Chap2-2连续随机变量及分布函数n.ppt

,概率论与数理统计,连续型随机变量,北京工业大学应用数理学院,连续型随机变量 X 所有可能取值充满若干个区间。对这种随机变量，不能象离散型随机变量那样, 指出其取各个值的概率， 给出概率分布。而是用“概率密度函数”表示随机变量的概率分布。,2.3 连续型随机变量,例1：某工厂生产一种零件，由于生产过程中各种随机因素的影响，零件长度不尽相同。现测得该厂生产的100个零件长度(单位: mm)如下:,2.3.1 频率直方图,129, 132, 136, 145, 140, 145, 147, 142, 138, 144, 147, 142, 137, 144, 144, 134, 149, 142, 137, 137, 155, 128, 143, 144, 148, 139, 143, 142, 135, 142, 148, 137, 142, 144, 141, 149, 132, 134, 145, 132, 140, 142, 130, 145, 148, 143, 148, 135, 136, 152, 141, 146, 138, 131, 138, 136, 144, 142, 142, 137, 141, 134, 142, 133, 153, 143, 145, 140, 137, 142, 150, 141, 139, 139, 150, 139, 137, 139, 140, 143, 149, 136, 142, 134, 146, 145, 130, 136, 140, 134, 142, 142, 135, 131, 136, 139, 137, 144, 141, 136.,这100个数据中，最小值是128，最大值是155。,128,155,作密度直方图的步骤,(1). 先确定作图区间 a, b ;,a = 最小数据-/ 2，b = 最大数据+/ 2，, 是数据的精度。,本例中 = 1, a = 127.5, b = 155.5 。,(2). 确定数据分组数 m = 1.87(n1)2/5 + 1， 组距 d = (b a) / m， 子区间端点 ti = a + i d, i = 0, 1, , m；,(3). 计算落入各子区间内观测值频数 ni = # xj ti1, ti)， j = 1, 2, , n， 频率 fi = ni / n， i = 1, 2, , m；,(4). 以小区间 ti-1，ti 为底，yi=fi / d ( i=1, 2, , m) 为高作一系列小矩形，组成了密 度直方图，简称直方图。,由于概率可以由频率近似， 因此这个直方图可近似地刻画零件长度的概率分布情况。,用上述直方图刻画随机变量X的概率分布情况是比较粗糙的。为更加准确地刻画X的概率分布情况，应适当增加观测数据的个数, 同时将数据分得更细一些。当数据越来越多, 分组越来越细时, 直方图的上方外形轮廓就越来越接近于某一条曲线, 这条曲线称为随机变量X的概率密度曲线，可用来准确地刻画X的概率分布情况。,2.3. 2 概率密度函数,定义1：若存在非负可积函数 f(x), 使随机变量X取值于任一区间 (a, b 的概率可表示成,则称 X为连续型随机变量， f(x)为 X 的概率密 度函数，简称概率密度或密度。,这两条性质是判定函数 f(x) 是否为某随机变量 X 的概率密度函数的充 要条件。,密度函数的性质,f(x)与 x 轴所围 面积等于1。,(3). 对 f(x)的进一步理解：,故, X的概率密度函数f(x)在 x 这一点的值, 恰好是X 落在区间 x , x +x上的概率与区间长度x 之比的极限。 这里, 如果把概率理解为质量，f (x)相当于物理学中的线密度。,需要注意的是：概率密度函数 f (x)在点 a 处取值，不是事件 X =a 的概率。但是，该值越大，X 在 a 点附近取值的概率越大。,若不计高阶无穷小，有：,表示随机变量 X 取值于(x , x + x上的概率近似等于 f (x ) x 。,f (x ) x 在连续型随机变量中所起的作用与 pk=PX=xk 在离散型随机变量中所起的作用类似。,(4). 连续型随机变量取任意指定值的概率为 0.,即：,a为任意给定值。,这是因为：,由此得，, 对连续型 随机变量 X, 有, 由P(X=a)=0， 可推出,而 X=a 并非不可能事件,可见：,由P(A)=0, 不能推出 A=；,并非必然事件。,由 P(B)=1, 不能推出 B=。,(5). 设A为一个数集，则,2.3.3 常见的连续型随机变量,正态分布、均匀分布、指数分布,正态分布是应用最广泛的一种连续型分布。