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文档简介

前两章讨论了随机变量的分布函数,我们看到分布函数能够完整地描述随机变量的统计特征,但在一些实际问题中,随机变量的分布函数并不容易求得;另一方面,在一些实际问题中,我们往往并不直接对分布函数感兴趣,而只对分布的少数几个特征指标感兴趣,例如分布的中心位置,分散程度等等,一般称之为随机变量的数字特征,而这些数字特征在理论和实践中都具有十分重要的意义。本章介绍随机变量的常用数字特征:数学期望、方差、协方差、相关系数和矩。,第一节 数学期望,一、离散型随机变量的数学期望,我们希望引进这样一个特征数字,它能反映随机变量X所取数值的集中位置,就象力学系统中的重心反映该系统质量的集中位置一样,在概率论中,这样一个数字就是随机变量的数学期望(也称平均值). 先看一个例子。,观察一名射手20次射击的成绩如下:,人们常使用“平均中靶环数”来对射手的射击水平作出综合评价,记平均中靶环数为x, 则有:,我们知道,当试验次数增大时,频率的稳定值就是概率,那么完整描述该射手真实水平的是其射中各环数的概率分布,相应地,观察到的平均中靶环数x 随试验次数增大必将趋于一个稳定值,设中靶环数X(观察之前为随机变量)的分布律为: PX=i=pi, i=0,1,2,10,定义中“绝对收敛”这一条件,是为了保证E(X)的值不因求和的次序改变而改变,期望公式(1)实际上是随机变量X的取值以概率为权的加权平均,它也有一个物理的解释。,例1 Xb(1,p), 求E(X) 解 因X有分布律,X的数学期望为E(X)=0(1-p)+1p=p.,例2 设Xp(l), 求E(X) 解 X的分布律为,X的数学期望为,例3 甲乙两工人每天生产出相同数量同种类型的产品,用X1,X2分别表示甲、乙两人某天生产的次品数,经统计得以下数据:,试比较他们的技术水平的高低。,解 根据定义,X1的数学期望 E(X1)=00.3+10.3+20.2+30.2=1.3 E(X2)=00.2+10.5+20.3+30=1.1 所以甲的技术水平比乙低。,二、连续型随机变量的数学期望,现在我们给出连续随机变量的数学期望的定义。 设连续随机变量X的概率密度为f(x), 随机变量X落在小区间(x,x+Dx)内的概率近似f(x)Dx, 所以,连续随机变量的数学期望可以定义如下:,从几何意义来说,连续型随机变量X的数学期望E(X)就是概率分布曲线y=f(x)与x轴之间的平面图形的重心的横坐标,这是因为上述平面图形的面积为,例4 设随机变量X在区间(a,b)内服从均匀分布,求E(X). 解 由题意知,X的概率密度为,于是有,例5 设X服从参数为l(l0)的指数分布,求E(X). 解 由题意知,X的概率密度为,则,例6 设随机变量X服从柯西分布(Cauchy),概率密度为,求E(X). 解 因为广义积分,不收敛,所以E(X)不存在.,三、二维随机变量的数学期望 对二维随机变量(X,Y),定义它的数学期望为E(X,Y)=(EX,EY). 设二维随机变量(X,Y)的联合分布律为 PX=xi,Y=yj=pij, i,j=1,2,. 则,设二维连续随机变量(X,Y)的联合概率密度为f(x,y),则,例7 设(X,Y)的密度函数为,求E(X), E(Y).,解 如图所示,四、随机变量函数的数学期望 为了计算随机变量函数的数学期望,我们可以先求出随机变量函数的分布律或概率密度,然后按公式(1)或(2)计算数学期望。但是,也可以用下面介绍的几个定理直接计算随机变量函数的数学期望。,例8 设随机变量X的分布律为,求随机变量函数Y=X2的数学期望.,求随机变量函数Y=X2的数学期望 解 用两种方法计算 方法 先求Y的分布律为,由公式(1)得E(Y)=00.25+10.40+40.25+90.10=2.30,求随机变量函数Y=X2的数学期望 解 用两种方法计算 方法2 由公式(7)得 E(Y)=(-2)20.10+(-1)20.20+020.25+ 120.20+220.15+320.10 =2.30,例9 设随机变量X在区间(0,p)内服从均匀分布,求随机变量函数Y=sinX的数学期望. 解 仍用两种方法计算: 方法1 先利用分布函数法求得Y的概率密度为,再由公式(2)得,例9 设随机变量X在区间(0,p)内服从均匀分布,求随机变量函数Y=sinX的数学期望. 解 仍用两种方法计算: 方法2 由题意知,X的概率密度为,由公式(8)得,例10 设XN(0,1), 求E(X),E(X2). 解,定理3 设二维离散随机变量(X,Y)的联合分布律为P(X=xi,Y=yj)=pij,i=1,2,j=1,2, g(x,y)是实值连续函数,且级数,绝对收敛,则随机变量函数g(X,Y)的数学期望为,定理4 设二维连续随机变量(X,Y)的联合概率密度函数为f(x,y), g(x,y)是实值连续函数,且广义积分,绝对收敛,则随机变量函数g(X,Y)的数学期望为,例12 设随机变量X与Y相互独立,概率密度分别是,求随机变量函数Z=X+Y的数学期望. 解 仍用两种方法. 方法1 首先求出Z的概率密度为,则,方法2 因为随机变量X与Y是相互独立的,所以二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为,按公式(10)得,五、数学期望的性质 数学期望的几个重要性质: 1 设C是常数,则有E(C)=C. (11) 2 设X是一个随机变量,C是常数,则有 E(CX)=CE(X) (12) 3 设X,Y是两个随机变量, 则有 E(X+Y)=E(X)+E(Y) (13) 这一性质可以推广到任意有限个随机变量的情况. 4 设X,Y是相互独立的随机变量,则有 E(X,Y)=E(X)E(Y) (14),证 1,2,3证明略. 只证明4. 设X,Y为相互独立的连续型随机变量,其边缘概率密度分别为fX(x), fY(y), 则联合概率密度为 f(x,y)=fX(x)fY(y). 故有,例13 设XN(m,s2), 求E(X).,例14 设Xb(n,p), 求E(X) 解 引入计数随机变量Xi, 当第i次试验中事件A发生时,Xi取值1,否则取值0,i=1,2,n. 其中P(A)=p, Xi为(0-1)分布,E(Xi)=p, 且X=X1+X2+Xn, 所以 E(X)=E(X1+X2+Xn)= =E(X1)+E(X2)+E(Xn) =p+p+p=np. 即X的数学期望为np.,如果直接利用数学期望的定义,计算结果也为np, 但计算较繁。 本例的计算方法具有一般性,引入计数随机变量可使计算简单化,请再看一例:,例15 一民航送客车载有20位旅客自机场开出,旅客有10个车站可以下车,如到达一个车站没有旅客下车就不停车,以X表示停车的次数,求E(X). (设每位旅客在各个车站下车是等可能的,并设旅客是否下车相

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