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第八章 轴向拉伸与压缩,本章研究拉压杆的内力、应力、变形以及材料在拉伸与压缩时的力学性能,并在此基础上,分析拉压杆的强度与刚度问题,研究对象涉及拉压静定与静不定问题。此外,本章还研究拉压杆连接部分的强度计算。,8.1 轴向拉压的基本概念 轴力与轴力图,8.2 拉压杆的应力与圣维南原理,8.3 材料在拉伸与压缩时的力学性能,8.4 失效、许用应力与强度计算,8.5 胡克定律与拉压杆的变形,8.6 简单拉压静不定问题,8.7 温度应力与装配应力,* 8.8 应力集中的概念,二、概念,1、计算简图:,2 、轴向拉压的受力特点,作用于杆件上的外力或外力合力的作用线与杆件轴线重合。,3、轴向拉压的变形特点,杆件产生沿轴线方向的伸长或缩短。,三、轴向拉压杆件的内力计算,由杆件在水平方向的平衡,有,注意:,1)轴向拉压杆横截面上的内力为轴力,2)轴力的正负号规定:,以拉为正,以压为负,3)在列静力学平衡方程时是根据力在坐标系中的方向来规定力的符号;,而材料力学中,则是根据构件的变形来规定内力的符号的。,1、轴力,(截面法),2、轴力图,以轴力 fn 为纵坐标,截面位置为横坐标,杆件的轴力沿轴线方向的变化曲线 轴力图,分析:由图可知该杆受有三个外力,各外力作用于不同的横截面。因此,为了求出各截面的轴力,必先分段求出ab段bc段的轴力。,解:,(1)ab段:,沿1-1面将杆件截开,假设轴力为正,得,由,(2)对bc段:,设2-2面将杆件截开,假设轴力为正,得,同样,取右半段也可,由,由,(3) 作轴力图,思考:3-3截面的轴力如何?,得,(压力),注:一般假设轴力为正,由,几点说明:,(1)不能在外力作用处截取截面。,(2)截面内力不一定等于其附近作用的外力。,(4)轴力不能完全描述杆的受力强度。,(3)轴力与截面尺寸无关。,下面来看几道思考题:,一、应力分析的基本方法,实验-假设 -理论分析,二、轴向拉压杆横截面上的应力,1、实验,8.2 拉压杆的应力,一、应力分析的基本方法,二、轴向拉压杆横截面上的应力,1、实验,2、假设,平面假设,横截面变形后仍保持为平面,并与轴线垂直。,任意两个横截面间各条纵线的伸长相同。,实验-假设 -理论分析,根据物理学知识,当变形为弹性时,变形与力成正比。,各纤维变 形相同,各纤维所受 内力相等,横截面上 的内力均 匀分布,横截面上的 应力均匀分 布,且垂直 于横截面,结论:横截面上只有 ,且 均匀分布。,3、理论分析,静力学关系:,与a的形状无关,正负号规定: 拉应力为正 ,压应力为负,注:,3、理论分析,圣维南(saint venant)原理: 作用于物体某一局部区域内的外力系,可以用一个与之静力等效的力系来代替。而两力系所产生的应力分布只在力系作用区域附近有显著的影响,在离开力系作用区域较远处,应力分布几乎相同,分析: bc杆是拉杆,bc杆的拉力可通过b点的受力平衡求得.,如图所示,斜杆bc为直径d=20mm的钢杆,重物g=15kn,求g在图示b点时,斜杆bc横截面上的应力.(sin=0.39),例,解: b点受力如图。,斜杆bc的轴力为:,杆bc横截面受的应力为:,如图所示,斜杆bc为直径d=20mm的钢杆,重物g=15kn,求g在图示b点时,斜杆bc横截面上的应力.(sin=0.39),例,3、应力的单位是n/m2 , 即 pa. 