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文档简介

第八章 线性离散控制系统的分析与综合 8.1 离散控制系统概述 8.2 连续信号的采样与复现 8.3 z变换及z反变换 8.4 线性离散系统的数学模型 8.5 离散控制系统稳定性分析 8.6 离散控制系统的稳态误差分析 8.7 离散控制系统的动态性能分析 8.8 数字控制器的模拟化设计 8.9 数字控制器离散化设计,8.1 离散控制系统概述 一、离散控制系统特点: 从系统结构上看,含有采样开关; 从信号传递上看,系统中某一处或几处信号是以脉冲或数字形式传递的。 二、离散控制系统的两种典型结构 1、采样控制系统 e(t) 是e(t)连续误差信号经过采样开关后,获得的一系列离散的误差信号。e*(t)作为脉冲控制器的输入,经控制器对信号进行处理,在经过保持器(或滤波器)恢复为连续信号,对受控对象实施控制。 采样系统中既有离散信号,又有连续信号。 采样开关接通时刻,系统处于闭环工作状态。而在采样开关断开时刻,系统处于开环工作状态。,2、 计算机控制系统 计算机作为系统的控制器,其输入和输出只能是二进制编码的数字信号,即在时间上和幅值上都是离散信号,而系统中被控对象和测量元件的输入和输出是连续信号, 故需要a/d和d/a实现两种信号的转换。 三、离散控制系统的分析方法 建立在z变换的数学基础上,采用脉冲传递函数,并利用类似连读控制系统的分析方法进行分析、研究。,8.2 连续信号的采样与复现 一、连续信号的采样、数学描述 1、采样过程 把一连续信号转换成一串脉冲序列或数码信号的过程,称为 采样过程。 例如下图中,采样器可用一个周期性闭合的采样开关表示, 设采样开关每隔t秒闭合一次(接通一次)。f(t)为输入连续信 号,则经采样开关后,f*(t)为定宽度等于的调幅脉冲序 列,在采样瞬时nt(n=0,1,2,3)时出现。由于采样开关闭合时 间很小,t,分析可认为=0。采样器的输出f*(t)信号, 等于输入于采样器的连续信号在采样时刻的数值。,2、数学描述 为了对采样过程和采样信号进行数学描述,往往把它看成是一个幅值调制的过程,如下图所示。 采样开关类似于一幅值调制器,当采样开关周期性开闭时,产生一串以ts为周期的单位理想脉冲t(t)。 幅值调制的过程,数学上表示为两个信号函数相乘,即f*(t)可以认为是输入连续信号f(t)调制在理想脉冲t(t)上的结果。 设理想脉冲序列,则采样脉冲序列的数学表达式: 二、信号的复现及装置 使采样信号f*(t)大体上回复为连续信号f(t)的变化规律,称信号的复现。 怎样才能使采样信号f*(t)大体上反映连续信号f(t)的变化规律呢? 从连续信号和其采样后的离散信号的频谱特性分析: 对于一个非正弦周期函数f(t),可以分解成一个傅氏级数,它的各次谐波的振幅 随频率变化的分布情况,称为f(t)的频谱特性。,设有一离散信号 对上式两边取拉氏变换,再由拉氏变换的复数位移定理可知 将s=j代入 经上述讨论分析可知,对于一连续信号f(t),其频率特性为一孤立的连续频谱(max)。以均匀周期t(=2/s)对f(t)进行采样,采样信号f*(t)的频谱与采样频率s有关,而且是以s为周期的无限多个频谱之和。与原函数频谱相比,各对应频率处的幅值下降为1/t。,观察上图,信号的复现需满足两个条件: (1)对于一个有限频谱的连续信号进行采样,当采样频率 时,采样信号才可能无失真的复现原来的连续信号。(香农采样定理) (2)在被控对象前必须串联一个理想的低通滤波器。,ts较大时 (s2 max),采样定理的物理意义是,采样频率越高,即采样周期越小,故采样越细密,采样的精度就越高,就能充分反映连续变化的所有信息。