,正态分布是十九世纪初，由高斯(Gauss)给出并推广的一种分布。故，也称高斯分布。,1. 正态分布,这条红色曲线近似我们将要介绍的正态分布 的概率密度曲线。,I. 正态分布的定义,定义：若随机变量 X 的概率密度函数为,记作,f (x)所确定的曲线叫作正态曲线。,(Normal),其中和都是常数，任意，0，则称X服从参数为和的正态分布。,II. 正态分布 的图形特点,特点“两头低，中间高，左右对称”。,正态分布的密度曲线是一条关于X=对称的钟形曲线。,正态分布 的图形特点,决定了图形的中心位置, 决定了图形峰的陡峭程度。,故 f(x) 以 x =为对称轴，并在 x=处达到最大值:,令x1=+c, x2=-c (c0), 分别代入 f (x), 得,f (x1) = f (x2)，,且 f (+c) f ()， f (-c) f ().,这说明：曲线 f(x) 向左右伸展时，越来越贴近 x 轴。即 f (x) 以 x 轴为渐近线。,当 x 时，f(x) 0。,用求导的方法可以证明：,为f (x)的两个拐点的横坐标。,x = ,III. 正态分布 的分布函数,IV. 标准正态分布,称 N(0, 1) 为标准正态分布，其密度函数和分布函数常分别用 来表示。,它的依据是下面的定理：,标准正态分布的重要性在于，任何一个 一般的正态分布都可以通过线性变换转化为 标准正态分布。,根据定理1,只要将标准正态分布的分布函数制成表，就可以解决一般正态分布的概率计算问题。,定理1：,书末附有标准正态分布函数数值表，有了它，可以解决一般正态分布的概率计算问题。,V. 正态分布表,表中给出的是 x 0时，(x)的取值;,若 XN(0, 1),服从N(0,1),例1：假设某地区成年男性的身高(单位: cm) XN(170,7.692), 求该地区成年男性的身高超过 175cm 的概率。,解: 根据假设 XN(170 ,7.692)，知,事件 X 175 的概率为,解: 设车门高度为 h ，按设计要求,P(X h)0.01，或 P(X h) 0.99，,下面我们来求满足上式的最小的 h。,例2：公共汽车车门的高度是按成年男性与车门顶头碰头机会在0.01以下来设计的。设某地区成年男性身高 (单位: cm) XN(170, 7.692),问车门高度应如何确定?,因为XN(170,7.692),求满足 P(X h) 0.99 的最小 h。,故，当汽车门高度为188厘米时，可使男子与车门碰头机会不超过0.01。,若随机变量 X 的概率密度为：,则称 X 服从区间 a, b 上的均匀分布，记作：,X Ua, b,2. 均匀分布 (Uniform),(注: 有时也记作 X U(a, b) )。,若X Ua, b，则对于满足 acdb 的 c 和 d，总有,背景：公共汽车的到站时间、四舍五入的舍入误差.,指数分布常用于可靠性统计研究中，如元件的寿命服从指数分布。放射性物质相邻两个粒子的时间间隔等,定义：若随机变量 X 具有概率密度,3. 指数分布,则称 X 服从参数为的指数分布，记成 X E()。,例3：设某电子管的使用寿命X(单位：小时)服从参数=0.0002的指数分布，求电子管使用寿命超过3000小时的概率。,解：,2.3.4 随机变量的分布函数,定义2: 设 X() 是一个随机变量，称函数 F(x) = PXx, - x 为随机变量 X 的分布函数。,分布函数的性质,(1).ab,总有F(a)F(b)(单调非减性)； (2).F(x)是一个右连续函数； (3).xR，总有0F(x)1(有界性)，且,证明：仅证 (1)。,因 aa = Xb - Xa， 而 Xa Xb，所以 PaXb = PXb - PXa = F(b) - F(a) . 又，因 PaXb0， 故 F(a)F(b) .,注意：上述证明中我们得到一个重要公式: PaXb=F(b)-F(a). 它表明随机变量落在区间(a,b上的概率可以通过分布函数来计算。,设离散型随机变量X 的概率分布为 pk = P X=xk , k=1,2, X 的分布函数为,离散型随机变量的分布函数,离散型随机变量的分布函数 F(x) 是一个右连续的函数，在 X=xk (k=1, 2, ) 处有跳跃值 pk=PX=xk，如下图所示。取值排序后,P29，例2.2.1中X 的分布函数为,连续型随机变量的分布函数,即分布函数是密度函数的变上限积分。,由上式，得：在 f (x)的连续点，有,若X 是连续型随机变量，f (x)是X 的密度函数，F(x)是分布函数，则对任意xR，总有,常见连续型分布的分布函数,均匀分布 指数分布 正态分布,本讲首先介绍连续型随机变量、直方图、概率密度函数及性质；然后介绍了三种常用的连续型随机变量：正态分布，均匀分布和