高中数学第二章椭圆的简单几何性质第2课时椭圆几何性质的应用学案（含解析）新人教A版.docx

第2课时椭圆几何性质的应用学习目标1.进一步巩固椭圆的简单几何性质.2.掌握直线与椭圆位置关系等相关知识知识点一点与椭圆的位置关系思考1判断点P(1,2)与椭圆y21的位置关系答案当x1时，得y2，故y，而2，故点在椭圆外思考2类比点与圆的位置关系的判定，你能给出点P(x0，y0)与椭圆1(ab0)的位置关系的判定吗？答案当P在椭圆外时，1；当P在椭圆上时，1；当P在椭圆内时，b0)，则点P与椭圆的位置关系如下表所示：位置关系满足条件P在椭圆外1P在椭圆上1P在椭圆内b0)或1(ab0)，直线与椭圆的两个交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|，|AB|，或|AB|.其中，x1x2，x1x2或y1y2，y1y2的值，可通过由直线方程与椭圆方程联立消去y(或x)后得到关于x(或y)的一元二次方程求得1若直线的斜率一定，则当直线过椭圆的中心时，弦长最大()2直线y1被椭圆y21截得的弦长为.()3已知椭圆1(ab0)与点P(b,0)，过点P可作出该椭圆的一条切线()4直线yk(xa)与椭圆1的位置关系是相交()类型一直线与椭圆的位置关系例1已知直线l：y2xm，椭圆C：1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：(1)有两个不同的公共点；(2)有且只有一个公共点考点直线与椭圆的位置关系题点直线与椭圆的公共点个数问题解直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组消去y，得9x28mx2m240.方程的判别式(8m)249(2m24)8m2144.(1)当0，即3m0直线与椭圆相交；0直线与椭圆相切；0且m1)相切，则该椭圆的长轴长为()A1B.C2D2考点直线与椭圆的位置关系题点直线与椭圆的公共点个数问题答案D解析由消去y，得(1m2)x22x6m20，由244(1m2)(6m2)0，解得m25，所以椭圆的长轴长为2.类型二直线与椭圆的相交弦问题例2已知椭圆1和点P(4,2)，直线l经过点P且与椭圆交于A，B两点(1)当直线l的斜率为时，求线段AB的长度；(2)当P点恰好为线段AB的中点时，求l的方程考点直线与椭圆的位置关系题点中点弦问题解(1)由已知可得直线l的方程为y2(x4)，即yx.由消去y可得x2180，若设A(x1，y1)，B(x2，y2)则x1x20，x1x218.于是|AB|63.所以线段AB的长度为3.(2)方法一当直线l的斜率不存在时，不合题意所以直线l的斜率存在设l的斜率为k，则其方程为y2k(x4)联立消去y，得(14k2)x2(32k216k)x(64k264k20)0.(32k216k)24(14k2)(64k264k20)0.若设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，由于AB的中点恰好为P(4,2)，所以4，解得k，且满足0.这时直线的方程为y2(x4)，即x2y80.方法二设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有两式相减得0，整理得kAB，由于P(4,2)是AB的中点，x1x28，y1y24，于是kAB，于是直线AB的方程为y2(x4)，即x2y80.反思与感悟处理直线与椭圆相交的关系问题的通法是通过解直线与椭圆构成的方程利用根与系数的关系或中点坐标公式解决，涉及弦的中点，还可使用点差法：设出弦的两端点坐标，代入椭圆方程，两式相减即得弦的中点与斜率的关系跟踪训练2已知椭圆ax2by21(a0，b0且ab)与直线xy10相交于A，B两点，C是AB的中点，若|AB|2，OC的斜率为，求椭圆的方程考点直线与椭圆的位置关系题点中点弦问题解方法一设A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入椭圆方程并作差，得a(x1x2)(x1x2)b(y1y2)(y1y2)0.A，B为直线xy10上的点，1.由已知得kOC，代入式可得ba.直线xy10的斜率k1.又|AB|x2x1|x2x1|2，|x2x1|2.联立ax2by21与xy10，可得(ab)x22bxb10.且由已知得x1，x2是方程(ab)x22bxb10的两根，x1x2，x1x2，4(x2x1)2(x1x2)24x1x224.将ba代入式，解得a，b.所求椭圆的方程是1.方法二由消去y，得(ab)x22bxb10.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2，且直线AB的斜率k1，|AB|.|AB|2，2，1.设C(x，y)，则x，y1x.OC的斜率为，将其代入式得，a，b.