因此可以按要求复现原信号。 反之,采样频率越低,不能反映信息的全部变化情况,即由于在两个采样时刻之间连续信号变化较大,而这种变化不能在采样信号中得到反映,故不能按一定的精度复现原连续信号。 需要指出,实际的非周期函数,其频谱的最高频率是无限的,不过由于高频分量的幅值不大,因此通过低通滤波后的信号基本上能复现。在这种情况下,如何选择采样频率的最高频率呢?一般考虑频谱幅值降为最大值的5%处的频率为max。,1,三、零阶保持器低通滤波器 使采样信号f*(t)在每一个采样瞬间的采样值f(kt)一直保持到下一个采样瞬间。这样离散信号就变成了一阶梯信号fh(t)。因为fh(t)在每一个采样区间内的值均为常数,其导数为0,故称为零阶保持器。,设有一零阶保持器,其数学模型为 对上式两边取拉氏变换,再由拉氏变换的复数位移定理可知 将s=j代入,从幅频特性上看,幅值随频率的增加而衰减,所以零阶保持器是一低通滤波器。从相频特性上看,零阶保持器会产生负相移,使系统的相位滞后增大,使系统稳定性变差。,8.3 z变换及反变换,一、 z变换,在数学上表示:,对上式两边取拉氏变换,可看出,,是以复变量s表示的函数。引入一新变量z,-定义在z平面上的一个复变量,称为z变换子;,-采样周期; s-拉氏变换算子。,z变换的定义 8.2节指出,一个连续函数,经采样后,其采样函数,式中:,上式收敛时,被定义为采样函数,的z变换。即,注意: 1、上面三式均为采样函数,的拉氏变换式;,2、,是,的z变换式;,3、,只表征连续函数,在采样时刻之间的特性,不能反映。,在采样时刻的信号特性,,(2) z变换方法 z变换方法多种,主要的有,1) 级数求和法。以例说明 例 求单位价跃函数1(t)的z变换. 解:因为,或者,由,两边同乘以z-1得:,两式相减得:,例2.试求取衰减的指数函数e-at(a)的z变换。,解:,2)部分分式法 方法是,先求出连续函数的拉氏变换式,并部分分式展开。,;然后逐项进行z变换。,例3,巳知原函数,的拉氏变换式为,,求其z变换。,解:对拉氏变换式用部分分式展开,逐项进行z变换(查z变换表)有,例4.求取具有拉氏变换为 的连续函数f(t)的z变换。,解:,例5.求 的z变换。,解:,例6 求 的z变换,解:,(3) z 变换的主要性质 1) 线性性质,2) 延迟定理,说明:原函数在时域中延迟几个采样周期,相当于在象函数 上乘以 ,算子 的含义可表示时域中时滞环节,把脉冲延迟 n个周期。,3) 超前定理,若,则,4)复数位移定理,5)终值定理,若,在平面上以原点为圆心,的单位圆上和圆外没有极点或(z-1)f(z)全部极点位于z平面 单位圆内。,则,例设 的z 变换函数为 求 的终值。,解:用终值定理,二、z 反变换,z反变换是已知z变换表达式f(z),求离散序列f(nt)或 的过程。,z反变换的方法也有多种,主要方法有,1.部分分式法(因式分解法,查表法) 步骤:先将变换式写成 ,并展开成部分分式, 两端乘以z。 f(z)= 查z变化表。,=,例,巳知,,求,。,解,写成,两边同乘z,查z 变换表,2、幂级数法(长除法) 将 表达式直接用长除法,求按降幂排列的展开式 ,便可 直接写出脉冲序列的表达式。,例 己知,求其反z 变换。,解 可先改写z表达式,用长除法,分子、分母相除有,依z 变换的定义,有,注:在实际应用中,常常只需要计算有限的几项就够了, 是开放形式。,8.4 线性离散系统的数学模型,一、脉冲传递函数的概念 定义:线性定常系统,在零初始条件下,系统输出信号 的z变换与输入信号的z变换之比。用式子为,二、开环脉冲传递函数的求法 系统由串联环节组成时,脉冲传递函数与采样开关的位置 和数目有关。 