相独立的记 号所决定,各记号跑遍一个可数集 A= ， 则A为可数集。 证明 用数学归纳法予以证明。,若n=1,则定理显然成立。今假设当 n=m时定理成立，由此证明当n=m+1时也成立。 设A= ，A中满足 的元素，记其全体为 , 则由假定 为一可数集而,故A可数,例4 平面上坐标为有理点的全体所成的集 为一可数集。 例5 整系数多项式的全体所成的集为一 可数集。,A=(x,y)|x,y为有理数,因此全体n次多项式可数，故整系数多项式 可数,第五节 不可数集,一、概念 不是可数集的无限集合称为不可数集合 二、不可数集合,定理1 全体实数不可数。（见第20页） 用c表示连续基数，a表示可数集的基数 定理2 任意区间均具有连续基数。,实变函数,主讲教师 ：吴行平,辅导课程三,第三节 对等与基数,一 对等,定义1 设A,B是两个非空集，若依一定的法则f, 对每个x A, 在B中有唯一确定的元y与之对应，则称f是定义在A上而在B中取值的映射，记成 ，并将x与y的关系写成 。我们称A为f的定义域， 为f的值域。 设给定映射 ，而 ，称f为到上的映射；如果对每个 ，仅有唯一的 使 ，称f为 1-1的 设给定两映射 ， ，称映射 由关系式 ( ) 定义。 定义2 设A,B为两个非 空集，如有1-1的，到上 的 存在，使 ，则称A与B对等，记成 B,例1 自然数全体与正偶数全体对等。 证明 令 即可 例2 全体正奇数与全体正偶数对等 证明 令 即可 例3 （0，1）与全体实数对等 证明 令 即可 注意 例1表明一个无限集可以和它的一个 真子集对等，这正是无限集的本质特性。,定理1 对任何集合A、B、C，均有 （1）（反射性） AA （2）（对称性） 若AB，则BA （3）（传递性） 若AB,BC,则AC 由此可知，当两个有限集互相对等时， 它们的元素个素必相同。因此，我们可以 用对等的概念对两个无限集的元的个数进 行比较,二 基 数,根据定理1，我们可把彼此对等的集合归做一类。这样任何集合属于一类。我们把两个彼此对等的集合称为具有相同的基数（亦称势、浓度），用 表示集合A的基数,定义3 设 A 、B是两个集合，如果A不和B 对等，但存在B的真子集 ，有A ,则称A比B有较小的基数（B比A有较大的基数）并记为,定理 2（Bernstein定理） 设 A 、B是两个非空集合，如果 存在 使A T, B S, 则A B. 注 利用基数的说法是: 设 ， ，则,注意：这一定理提供了一个判定两个集合 对等的一个工具，以后我们经常用到。,第四节 可数集,本节我们主要介绍一类非常重要的无限集可数集。通过本节的学习，我们要掌握可数集的概念及其运算性质，同时我们还要知道一些常用的可数集。,一、可数集合的概念,定义1 如果集 A与自然数集对等，就称它为 可数集（可列集）。 显然，可数集的一切元可用自然数编号使之成 为无穷序列的形式:,结论：集合A是可数集合的充要条件是： A可以排成一个无穷序列,例1 全体正偶数可数。 例2 全体整数可数。,二、可数集的性质,定理1 任何无限集必含有可数子集。 证,-,可取出可数子集,定理2 可数集的子集至多是可数的。 即或为有限集或为可数集。,定理3 设A为可数集，B 为有限集合或 可数集，则 可数,证明 （1）先设 由于可数集总可排成无穷序列，不妨设 或 则,或,（2） 一般情形 可由已知结论得出,定理4 可数个可数集的并集是可数集。 证明 参见书第17页定理4。,=,（按下标递增）,例3,全体有理数为可数集。 事实上，把非零的有理数a写成既约分数 的形式， 0, 把和n=|p|+q称为a的模。现规定0的模为1，很明显，模为n的有理数的个数是有限的，于是把一切有理数按模递增编组，其模相同的编在同一组，最后再依次把这些有理数逐个编号，但重复者除去不计。这样，每一个有理数得到了一个确定的号码。因而建立了有理数与自然数之间的一一对应，这就证明了有理数集的可数性,定理 5 若A中每个元素由n个互相独立的记 号所决定,各记号跑遍一个可数集 A= ， 则A为可数集。 证明 用数学归纳法予以证明。,若n=1,则定理显然成立。今假设当 n=m时定理成立，由此证明当n=m+1时也成立。 设A= ，A中满足 的元素，记其全体为 , 则由假定 为一可数集而,故A可数,例4 平面上坐标为有理点的全体所成的集 为一可数集。 例5 整系数多项式的全体所成的集为一 可数集。