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第四章第四章根轨迹分析法根轨迹分析法 基本概念基本概念 根轨迹根轨迹是指当系统特征方程中的某个参数是指当系统特征方程中的某个参数 (如增益(如增益k或时间常数或时间常数t)连续地由零变化到无)连续地由零变化到无 穷大时,特征方程根连续变化而在穷大时,特征方程根连续变化而在s平面上所形平面上所形 成的若干条曲线。成的若干条曲线。 根轨迹法根轨迹法是用图解的方法确定闭环特征根是用图解的方法确定闭环特征根 的一种简便方法。的一种简便方法。 本章基本要求本章基本要求 、掌握根轨迹增益变化时简单系统根轨迹的绘制方法。、掌握根轨迹增益变化时简单系统根轨迹的绘制方法。 理解和熟记根轨迹绘制法则,尤其是实轴根轨迹的确定、根理解和熟记根轨迹绘制法则,尤其是实轴根轨迹的确定、根 之和的概念、分离点及渐进线的计算方法。会利用模值方程之和的概念、分离点及渐进线的计算方法。会利用模值方程 求特定的值。求特定的值。 、了解闭环零、极点的分布和系统阶跃响应的定性关系。、了解闭环零、极点的分布和系统阶跃响应的定性关系。 、正确理解主导极点和偶极子等重要概念,会用主导极点、正确理解主导极点和偶极子等重要概念,会用主导极点 的概念估算系统的性能指标。的概念估算系统的性能指标。 、了解系统中其他参数变化时根轨迹绘制的基本思路及方、了解系统中其他参数变化时根轨迹绘制的基本思路及方 法。法。 本章重点、难点本章重点、难点 1、重点:根轨迹的绘制,增加开环零点、极点对、重点:根轨迹的绘制,增加开环零点、极点对 根轨迹和系统性能的影响,利用根轨迹分析控制系根轨迹和系统性能的影响,利用根轨迹分析控制系 统的方法统的方法 2、关键点:根轨迹方程,幅值条件,相角条件、关键点:根轨迹方程,幅值条件,相角条件 3、难点:利用根轨迹分析系统性能,为了达到系、难点:利用根轨迹分析系统性能,为了达到系 统的期望如何改变根轨迹统的期望如何改变根轨迹 4.1 根轨迹图根轨迹图 标准二阶系统标准二阶系统 开环传递函数开环传递函数 )( )( pss k sg kpss k sr sc 2 )( )( 闭环传递函数闭环传递函数 0)( 2 kpsssd 特征方程特征方程 r(s)r(s) )(pss k c(s)c(s) + +- - k pp s 2 2, 1 22 特征方程的根特征方程的根 根轨迹与系统性能根轨迹与系统性能 稳定性稳定性 动态性能动态性能 稳态性能稳态性能 4.2 绘制根轨迹的数学依据绘制根轨迹的数学依据 g(s)g(s) h(s)h(s) r(s)r(s)e e(s)(s)c(s)c(s) b(s)b(s) + + - - )()(1 )( )( )( shsg sg sr sc 闭环传递函数闭环传递函数 0)()(1)( shsgsd 特征方程特征方程 1)()( shsg根轨迹方程根轨迹方程 )12()()( kshsg相角条件相角条件 1)()( shsg幅值条件幅值条件 1 )()( )()( 21 21 n m pspsps zszszs k 零极点形式零极点形式 ) 12()arg()arg( 11 kpszs n j j m i i 相角条件相角条件 1 1 1 n j j m i i ps zsk 幅值条件幅值条件 )2( )()( ss k shsg开环传递函数开环传递函数 根轨迹的条数、起点和终点根轨迹的条数、起点和终点 根轨迹的连续性和对称性根轨迹的连续性和对称性 实轴上的根轨迹实轴上的根轨迹 根轨迹的渐近线根轨迹的渐近线 根轨迹的分离点根轨迹的分离点 根轨迹的起始角和终止角根轨迹的起始角和终止角 根轨迹与虚轴的交点根轨迹与虚轴的交点 闭环特征方程根之和与根之积闭环特征方程根之和与根之积 4.3 绘制根轨迹的一般规则绘制根轨迹的一般规则 规则一规则一 根轨迹是连续的,并且对称于实轴根轨迹是连续的,并且对称于实轴 规则二规则二 根轨迹的起点、终点和条数根轨迹的起点、终点和条数 n条根轨迹起始于条根轨迹起始于n个开环极点个开环极点(k=0),其中,其中 m条终止于条终止于m个开环零点个开环零点(k),而另,而另n-m 条终止于条终止于s平面无穷远处平面无穷远处 规则三规则三 根轨迹在实轴上的分布根轨迹在实轴上的分布 在在s平面实轴上存在根轨迹的条件是,在这些线平面实轴上存在根轨迹的条件是,在这些线 段右边的开环零点和开环极点数目之和为奇数段右边的开环零点和开环极点数目之和为奇数 例例4.1 r(s)r(s) )4)(2( )3)(1( sss ssk c(s)c(s) + +- - 已知开环传递函数,求实轴上根轨迹。