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文档简介

概率论,4.1 大数定律,“概率是频率的稳定值”。当随机试验的次数无限增大时,频率总在其概率附近摆动,逼近某一定值。大数定理就是从理论上说明这一结果。正态分布是概率论中的一个重要分布,它有着非常广泛的应用。,第四章大数定律与中心极限定理,中心极限定理阐明,原本不是正态分布的一般随机变量总和的分布,在一定条件下可以渐近服从正态分布。这两类定理是概率统计中的基本理论,在概率统计中具有重要地位。,大量的随机现象中平均结果的稳定性,大数定律的客观背景,大量抛掷硬币 正面出现频率,字母使用频率,生产过程中的 废品率,定理(契贝晓夫 (Chebyshev)不等式):设随机变量X具有数学期望 ,方差 ,则对于任意正数,有,大数定律的定义,定义:设 是随机变量序列,数学期望 (k=1,2,.)存在,若对于任意0,有,则称随机变量序列 服从大数定律.,几种大数定律,定理(契贝晓夫(Chebyshev)大数定律): 设 是两两不相关的随机变量序列,具有数 学期望 和方差 ,k=1,2,.,若 存在常数C,使得 ,k=1,2,.,则对于任意 给定的0,恒有,证明:,例:设 是相互独立的随机变量序列,均服从参数为的泊松分布,则 服从大数定律.,证明:已知 , ,所以 满足契贝晓夫大数定律的所有条件,故对于任意给定的0,恒有,即 服从大数定律.,令,例2:设随机变量序列 独立同分布,则随机变量序列 服从大数定律,即 ,有,证明:,定理(贝努里大数定律):设进行n次独立重复试验,每次试验中事件A发生的概率为p,记n为n次试验中事件A发生的频率,则对任意的0,有,贝努里,由契贝晓夫大数定律有,则,贝努里大数定律表明,当重复试验次数n充分大时,事件A发生的频率n与事件A的概率p有较大偏差的概率很小.,贝努里大数定律提供了通过试验来确定事件概率的方法.(理论保障),蒲丰投针问题中解法的 理论依据就是大数定律,当投针次数n很大时,用针与线相交的频率m/n近似针与线相交的概率p,从而求得的近似值.,针长L,平行线距a,解:,解:,则对于任意给定的0,恒有,例5(马尔可夫大数定律):设随机变量序列 ,若满足马尔可夫条件,解:,辛钦,定理(辛钦大数定律):设 是相互独立同分布的的随机变量序列,若有数学期望 (k=1,2,),则对于任意给定的0,恒有,证明留在下一次课,注:若对同一随机变量进行观察,把每一次观察的结果看作一个随机变量,得到一列相互独立同分布的随机变量序列.由辛钦大数定律知:对随机变量进行n次观察的算术平均值依概率收敛于该随机变量的数学期望,这就为寻找随机变量的数学期望提供了一条切实可行的途径.,例6:用蒙特卡洛法计算定积分(随机投点法),解:设,则,具体做法如下:,小结 大数定律的客观背景; 大数定律的定义; 几种大数定律:契贝晓

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