,A=(x,y)|x,y为有理数,因此全体n次多项式可数，故整系数多项式 可数,第五节 不可数集,一、概念 不是可数集的无限集合称为不可数集合 二、不可数集合,定理1 全体实数不可数。（见第20页） 用c表示连续基数，a表示可数集的基数 定理2 任意区间均具有连续基数。,实变函数,主讲教师 ：吴行平,辅导课程四,例3,全体有理数为可数集。 事实上，把非零的有理数a写成既约分数 的形式， 0, 把和n=|p|+q称为a的模。现规定0的模为1，很明显，模为n的有理数的个数是有限的，于是把一切有理数按模递增编组，其模相同的编在同一组，最后再依次把这些有理数逐个编号，但重复者除去不计。这样，每一个有理数得到了一个确定的号码。因而建立了有理数与自然数之间的一一对应，这就证明了有理数集的可数性,定理 5 若A中每个元素由n个互相独立的记 号所决定,各记号跑遍一个可数集 A= ， 则A为可数集。 证明 用数学归纳法予以证明。,若n=1,则定理显然成立。今假设当 n=m时定理成立，由此证明当n=m+1时也成立。 设A= ，A中满足 的元素，记其全体为 , 则由假定 为一可数集而,故A可数,例4 平面上坐标为有理点的全体所成的集 为一可数集。 例5 整系数多项式的全体所成的集为一 可数集。,A=(x,y)|x,y为有理数,因此全体n次多项式可数，故整系数多项式 可数,第五节 不可数集,一、概念 不是可数集的无限集合称为不可数集合 二、不可数集合,定理1 全体实数不可数。（见第20页） 用c表示连续基数，a表示可数集的基数 定理2 任意区间均具有连续基数。,实变函数,主讲教师 ：吴行平,辅导课程六,定义 4 设E为n维空间 中一点集，有 （1） E的全体内点所成的集合，称为E的开核 或内部，记为 （2） E的全体界点所成的集合，称为E的边界， 记为 （3） E的全体聚点所成的集合，称为E的导集， 记为 （4） 称为E的闭包，记为,例1 设 是普通的平面， 求,解,例2 设 ，则 的充要条件是 对任意的邻域 有,证明 由于 必要性显然 下证充分性 有假设,对任意的邻域有,若 ，则 由聚点的定义,定理2 设 则 定理3 定理4 设 E是一个有界无限集合，则 E 至少有一个聚点。,定理5 任何非空真子集至少有一个界点,（参见书上第37页）,第三节 开集 闭集 完备集,定义1 设E为 中的一点集，若E的每个 点都是内点，则称E为开集。,例 1 开区间 ，空集及R均为开集。,定义2 设E为 中的一点集，若E的每个 聚点都属于E,则称E为闭集。,例 2 闭区间a,b，空集及R均为闭集。,定理1 E为开集的充要条件是 。,定理2 非空集E为闭集的充要条件是,定理3 对任何 是开集，,和 是闭集,例 点集 为闭集的充要条件是,证明 显然,又 从而,充分性显然,定理 4 设E为开集，则CE是闭集； 设E为闭集，则CE是开集。,证明 第一部分：设E为开集，而 是 CE的任一聚点，那么， 的任一邻域都有 不属于E的点。这样， 就不可能是E的 内点，从而不属于E,也就是 。,第二部分：设 E为闭集，对任一 ，假如 不是CE的内点，则 的任一邻域内至少有一个属于E的点，而且这点又必然异于 （因 ），这样 就是E的聚点，从而必属于E, 这和假设矛盾。,定理5 开集有下列性质 （1）任意个开集的并是开集； （2）有限个开集的交是开集。,证 （1）设 是一组开集，令 。任取 ，则有某个 故 的内点，从而更是G的内点。故G是开集。,（2）设 为开集。令 ，任取 则对每个k=1,2,n有 ，于是有 的邻域 ，k=1,2,n使 ，令 ，则 ，可见 是内点，这就证明了 G为开集。,实变函数,主讲教师 ：吴行平,辅导课程七,注意 无限个开集的交不一定是开集。 例如 令 则 ，不是开集。,定理6 闭集有下列性质： （1） 任意个闭集的交是闭集； （2） 有限个闭集的并是闭集。,证 设为 闭集类，则 为开 集类。据定理3,据定理5的（1），任意的指标集I， 为开集，,从而 是开集，,是闭集,同样，对于有限指标集I，据定理3的（2） 即得结论（2）。定理得证。,注意 无限个闭集的并集可能不是闭集 例如 取 每个 都是闭集，但它们的并 不是闭集。,定义3 若 ,则称E为完备集或 完全集。,可以证明，在数直线的一切集中，只有 空集与整个直线才是既开又闭的集合。