已知开环传递函数,求实轴上根轨迹。 22 ) 3s)(2s (s )6s)(4s)(1s (k ) s (g 例例4.2 -1,-2 右侧实零、极点数=3。 -4,-6 右侧实零、极点数=7。 规则四规则四 根轨迹的渐近线根轨迹的渐近线 渐近线倾角渐近线倾角 渐近线与实轴的交点渐近线与实轴的交点 1, 1 , 0 12 mnk mn k mn 零点坐标 零点坐标极点坐标极点坐标 1 )( )( 1 1 1 1 1 1 n j j n n j j n m i i m m i i m psps zszs k 改写根轨迹方程 1 )( 1 11 mn n j m i ij mn szps k j n j m i ij mn ke s zp s )1 ( 11 mn j mn n j m i ij ke s zp s 11 11 )()1 ( 1, 1 , 0 )( 1 ) 12(1 11 mnkek mns zp s mn k j mn n j m i ij mn k j mn n j m i ij ek mn zp s ) 12(1 11 :直线方程 已知开环传递函数,求渐近线。已知开环传递函数,求渐近线。 )2s2s)(4s ( s ) 1s (k ) s (g 2 例例4.3 四个开环极点:四个开环极点:0 0、- -1+j1+j、- -1 1- -j j、- -4 4 一个开环零点:一个开环零点:- -1 1n n- -m=4m=4- -1=31=3 渐近线与实轴交点: 3 5 14 ) 1()4() j1() j1()0( mn zp m 1i i n 1i i a 渐近线与实轴正方向的夹角: mn 180) 1k2( a 300、180、600 a 规则五规则五 根轨迹的分离点根轨迹的分离点(汇合点汇合点) 分离点必须满足分离点必须满足 在实轴上的分离角恒为在实轴上的分离角恒为 0 ds dk 2 例例4.4 绘制如下开环传递函数的单位反馈系统绘制如下开环传递函数的单位反馈系统 的根轨迹的根轨迹 )2)(1( )( sss k sg 例例4.4 规则六规则六 根轨迹的出射角和入射角根轨迹的出射角和入射角 开环复数极点处根轨迹的出射角开环复数极点处根轨迹的出射角 开环复数零点处根轨迹的入射角开环复数零点处根轨迹的入射角 )( )(180 的相角和的相角和所有零点对出射点提供所有零点对出射点提供 的相角和的相角和其他极点对出射点提供其他极点对出射点提供 )( )(180 的相角和的相角和所有极点对入射点提供所有极点对入射点提供 的相角和的相角和其他零点对入射点提供其他零点对入射点提供 思考:如果是p1重根呢? 例例4.5 绘制如下开环传递函数的单位反馈系统绘制如下开环传递函数的单位反馈系统 的根轨迹的根轨迹 )5 . 2)(5 . 2( )54)(5 . 1( )( 2 2 ssss sssk sg 规则七规则七 根轨迹与虚轴的交点根轨迹与虚轴的交点 将将s=j代入闭环特征方程代入闭环特征方程 0)()()( crcrcrcr jdjnkje 临界根轨临界根轨 迹增益迹增益 临界角临界角 频率频率 规则八规则八 闭环极点的和与积闭环极点的和与积 m i i mn n j j n j j n j n j jj zkps ps 111 11 ) 1( 总结总结: 绘制根轨迹的一般步骤绘制根轨迹的一般步骤 1. 确定确定g(s)h(s)的极点和零点在的极点和零点在s平面的位置平面的位置 2. 确定实轴上的根轨迹确定实轴上的根轨迹 3. 确定根轨迹渐近线确定根轨迹渐近线 4. 确定根轨迹分离点确定根轨迹分离点 5. 确定根轨迹自复数极点确定根轨迹自复数极点(或至复数零点或至复数零点)的出射角的出射角 (或入射角或入射角) 6. 确定根轨迹与虚轴的交点确定根轨迹与虚轴的交点 7. 确定虚轴和原点附近的根轨迹确定虚轴和原点附近的根轨迹 8. 确定闭环极点确定闭环极点 例例4.6 带自动驾驶仪的飞机带自动驾驶仪的飞机,在纵向运动中的开环传递函在纵向运动中的开环传递函 数的简化形式为数的简化形式为: 当当a=b=1,时,绘制根轨迹图,时,绘制根轨迹图, 并求增益并求增益k的稳定范围。的稳定范围。 