计算时要注意单位一致。,讨论:,1、悬臂吊车,悬吊的重物由a点移到b点时, 杆bc受拉力逐渐增大,在b点时,bc杆所受拉力最大。,2、计算应力前必须正确计算轴力。,三、轴向拉压杆斜截面上的应力,将斜截面上的应力分解为:,斜截面上的正应力;,斜截面上的切应力。,而:,有:,轴向拉压杆斜截面上的应力:,(1),(2),(4),(3),讨论:,应力正方向如图示,8.3 材料在拉伸与压缩时的力学性能,研究材料力学性质的原因:,一、什么是材料的力学性质?,材料在外力作用下表现出来的强度与变形方面的宏观性能,如:弹性、塑性、强度、刚度、断裂韧性等。,(1)不同的材料,甚至同种材料的不同个体,也 可能有不同的力学性质。,(2)不同的构件对材料的力学性能的要求不同,如:机械上的轴、齿轮要求材料的刚度要好,因此要选用一些优质合金钢;机器的底座主要承受压力,要求抗压能力要好,因此常选用铸铁。,(3)为某一构件选择适当的材料之外,设计构件尺寸、计算变形等都要知道材料的力学性质。,量才使用,2、实验分析的目的,二、研究材料的力学性质的方法,1、材料的力学性质受很多因素影响,a. 受力方式:拉、压、弯、扭、剪,性质不同。,b. 受力性质:静载荷、动载荷,c. 受力状态:单向、二向、三向受力状态。,d. 受力环境:常温、低温、高温等。,本节是研究轴向拉压构件在常温、常压、静载荷作用下的力学性质。,a. 测定材料的力学性质,c. 解决某些复杂问题,d. 培养科学工作的能力。,实验分析,b. 验证理论,三、材料的拉伸实验 应力应变曲线,试件:,形状:,标准试件的比例尺寸:,l 试件的工作段长度,称为标距。,a 其他试件截面积。,万能试验机,电子试验机, 试验设备:,液压万能试验机或电子万能试验机,液压式万能试验机,底座,活动试台,活塞,油管,万能试验机,电子试验机,通过该实验可以绘出载荷变形图和应力应变图。, 试验设备:,液压万能试验机或电子万能试验机, 低碳钢拉伸时的力学性能,1. 试验过程:,拉伸图:,应力应变曲线:,a 试件原始的截面积,l 试件原始标距段长度,变形是弹性的,卸载时变形可完全恢复,oa段, 直线段,应力应变成线性关系, 材料的弹性模量(直线段的斜率),hooke定律, 直线段的最大应力,称为比例极限;, 弹性阶段的最大应力,称为弹性极限。,一般材料,比例极限与弹性极限很相近,近似认为:,2. 低碳钢拉伸的四个阶段:,(1)弹性阶段(ob段),低碳钢:,(2)屈服阶段(bc段),屈服阶段的特点:, 屈服阶段应力的最小值称为屈服极限;,重要现象:在试件表面出现与轴线成45的滑移线。,屈服极限 是衡量材料强度的重要指标;,低碳钢:,应力变化很小, 变形增加很快, 卸载后变形不能完全恢复 (塑性变形)。,(3)强化阶段(ce段),特点:,要继续增加变形,须增加拉力,材料恢复了抵抗变形的能力。, 强化阶段应力的最大值, 称为强度极限;,是衡量材料强度另一重要指标。,低碳钢:,卸载定律,在强化阶段某一点d 卸载,卸载过程应力应变曲线为一斜直线,直线的斜率与比例阶段基本相同。,冷作硬化现象,在强化阶段某一点d 卸载后,短时间内再加载,其比例极限提高,而塑性变形降低。,d,d,(4)局部变形阶段(ef段),特点:,名义应力下降,变形限于某一局部 出现颈缩现象,最后在颈缩处拉断。,低碳钢拉伸的四个阶段:,(1)弹性阶段(ob段),(2)屈服阶段(bc段),(3)强化阶段(ce段),(4)局部变形阶段(ef段),d,3. 