1.串联环节之间有采样开关(图a),g(z)= g1(z)g2(z),2.串联环节间无采样开关(图b),g(z)=zg1(s)g2(s)=g1g2(z),3.环节与零阶保持器串联时的脉冲传函,解:,例 .求下图所示二环节串联的脉冲传函,其中,结论: 有采样开关断开的线性环节串联时,系统脉冲传递函数 等于各环节脉冲传递函数的积;无采样开关断开的线性环节串 联时,系统其脉冲传递函数等于两个连续环节串联之后的z变换。 本结论可推广到n个环节。,例:设g(s)=1/s,g(s)=1/(s+1),分别求上述两种连接时的脉冲传递数。,解:(1)二环节间有采样器 g(z)=g1(z)g2(z)=z1/sz1/(s+1)=,(2)二环节间无采样器,三、闭环脉冲转递函数 由于采样开关在闭环系统中可以有多种配置的可能性,故闭环离散系统没有唯一的结构形式,通常须采用列出方程式,再消去中间信号变量求出闭环转递函数。,1.采样开关位于误差通道,由图,取z 变换有,又由图有,由以上三式,消去中间变量可得该系统的闭环传递函数:,2 采样开关不位于误差通道,g(s),h(s),r(t),ts,y(t),m(t),-,b(t),g1(s),e,3 扰动输入时的脉冲传函,h(s),r(t),ts,y(t),e(t),-,b(t),g1,g2,n(t),g2(s),h(s),g1(s),n(t),-,m*,m(t),y(t),h(s),d(s),g(s),r(s),x(s),y(s),-,例1 .试求右图所示系统的闭环传函,解:,y(s),例2.试求取如图所示线性数字系统的闭环传函,解:,注:1、典型系统的传递函数或输出表达式见表8.1 2、元部件相同但采样开关的位置或个数不同,系统的传递 函数不同; 3、有些结构的系统只有输出表达式但求不出闭环传递函数。,8.5 离散控制系统稳定性分析,典型的离散控制系统如右图所示,其闭环传递函数为:,分析系统的稳定性能,需对其特征方程的根的分布情况进行分析,其特征方程为:d(z)=1+gh(z)=0,由z变换的定义可知,这里的z与s的关系为:,一、s平面与z平面的对应(映射)关系,注 :s平面上的左半平面,相当于z 平面上的单位园内;s平面的虚轴,相当于z 平面上的单位园上;s平面上的右半平面,相当于z 平面上的单位园外。,二、离散控制系统闭环稳定的充分、必要条件,离散控制系统闭环稳定的充分、必要条件是,系统的特征方程的根全 部位于z平面以原点为园心的单位园内。,例 某离散控制系统如右图所示,采样周期为1s,系统能否稳定工作?,解:系统的开环脉冲传递函数为,系统的闭环脉冲传递函数为,特征方程,=0,特征方程根,由于,,在 z 平面的单位园外,所以该系统是不稳定。,三、离散系统的稳定性判据,劳斯判据。具体方法、步骤; 1、求出特征方程式, 2、z w 变换: 令特征方程式中的 ,得到 3、用第三章劳斯判据的方法判稳。,例1.设闭环采样系统的特征方程为d(z)=45z3-117z2 +119z-39=0判断其稳定性.,解:,例2.判断如图所示系统的稳定性,采样周期ts=0.2(秒),解:,例3.设采样系统的方框图如图所示,其中 采样周期t=0.25s,求能使系统稳定的k1值范围,解:,8.6 离散控制系统的稳态误差分析,离散系统中误差信号是指采样时刻的误差,其稳态误差是指系统到达稳定后误差脉冲序列。 由于离散系统没有唯一的典型结构图形式,故不能给出一般的误差脉冲传递函数的计算公式,其稳态误差需要针对不同形式的离散系统来求取。 离散系统稳态误差的分析、计算与连续系统的相类拟,计算方法主要两种。,一、用z变换的终值定理计算 若系统稳定,即全部极点位于z平面单位图内,则可用z变换终值定理求出采样瞬时终值误差。