所求椭圆的方程为1.类型三椭圆中的最值(或范围)问题例3已知椭圆4x2y21及直线yxm.(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程考点直线与椭圆的位置关系题点直线与椭圆相交时的其他问题解(1)由得5x22mxm210，因为直线与椭圆有公共点，所以4m220(m21)0，解得m.(2)设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，由(1)知5x22mxm210，所以x1x2，x1x2(m21)，所以|AB|.所以当m0时，|AB|最大，此时直线方程为yx.引申探究本例中，设直线与椭圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，求AOB面积的最大值及AOB面积最大时的直线方程解可求得O到AB的距离d，又|AB|，SAOB|AB|d，当且仅当m2m2时，上式取“”，此时m.所求直线方程为xy0.反思与感悟解析几何中的综合性问题很多，而且可与很多知识联系在一起出题，例如不等式、三角函数、平面向量以及函数的最值问题等解决这类问题需要正确地应用转化思想、函数与方程思想和数形结合思想其中应用比较多的是利用方程根与系数的关系构造等式或函数关系式，这其中要注意利用根的判别式来确定参数的限制条件跟踪训练3已知椭圆C：x22y24.(1)求椭圆C的离心率；(2)设O为原点，若点A在直线y2上，点B在椭圆C上，且OAOB，求|AB|的最小值考点直线与椭圆的位置关系题点直线与椭圆相交时的其他问题解(1)椭圆C：x22y24化为标准方程为1，a2，b，c，椭圆C的离心率e.(2)设A(t,2)，B(x0，y0)，x00.OAOB，0，tx02y00，t.又x2y4，0x4.|AB|2(x0t)2(y02)24448，当且仅当，即x4时等号成立，|AB|的最小值为2.1点A(a,1)在椭圆1的内部，则a的取值范围是()AaBaC2a2D1a1考点椭圆的几何性质题点点与椭圆的位置关系答案A解析由题意知1，解得a1Bm1且m3Cm3Dm0且m3考点直线与椭圆的位置关系题点直线与椭圆的公共点个数问题答案B解析由得(3m)x24mxm0，(4m)24m(3m)0，16m24m(3m)0，m1或m0且m3，m1且m3.3过椭圆1内一点P(1,1)的直线l与椭圆交于A，B两点，且P是线段AB的中点，则直线l的方程是()Ax2y30Bx2y10C2xy30D2xy10考点直线与椭圆的位置关系题点直线与椭圆的公共点个数问题答案A解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(1,1)是线段AB的中点，则x1x22，y1y22，将点A，B的坐标代入椭圆方程作差，得(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)0，即(x1x2)(y1y2)0，由题意知，直线l的斜率存在，kAB，直线l的方程为y1(x1)，整理得x2y30.4已知以F1(2,0)，F2(2,0)为焦点的椭圆与直线xy40有且仅有一个公共点，则椭圆的长轴长为_考点直线与椭圆的位置关系题点直线与椭圆的公共点个数问题答案2解析由题意可设椭圆的方程为1(a2)，与直线方程xy40联立，得4(a23)y28(a24)y(16a2)(a24)0，由0，得a，所以椭圆的长轴长为2.5已知椭圆C的两个焦点是F1(2,0)，F2(2,0)，且椭圆C经过点A(0，)(1)求椭圆C的标准方程；(2)若过左焦点F1且倾斜角为45的直线l与椭圆C交于P，Q两点，求线段PQ的长考点直线与椭圆的位置关系题点弦长与三角形面积解(1)由已知得，椭圆C的焦点在x轴上，可设椭圆的方程为1(ab0)，(0，)是椭圆短轴上的一个顶点，可得b，由题意可得c2，故a3，则椭圆C的标准方程为1.(2)由已知得，直线l的斜率ktan451，而F1(2,0)，所以直线l的方程为yx2，代入方程1，得5x29(x2)245，即14x236x90，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1x2，x1x2，则|PQ|x1x2|.解决直线与椭圆的位置关系问题，经常利用设而不求的方法，解题步骤为(1)设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)；(2)联立直线与椭圆的方程；(3)消元得到关于x或y的一元二次方程；(4)利用根与系数的关系设而不求；(5)把题干中的条件转化为x1x2，x1x2或y1y2，y1y2，进而求解一、选择题1已知直线l：xy30，椭圆y21，则直线与椭圆的位置关系是()A相交B相切C相离D相切或相交考点直线与椭圆的位置关系题点直线与椭圆的公共点个数问题答案C解析把xy30代入y21，得(3x)21，即5x224x320.