低碳钢的强度指标与塑性指标:,(1)强度:, 屈服极限;, 强度极限;,(2)塑性:,构件(材料)抵抗破坏的能力。,材料能经受较大塑性变形而不破坏的能力,称为材料的塑性或延性。,塑性指标:,设试件拉断后的标距段长度为l1,用百分比表示试件内残余变形(塑性变形)为, 称为材料的伸长率或延伸率;,是衡量材料塑性能的重要指标;,设试件原始截面的面积为a,拉断后颈缩处的最小面积为a1,用百分比表示的比值, 称为断面收缩率;,也是衡量材料塑性能的指标;,如铸铁、岩石等,塑性材料、脆性材料并不是绝对的,可以相互转化,如: 钢材在- 400c -500c时,易脆断,或在三相受拉时也是脆断;岩石在地壳深处的高温中也会发生很大变形,甚至熔化。因此,应该说材料在某种条件下是塑性状态或脆性状态。,4、其它塑性材料拉伸时的力学性能,对于在拉伸过程中没有明显屈服阶段的材料,通常规定以产生0.2的塑性应变所对应的应力作为屈服极限,并称为名义屈服极限,用0.2来表示,名义屈服极限:,、铸铁拉伸时的力学性能,没有明显的直线段,拉断时的应力较低;没有屈服和颈缩现象;拉断前应变很小,伸长率很小;,强度极限 是衡量强度的唯一指标。,材料的力学性质,低碳钢 拉伸- 曲线,四个阶段,屈服,弹性,颈缩,强化,四个特征点,比例极限 、弹性极限、屈服极限和强度极限,强度指标,强度极限和屈服极限,塑性指标,伸长率和断面收缩率,胡克定律,卸载定律,= +,内容回顾,低碳钢拉伸实验:,变形不大,突然断裂。,材料的力学性质,内容回顾,铸铁拉伸实验:,强度极限 是衡量强度的唯一指标。,四、材料压缩时的力学性能,常温、静载,试件和实验条件,、低碳钢压缩时的-曲线,拉伸,压缩,压缩,、铸铁压缩时的力学性能,1. 压缩强度极限远大于拉伸强度极限,可以高4-5倍。,2. 材料出现明显的塑性变形(压鼓),并沿450550方向断裂,主要是剪应力的作用。,脆性材料的抗压强度一般均大于其抗拉强度。,讨论:因材使用,1、由于低碳钢等塑性材料抗拉性能及塑性好,且耐冲击,故可做机器中许多零部件。特别是受拉构件。,2、合金钢性能好可做主轴、齿轮轴承、弹簧等零件,但价格较贵。,3、铸铁等脆性材料抗压性能优于抗拉性能,可做机器底座、齿轮箱等受压部件。,8.4 失效、许用应力和强度计算,一、失效,1、失效的形式:,会引起断裂,将产生屈服或显著塑性变形,断裂和屈服是构件失效的两种形式,通常将强度极限与屈服极限称为极限应力,2、极限应力,脆性材料:,塑性材料:,3、工作应力,根据分析计算所得构件之应力,称为工作应力,在理想的情况下,为了充分利用材料的强度,似乎可使构件的工作应力接近于材料的极限应力。但实际上不可能,,原因:,主观设定的条件与客观实际之间还存在差距,有可能使构件的实际工作条件比设想的要偏于不安全;,因此,构件需要必要的安全储备;,二、许用应力,为了保证构件能安全地工作, 须将其工作应力限制在比极限 应力更低的范围内,即将极限 应力除以一个大于1的安全系数n, 作为构件工作应力所不允许超过 的数值。这个应力值称为材料的 许用应力。,其中:s为塑性材料的屈服极限,b为脆性材料的强度极限, ns、nb分别为塑脆性材料的安全系数, ns、nb 1.,三、强度条件,为了保证构件在工作时不致因强度不够而破坏,构件内的最大工作应力不得超过材料的许用应力,即,强度条件,例,对于等截面拉压杆,其强度条件为:,注意:如果工作应力超出了许用应力,但只要不超出 许用应力的5%,在工程上仍然是允许的。