刚体的定轴转动5-3简.ppt

(Rotation of Rigid Body about Affixed Axis),第 五 章,刚 体 的 定 轴 转 动,主讲：左武魁,第五章 刚体的定轴转动,5.1 刚体转动运动学,5.2 转动定律,5.3 转动惯量,5.5 力矩的功 转动动能定理,5.6 角动量定理 角动量守恒定律,#5.7 进动,5.4 转动定律的应用,5.5 力矩的功 转动动能定理,1. 外力（矩）的元功 dA,条件:,力F 作用在P 点，,P点对应半径为r，,刚体可绕oz轴转动且在力 作用下角位移为 。,证明:,一、 力矩的功 ( woke done by a torque ),。,(woke done by a torque, rotational kinetic energy of rigid body),1. 外力（矩）的元功,3. 恒力矩的功,4. 单位,J 或 Nm,2. 变力矩的功,则,一、 力矩的功 ( woke done by a torque ),二、功率 (power),引入：,单位： w 即 Nms-1,证：,(由 P = F v 猜想),J,引入：,证明：,将刚体分为质元系 m1 、 m2 、 mi mn ，,说明：,三、刚体的转动动能,刚体的动能不是一种新的动能，它只是刚体内各质元作线运动的动能的总和。,( rotational kinetic energy of rigid body ),J,引入：,证明：,表式：,表述：,合外力矩对绕定轴转动的刚体所作的功等于刚体转动动能的增量。,四、转动动能定理,( theorem of kinetic energy about affixed axis ),式中hc 为刚体质心的高度。,当合外力矩和非保守内力（矩）作功之和为零时，系统的机械能守恒。,一个不太大的刚体的重力势能和它的全部质量集中在质心所具有重力势能一样。,五、刚体的重力势能,六、刚体的机械能 ( mechanical energy of rigid body ),七、机械能守恒定律,若 A外+A非保内= 0，则 E = EK+ EP= 恒量 。,( law of conservation of mechanical energy),例5.8 (P268),冲床可利用飞轮的转动动能通过曲柄连杆机构的传动带动冲头在铁板上穿孔。已知飞轮半径r = 0.4 m , 质量m = 600 kg（可以看成均匀圆盘）。飞轮的正常转速是n1= 240r/min ,冲一次孔转速减低20%。求冲一次孔，冲头所作的功A。,解：,因 1= 2 n1 /60,2 = (1-0.2) 1 =0.8 1,所以,= - 5.45103(J),式中负号表示冲头对外所作的功。,例5.9 (P269),一质量为M 、半径为R 的定滑轮上绕有细绳。绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂一质量为m 的物体而下垂。忽略轴处磨擦，求物体m 由静止下落高度 h 时的速度v 和此时滑轮的角速度 。,( 用机械能守恒定律解例5.6 ),解：,取m 初始位置为势能零点，则,解得：,方法1用机械能守恒定律,取初始位置为势能零点，则,例5. 10 (P270),一均匀细棒（ ，m），可绕过其一端的光滑轴转动，开始时棒静止于水平位置，求其下摆角为 时的角速度 。,（用机械能守恒定律（或转动动能定理）解例5.7）,解：,5.6 刚体的角动量 角动量守恒定律,1. 定义,标量式：,引入：,又称动量矩。,J,角动量,对比质点的动量(猜想）,对质点：,2. 单位,L= r m v sin ,标量式：,(angular momentum of rigid body, angular momentum conservation law),一、刚体（绕固定轴）的角动量,一、刚体（绕固定轴）的角动量,推证：,由质点的角动量,故质点系的角动量,刚体的角动量,因为对刚体来说,又因,知：,三、刚体（绕固定轴）的角动量定理,1. 微分式,2. 积分式,证：,3. 表述,相对于给定的转轴，作用在刚体上的角冲量等于刚体的角动量的增量。,二、角冲量( angular impulse )（冲量矩( moment of impulse ) ）,1. 定义,2. 单位,由 转动定律,( angular momentum theorem of rigid body about affixed axis ),四、 对定轴的角动量守恒定律,当作用在刚体上的合外力矩为零时，刚体的角动量保持不变。,表述：,1. 普适。自然界中三大守恒定律之一。,说明：,3. 由角动量守恒定律可知,当 M = 0 时，若 J 不变，则 不变。,当 M = 0 时，,当 时，,( angular momentum conservation law about affixed axis ),角动量守恒定律应用实例,应用实例（1）人站在转台上的角动量守恒演示,角动量守恒定律应用实例,应用实例（3） 直升机的螺旋浆,直升机的螺旋浆旋转时，根据角动量守恒定律可知，机身将会产生反向旋转。为此，直升机一般均采用加装尾浆或双螺旋浆结构。,角动量守恒定律应用实例直升机的双浆,用于轮船导航、 控制导弹飞行。,角动量守恒定律应用实例,应用实例（3）悬在常平架上的回转仪,长为L 、质量为M 的均匀杆，一端挂在一个水平光滑轴上而静止在竖直位置。一质量为m 的子弹以水平速度v0 ，射入杆的下端并嵌于其中。求杆和子弹开始一起运动时的角速度。,例 5.11 (P273),L,解：,因子弹射入杆并和杆一起运动所经历的时间极短，故杆的位置基本不变。,选子弹和杆为系统，则碰撞过程中,解得,因子弹嵌入杆中和杆一起运动的速度v = l，故有,系统所受合外力矩为零，系统角动量守恒。,（系统在水平方向动量是否守恒？为什么？）,*5.7 陀螺的进动 ( precession of a top ),陀螺在绕自身对称高速旋转时，在重力矩作用下，其对称轴还将绕竖直轴OZ 回转，这种现象称为进动。,一、进动 ( precession ),2. 进动角速度,1. 定义,( precession angular velocity ),二、进动应用实例,2. 弹筒的来复线的作用,炮弹的引爆需要弹头击中目标，炮弹前进过程所受空气阻力一般不通过质心，所以炮弹有可能翻转。,1. 炮弹的运动,使炮弹绕自己的对称轴迅速旋转，空气阻力对炮弹产生一个阻力矩，使炮弹的自转轴绕阻力的作用线即弹道产生进动，从而使自转轴与前进方向不会有太大的偏离。,三、回转仪的进动,回转仪绕其自转轴转动的角动量为L0 ，当平衡重物在杠杆上左、右移动时，回转仪将受到外力矩的作用，方向垂直与L0 ，回转仪的角动量将改变L ，方向与外力矩相同，也垂直与L0 ，因而杆将在水平面内绕竖,直轴转动起来。,小 结,一、 力矩的功,3. 恒力矩的功,2. 变力矩的功,4. 功率,2. 刚体的转动动能,1. 刚体的重力势能,二、刚体的机械能,3. 机械能守恒定