(24)2453264b0)的离心率为，若直线ykx与椭圆的一个交点的横坐标x0b，则k的值为()A.BC.D考点直线与椭圆的位置关系题点求椭圆中的直线方程答案B解析根据椭圆的离心率为，得.由x0b，得yb2，y0，k.5若直线axby40和圆x2y24没有公共点，则过点(a，b)的直线与椭圆1的公共点个数为()A0B1C2D需根据a，b的取值来确定考点直线与椭圆的位置关系题点直线与椭圆的公共点个数问题答案C解析直线与圆没有交点，d2，a2b24，即1，b0)的左、右焦点，过点F1，F2分别作x轴的垂线，交椭圆的四点构成一个正方形，则椭圆的离心率e为()A.B.C.D.考点椭圆几何性质的应用题点求椭圆离心率的值答案B解析将xc代入椭圆方程，得y.由题意得2c，即b2ac，所以a2c2ac，则210，解得(负值舍去)7经过椭圆x22y22的一个焦点作倾斜角为45的直线l，交椭圆于M，N两点，设O为坐标原点，则等于()A3BCD考点椭圆的几何性质题点椭圆范围的简单应用答案C解析由x22y22，得a22，b21，c2a2b21，焦点为(1,0)，直线l不妨过右焦点，则直线l的方程为yx1，代入x22y22，得x22(x1)220，化简得3x24x0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1x20，x1x2，y1y2(x11)(x21)x1x2(x1x2)11，所以x1x2y1y20.8已知椭圆E：1(ab0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点若AB的中点坐标为(1，1)，则E的方程为()A.1B.1C.1D.1考点直线与椭圆的位置关系题点中点弦问题答案D解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入椭圆方程，得1，1，两式相减得，因为线段AB的中点坐标为(1，1)，所以.因为右焦点为F(3,0)，c3，所以a218，b29，所以椭圆E的方程为1.二、填空题9直线ykx1与焦点在x轴上的椭圆1总有公共点，则m的取值范围是_考点直线与椭圆的位置关系题点直线与椭圆的公共点个数问题答案m|1m5解析由直线ykx1恒过定点(0,1)，由题意知点(0,1)在椭圆上或椭圆内，则1.又椭圆的焦点在x轴上，0m5.1mb0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c，若直线y(xc)与椭圆的一个交点M满足MF1F22MF2F1，则该椭圆的离心率为_考点椭圆几何性质的应用题点求椭圆离心率的值答案1解析由直线方程y(xc)，得直线与x轴的夹角MF1F2，且过点F1(c,0)MF1F22MF2F1，MF1F22MF2F1，即F1MF2M.在RtF1MF2中，|F1F2|2c，|F1M|c，|F2M|c，由椭圆定义可得2acc，离心率e1.12若椭圆mx2ny21(m0，n0)与直线xy10交于A，B两点，若，则原点与线段AB的中点M的连线的斜率为_考点直线与椭圆的位置关系题点中点弦问题答案解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则，得m(x1x2)(x1x2)n(y1y2)(y1y2)0，即0.1，kOM.三、解答题13已知椭圆1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且倾斜角为45的直线l与椭圆相交于A，B两点(1)求AB的中点坐标；(2)求ABF2的周长与面积考点直线与椭圆的位置关系题点弦长与三角形面积解(1)由1，知a，b，所以c1.所以F1(1,0)，F2(1,0)，所以直线l的方程为yx1，由消去y，整理得5x26x30.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为M(x0，y0)，则x1x2，x1x2，x0，y01，所以AB的中点坐标为.(2)由题意，知F2到直线AB的距离d，|AB|，所以|AB|d，所以ABF2的周长为4a4，面积为.四、探究与拓展14椭圆1(ab0)与直线xy10相交于P，Q两点，且(O为坐标原点)(1)求证：等于定值；(2)若椭圆的离心率e，求椭圆长轴长的取值范围考点直线与椭圆的位置关系题点直线与椭圆相交时的其他问题(1)证明椭圆的方程可化为b2x2a2y2a2b20.由消去y，得(a2b2)x22a2xa2(1b2)0.由4a44(a2b2)a2(1b2)0，得a2b21.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1x2，x1x2.，x1x2y1y20，即2x1x2(x1x2)10，即10，a2b22a2b2，即2.等于定值(2)