,轴向拉压杆的强度计算,一、强度条件,二、强度计算的三类问题,1、校核杆的强度,2、设计截面尺寸,3、确定许可载荷,强度条件,等截面直杆的强度条件,材料的力学性质,低碳钢 拉伸- 曲线,四个阶段,屈服,弹性,颈缩,强化,四个特征点,比例极限 、弹性极限、屈服极限和强度极限,强度指标,强度极限和屈服极限,塑性指标,伸长率和断面收缩率,胡克定律,卸载定律,= +,内容回顾,低碳钢拉伸实验:,变形不大,突然断裂,低碳钢 曲线与拉伸基本 相同,无颈缩, 铸铁 抗压强度 抗拉强度,材料的力学性质,内容回顾,铸铁拉伸实验:,压缩实验:,轴向拉压杆的强度计算,一、强度条件,二、强度计算的三类问题,1、校核杆的强度,2、设计截面尺寸,3、确定许可载荷,强度条件,等截面直杆的强度条件,解:,(1)计算内力(轴力),,(2)校核强度,故此杆满足强度要求, 安全。,例:,已知=160mpa, a1=300mm2 , a2=140mm2 试校核该杆的强度。,(分段校核),作轴力图,例:,解:,(1)先求各杆的轴力(截面法),解得:,(2)计算各杆的应力,并与比较,由型钢表查得:,综合上述情况:,该结构强度不够。,(3)改进设计,若将杆2改用等边角钢的型号:,杆2截面积:,整个结构满足强度要求。,例:,图示结构。钢杆1为圆形截面,直径 d=16mm, 1=150mpa ;木杆2为正方形截面,面积为 100100 mm2 ,2=4.5mpa ;尺寸如图。求节点 b 处所能起吊的最大载荷p。,解:,(1)求两杆的轴力(用 p 表示),用截面 m-m 截结构,取一部分研究,由平衡条件,有,(2)求许用载荷 pmax,(拉力),,(压力),对杆1:,解得:,对杆2:,比较p1、p2的大小,应取许可最大载荷为:,对杆1:,即:钢绳最长不能超过38.46m,解:(1)求内力,确定危险截面,如图确定坐标系, 则任一x截面上的内力, x=0时,即钢绳的最上端内力最大.,(2)求l,所求l, 即是使x=0的截面在自重作用下不会发生破坏,即要使其应力小于许用应力,即,解:(1)求内力确定危险截面,(2)由强度条件求l,(1)直径一定的情况下, l只与, 有关, 若要增加l, 只有选高强度或轻质的材料才行,讨论:,(2) 作轴力图,(3) 求任一截面的应力,x,o,(1)若铁水包最多容30kn重的铁水, 试校核吊杆的强度.,(2)若要铁水包容纳312kn重的铁水, 试重新设计吊杆的截面尺寸(求出横截面面积).,(3)图示尺寸最多可使铁水包盛装多少铁水,(1)若铁水包最多容30kn重的铁水, 试校核吊杆的强度.,满足强度条件,解:(1)校核强度,(a)求轴力,(b)求应力,(c)由强度条件校核,解:(2)设计尺寸,(a)求轴力,(b)应力,(c)由强度条件求横截面积,(2)若要铁水包容纳312kn重的铁水, 试重新设计吊杆的截面尺寸(只求出横截面面积).,解:(3)求许可载荷,(3)图示尺寸最多可使铁水包盛装多少铁水?,如图所示结构,ac为刚性梁,bd为斜撑杆,载荷f可沿梁ac水平移动。已知梁长为l,节点a和d间的距离为h。