0, 0, )2)( )( )()( 2 2 ba ssbss ask shsg nn 45 . 0 n 和和 典型的零极点分布及相应的根轨迹典型的零极点分布及相应的根轨迹 4.4 用用matlab作根轨迹作根轨迹 rlocus指令指令 rlocus(num,den) rlocus(a,b,c,d) num=1 1; den=1 3 12 16 0; rlocus(num,den); v=-6 6 -6 6; axis(v); hold on;axis equal 例例4.7 求下列开环传递函数单位负反馈系统的求下列开环传递函数单位负反馈系统的 根轨迹根轨迹 )14 . 1)(6)(4( )42( )( 2 2 sssss ssk sg num=1 2 4; a=1 4 0;b=1,6; c=1 1.4 1; den=conv(c,conv(a,b) rlocus(num,den); 4.5 闭环零极点分布与阶跃响应关系闭环零极点分布与阶跃响应关系 归纳归纳 1. 系统的稳定性只取决于闭环极点在系统的稳定性只取决于闭环极点在s平面的位置平面的位置 2. 如果系统的极点均为负实数且无零点如果系统的极点均为负实数且无零点,则系统的暂则系统的暂 态响应一定为非振荡的态响应一定为非振荡的. 3. 如果系统具有一对主导极点如果系统具有一对主导极点,则系统的暂态响应呈则系统的暂态响应呈 振荡性质振荡性质 4. 一般偶极子对系统暂态响应的影响可以忽略一般偶极子对系统暂态响应的影响可以忽略.但如但如 果偶极子的位置接近坐标原点果偶极子的位置接近坐标原点,其影响需考虑其影响需考虑 5. 如果除了一对主导复数极点外如果除了一对主导复数极点外,系统还具有若干实系统还具有若干实 数零极点数零极点,则零点的存在减小系统阻尼则零点的存在减小系统阻尼,使响应速使响应速 度加快度加快,超调量增加超调量增加;实数极点的存在增大系统阻实数极点的存在增大系统阻 尼尼,使响应速度减慢使响应速度减慢,超调量减少超调量减少 4.6 特殊情况下的根轨迹特殊情况下的根轨迹 参数根轨迹参数根轨迹 常规根轨迹常规根轨迹:以根轨迹增益以根轨迹增益k 为可变参量为可变参量 绘制的根轨迹绘制的根轨迹 参数根轨迹参数根轨迹:以以k 以外的系统其他参数为以外的系统其他参数为 可变参量绘制的根轨迹可变参量绘制的根轨迹 例例4.8 绘制以绘制以a为参变量的根轨迹为参变量的根轨迹 r(s)r(s)c(s)c(s) + +- - )2( 10 ss as 1 )2( )1(10 )( ss as sg 系统开环传递函数为系统开环传递函数为 0)1(10)2( asss 特征方程为特征方程为系统系统 0 102 10 1 2 ss as 等效特征方程等效特征方程 多回路系统的根轨迹多回路系统的根轨迹 c(s)c(s) + + - - + + - - r(s)r(s) )2( 06. 1 ss s skc)3( 1 1 s 内环开环零极点内环开环零极点 内环根轨迹内环根轨迹 内环增益内环增益 内环闭环极点内环闭环极点 串联环节零极点串联环节零极点 整个系统开环零极点整个系统开环零极点 系统根轨迹系统根轨迹 闭环极点闭环极点: -0.33+j0.59;-0.33-j0.59;-2.33 )33. 2)(58. 033. 0)(58. 033. 0( )1(06. 1)3( )( sjsjs s s sk sg c 正反馈系统的根轨迹正反馈系统的根轨迹 g(s)g(s) h(s)h(s) r(s)r(s)e e(s)(s)c(s)c(s) b(s)b(s) + + + + )()(1 )( )( )( shsg sg sr sc 闭环传递函数闭环传递函数 0)()(1)( shsgsd 特征方程特征方程 1)()( shsg根轨迹方程根轨迹方程 kshsg2)()( 相角条件相角条件 1)()( shsg幅值条件幅值条件 kpszs n j j m i i 2)arg()arg( 11 1 1 1 n j j m i i ps zsk 绘图规则的修改绘图规则的修改 规则三的修改规则三的修改: 在在s平面实轴上存在根轨迹的平面实轴上存在根轨迹的 条件是,在这些线段右边的开环零点和开环条件是,在这些线段右边的开环零点和开环 极点数目之和为偶数极点数目之和为偶数 规则四的修改规则四的修改: 渐近线倾角渐近线倾角 1, 1

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