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数学学院07E 刘红琴,基本不等式,右图是在北京召开的第 24届国际数学家大会的会标, 它是根据中国古代数学家赵 爽的弦图设计的,颜色的明 暗使它看上去像一个风车, 代表中国人民热情好客。,A,B,C,D,E,F,G,H,x,y,z,面积不等的角度考虑,我们能得到什么?,A,B,C,D,E,F,G,H,x,y,一般地,对于任意 实数 ,我们有 当且仅当 时, 等号成立。,A,B,C,D,如何证明 ?,证明:要证 只要证 即证 显然上式成立,当且仅当 时取等,当且仅当 时等号成立,基本不等式,AB是圆的直径, 点C是AB上一点, AC= a ,BC= b . 过点C作垂直于AB 的弦DE,连接AD、BD.,B,C,D,E,O,半弦不大于半径,A,算术平均数,几何平均数,平方平均数,调和平均数,例(1)用篱笆围一个面积为100 的矩形菜园,问这个矩形的长、宽 各为多少时,所用篱笆最短。最短 的篱笆是多少? (2)一段长为36m的篱笆围成一个 矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多 少时,菜园的面积最大。最大面积是 多少?,解:(1)设矩形菜园的长为 m,宽为 m , 则,篱笆的长为 m. 由 可得 当且仅当 时,等号成立.,“一正,二定,三相等”,小结,1.基本不等式,2.“一正,二定,三相等” “积定和最小,和定
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