试问为使斜撑杆的重量最轻,斜撑杆与梁之间的夹角应取何值?,解:,由,得:,显然当 时,轴力 最大,,例,根据强度条件,斜撑杆所需最小横截面积为,斜撑杆的体积,可见,要使体积最小,即,得:,8.5 轴向拉伸或压缩的变形,研究轴向拉压变形的目的,1、分析轴向拉压刚度问题,2、求解轴向拉压静不定问题,胡克定律,叠加法、,能量法,研究轴向拉压变形的基础,研究轴向拉压变形的方法,几何法、,一、纵向变形、胡克定律,纵向变形,轴向应变,横截面应力,由材料的拉伸试验,在弹性阶段有,胡克定律, 变形和载荷表示的胡克定律,说明:,当应力低于比例极限时,杆件的伸长 l 与拉力 f 和杆原长 l 成正比,与横截面积 a 和弹性模量 e 成反比。ea 抗拉刚度,横向变形:,横向应变:,横向应变与纵向应变的关系:, 称为泊松比(横向变形因数), 和 e ,是材料的两个弹性常数,由实验测定。,是一个无量纲量。,实验结果表明,在弹性范围内有,二、横向变形与泊松比 ,碳钢: 0.24-0.28 , 铸铁: 0.23-0.27,=常数,注:,三、多力杆的变形与叠加原理,方法一,1、先求内力(截面法),ab段:,bc段:,ab段:,bc段:,2、求变形(胡克定律),总变形:,变形叠加法,载荷叠加法,分别考虑每一个载荷单独作用时杆的轴向变形,(1)载荷 f1 单独作用时杆的轴向变形,(2)载荷 f2 单独作用时杆的轴向变形,(3)总变形,方法二,图示杆,1段为直径 d1=20mm的圆杆,2段为边长a=25mm的方杆,3段为直径d3=12mm的圆杆。已知2段杆内的应力2=-30mpa,e=210gpa,求整个杆的伸长l,解:,例:,图示圆截面杆,已知f = 4kn,l1=l2= 100 mm,弹性模量e= 200gpa。为保证杆件正常工作,要求其总伸长不超过0.01mm,即许用变形 =0.01mm。试确定直径d。,杆段ab与bc的轴力分别为:,杆段ab与bc的轴向变形分别为:,杆ac的总变形:,解:,例:,由刚度条件,,取,,得,,即,,例:,题3,轴向拉压杆的变形的应用,桁架节点的 位移求法,拉压静不定问题,四、桁架节点的位移求法,“以切代弧”方法,“以切代弧”,例,解:,图示托架,由横梁ab与斜撑杆cd所组成,并承受集中载荷f1和f2作用。 试求梁端a点的铅垂位移。 已知: f1=5kn,f2=10kn,l=1m;斜撑杆cd为铝管,弹性模量e=70gpa, 横截面面积a=440mm2.横梁视为刚体。,1、计算杆的轴向变形,设斜撑杆所受压力为,得:,由胡克定律,得斜撑杆的轴向变形,2、计算a点的铅垂位移,图示结构,抗拉刚度均为ea,1杆长为l, 当节点b处受外力f 作用时,节点b的垂直位移和水平位移分别为:,例,8.6 简单拉压静不定问题,一、两类问题,静定问题:对于杆或杆系结构,其约束反力或杆的内力(轴力)均可由静力学的平衡方程求出,这类问题称为静定问题。,一、两类问题,静定问题:对于杆或杆系结构,其约束反力或杆的内力均可由静力学的平衡方程求出,这类问题称为静定问题。 静不定问题:对于杆或杆系结构,其约束力或杆的内力仅用静力学的平衡方程不能够全部求出,这类问题称为静不定问题。,静不定问题,静不定次数:在静不定结构中,未知力(杆的内力或约束力)的个数多于平衡方程的数目,两者的差值称为静不定次数。 多余约束:对于结构的平衡来说,某些杆件或约束是多余的,称之为多余约束;相应于多余约束的未知力称为多余约束力。,注:多余约束的个数等于静不定次数,二、静不定问题的解法,静不定系统的变形是系统的,而不是单个的某一个杆件的变形,故为了维护其系统性,组成系统的各个构件的变形应该是统一的,协调的。,由协调的变形条件可列出补充方程,谓之变形协 调条件。