,第四节 直线上的开集、闭集 及完备集的构造,本节主要讨论直线上的开集、闭集的构造。通过学习我们要掌握直线上的开集、闭集的结构，同时要理解康托尔集的重要性质。,在本节中，我们将详细讨论直线上有界开集的构造，以下考虑的点集都是有界集。,设G是任一非空的有界开集。任取 ，由开集的定义，存在开区间使 。显然，这种开区间有无穷多个，把它们的并记为U，那么可以证明，U是含有 的这种开区间的最大者。也就是说，令 ，则有， （1） ， （2） ， 。 我们把G中具有性质（1），（2）的区间称为G的构成区间。,由上所述，G中任一点必属于G的某一构成区间。,定理1 有界非空开集G可表示成有限个或可数个互不相交的构成区间的并。当非空开集G表示成互不相交的开区间的并时，这些区间必是构成区间。,证 （1） G的每一点都对应有一个G的构成区间，因而G可表示成一些构成区间的并：。,（2） G的任意两个构成区间若有公共点，则必重合，否则就不相交。因而G可表示成一些互不相交的构成区间的并。,（3） 由第二节的结论知道，这些区间是至多可列的（G的构成区间集与有理数集的子集一一对应）。 （4） 当 非空开集G表示成互不相交的开区间的并时，这些区间必是构成区间。 该定理提出的表示，以后将称为G的结构表示。,注 对于无界开集情形，定理1的结论本质上也是正确的，只是要把 与 都算成构成区间的表现形式,定义1 设A是直线上的闭集，称A的余集的构成区间为A的余区间或邻接区间。 我们又可得到闭集的构造如下： 定理2 直线上的闭集或者是全直线，或者是从直线上挖掉有限个或可数个互不相交的开区间所得到的集。 最后，我们举出一个闭集的例子，它是不可数的，但不含有任何区间。这个集将称为康脱三分集，今后将不止一次用到。,例1 康脱三分集,第一步 将区间三等分，并除去中间的开区间 ，剩下2个长为 的闭区间,第二步 将剩下的2个闭区间三等分，并除去中间的 开区间 ，剩下 个长为 的闭区间,第三步 将剩下的 个闭区间各自三等分，并除去中间的开区间 ，剩下 个长为 的闭区间,第n步 将剩下的 个闭区间各自三等分， 并除去中间的开区间 ，剩下 个长为 的 闭区间,这样便得到所谓康脱三分集P与开集 ：,P具有以下性质：,（1） P 是完备集；,显然 是闭集，只须证明 无孤立点。 假定相反， 有一孤立点 。由于0与1显然是 的聚点，故可以设 。那么，在 中存在开区间 与 ，其中均无 的点，即 ， ，且 从而可知， ， 将分别含在 的某两个构成区间 中，于是 将成为 的某两个构成区间的公共端点。但据 的作法，这是不可能的。,（2） 不含任何区间，即P没有内点；,事实上，由P的作法中知道，“去掉”手续进行到第n次为止时，剩下 个长度是 的互相隔离的闭区间，因此任何一点 必含在这 个闭区间的某一个里面，从而在 的任一邻域 内至少有一点不属于P, 但 ，故不可能是P的内点。,（3） 是不可数的。,用反证法 设 是可数的，将 中的点编号 成点列,故 中任意一点必在上述点列中出现。 与 中应有一个闭区间不含点 ，用 表示这个闭区间。将 三等分所得的左与右两个闭区间中，应有一个不含 的，用 表示这个闭区间。然后把 三等分，记不含 的左或右的那个闭区间为 ，如此等等，这样，据归纳法我们得到一个闭区间列,=,易见 的长度,据区间套定理，必有点 可是， 是 等的端点集的聚点， 因而也是闭集 的,聚点，故 。,由于上面已指出 这将是矛盾。,这样，我们证明了： 是不可数的完备集,（4） P有连续基数,实变函数,主讲教师 ：吴行平,辅导课程八,第三章 勒贝格测度,从本章开始，我们将讨论欧几里德空间点集的测度理论。测度概念在 中是长度概念的推广，在 中是面积概念的推广，在 中是体积概念的推广。我们首先介绍外测度、内测度等概念，然后采用卡拉皆屋铎利的方法在点集论的基础上直接定义中L测度，最后讨论可测集的性质和可测集类。,第一节 外 测 度,本节主要讨论有界点集的外测度及其性质。通过本节的学习，我们要掌握外测度的概念及其性质，知道区间的外测度就是区间的体积，可数点集的外测度为零。,定义1 设 为 任一点集，对于每一列覆盖 的开区间， ，作出它的体积和 （ 可以等于 ，不同的区间列一般有不同的 ），所有这一切的 组成一个下方有界的数集，它的下确界（由 完全决定）称为 的勒贝格外测度，简称 外测度或外测度，记为 ，即,=,定理1 外测度具有下列性质： （1） ，当 为空集时，则 =0