方法、步骤如下:,1、求出误差传递函数 2、求出误差z变换式 3、终值定理计算,二、误差系数方法,其中 含有的积分环节个数n,表征系统的无差度。 n=0, 0阶无差系统;n=1一阶无差系统;n=2 二阶无差系统,称为位置误差系数。且有,设单位反馈系统,开环传递函数为,(1)阶跃输入时,由终值定理有,令,(2) 斜坡输入,,速度误差系数,当n=0 时 ,,当n=1 时 ,,有限值,,当n=2 时 ,,(3)加速度输入,,称为加速度误差系数。,例1,求下列系统单位斜波信号作用下的稳态误差。,y(t),当n=0,1 时,当n=2 时,解,i 型系统。,注:引入保持器,并不会改变系统开环脉冲传递函数极点的个数,系统仍是一阶无差系统。,例2.右图所示系统中的采样周期ts=0.2s,试求在 时的稳态误差.,解:,8.7 离散控制系统的动态性能分析,一 闭环特征根与暂态响应之间的关系,设闭环脉冲传函为,在单位阶跃输入信号的作用下,输出的变换为,对其进行反变换,得输出的时间响应,当特征根在单位圆内的不同位置时,分析系统的暂态过程, 为正实数,暂态分量为 ,单调衰减,并且 越小,衰减得越快, 为负实数,暂态分量为 ,暂态过程呈正、负交替的衰减振荡,极点越靠近原点,衰减得越快,原点为一对共轭的复数设共轭复数的两个极点为,对应的暂态分量为,为使离散控制系统具有较好的动态性能,闭环极点应尽量避免分布在平面单位圆内的左半部,并且不要靠近负实轴,闭环极点最好分布在单位圆内右部正实轴上并靠近原点的位置。,二、离散控制系统的动态性能估算,设最靠近单位圆周的一对极点为 (称为闭环主导极点),则可以根据这一对主导极点及其他闭环零、极点,估算出系统的超调量和峰值时间。具做的处理公式为,当由()计算出的p不是整数时,可令,例 求下图所示的系统的单位阶跃响应的峰值时间和超调量,1/s,zoh,0.2/(s+0.1),r,-,2s,2s,y,解 系统的开环脉冲传函 ()()(),其中,系统的闭环传函为,系统有一对共轭复数极点和一个零点。主导极点,进一步可求得,取,求得峰值时间,进一步求得,于是超调量可求得为,8.8 数字控制器的模拟化设计,c(z),zoh,g(s),-,s,s,r(s),e(s),e(k),u(k),u(s),a) 典型离散控制系统结构图,c(s),g(s),-,e(s),u(s),r(s),b) 相似连续系统结构图,数字控制器设计方法有:模拟化设计(间接、连续设计方法); 离散化设计(直接设计方法),一、模拟调节器的离散化方法,直接差分法(后向差分法), 双线性变换法,二、离散系统模拟化设计的方法与步骤, 设计模拟调节器:根据被控制对象的传函和系统性能指标要求,用连续系统的校正、综合方法求出模拟化校正装置, 选择采样频率, 离散化处理:由 求, 性能检验:不满足要求则返回第一步。, 求调节器的差分方程,编写程序:依差分方程编制控制算法的计算机程序,c(z),zoh,-,s,s,e(s),u(k),u(s),例 某计算机控制系统如下图示,设计数字控制器,使系统的开环截止频率 , 相角裕度, 开环增益(控制精度),r(s),解 ()设计模拟校正装置,取k=30,将零阶保持器看成是一个惯性环节: ,校正前的开环传函为,并预选采样周期,于是可画出开环对数对数频率特性,可求得未校正前系统的开环截止频率 和相角裕度,选取串校超前校正装置 ,其中,校正后的系统满足性能要求,()选取采样频率,已知 ,相应的采样频率为,() 离散化,求,采用双线性变换法,令 中的 有,()化 为差分方程,记,为可调参数,

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