,(建立补充方程),找出变形协调条件、建立补充方程是解决静不定问题的关键,求解步骤:,判定静不定次数 列静力学平衡方程(画出受力图) 列变形协调条件(画出位移变形图) 列物理条件(力与变形的关系,即胡克定律) 建立补充方程 将平衡方程与补充方程联立,求解未知量(未知力或内力),例,解:,1、列静力平衡方程,取节点a为研究对象,各杆对a的作用力用各自的内力代替。,可得:,(1),(2),2、建立变形协调条件,由变形几何关系可得:,3、列物理关系,4、建立补充方程,(3),(4),(5),将(4)式代入(3)式,可得:,5、求解,联立平衡方程(1)、(2)和补充方程(5),解得:,图示的杆件由两部分组成,在分界处受到 p 的作用。求a、b处的约束反力。,l1,l2,e1a1,e2a2,p,a,b,c,fb,解:,这个问题属一次静不定。,静力平衡方程:,(1),变形协调条件:,即,由胡克定律:,其中,建立补充方程:,(2),例,将方程(1)、(2)联立求解,得:,应如何求解?,若:,小结:静不定结构是综合运用了几何、物理、静力学三方面的条件来求解的。,首先,列出静力平衡方程,判断静不定次数, 以确定需要建立的补充方程的个数; 其次,根据变形协调条件建立变形几何方程; 再次,利用内力和变形之间的物理关系,即胡 克定律,代入几何方程得到包含各杆内 力的补充方程。 最后,联立求解静力平衡方程和补充方程,即 可求出未知量。,轴向拉压杆的变形的应用,桁架节点的 位移求法,拉压静不定问题,轴向拉压杆的轴向变形:,“以切代弧”,找出变形协调条件、建立补充方程是解决静不定问题的关键。,图示桁架为几次静不定结构?静力平衡方程和变形协调方程是什么?,练习,图示结构在节点c受集中载荷f作用,已知各杆各截面的 拉压刚度均为ea,杆1与杆2的长度均为 l。试求各杆的轴力。,练习,图示结构中,杆ab为刚性杆,设 分别表示杆1和杆2 的伸长, 表示杆3的缩短,则变形协调条件为:,练习,一、温度应力,8.7 温度应力和装配应力,温度变化引起物体的膨胀或收缩。,静定结构可以自由变形,不会引起构件的内力,变形量:,静不定结构受到多余约束的作用,往往会引起构件的内力,亦即引起构件内的应力,这种应力称为热应力或温度应力,静定,静不定,解:,1、平衡方程,2、几何方程(变形协调条件),3、物理方程,4、补充方程,5、温度应力为:,二、装配应力,上题若无温度变化,而是杆制造存在误差,长了 ,求装配应力。,解:,1、平衡方程,2、几何方程,3、补充方程,4、装配应力为:,由于构件加工尺寸的误差,在安装时结构内产生的应力,称为装配应力。装配应力问题属于静不定问题。,装配应力问题求与温度应力求解相似:, 温度应力问题的变形协调条件, 装配应力问题的变形协调条件,1. 建立平衡方程,2. 建立变形协调方程,3. 建立物理方程, hooke 定律,已知:钢螺栓穿过一铜管子,其初始状态如图所示,螺栓螺距为3mm, 螺栓内径d1=20mm,外径d2=25mm,铜管内径d3=25mm,外d4=45mm, e钢=200gpa, e铜=100gpa, l=0.75m,求:当螺母旋过1/4转时,在螺栓和铜管内产生的应力。,解:,(1)画受力图,列平衡方程。,(2)几何分析,变形协调条件。,(3)物理分析

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