概率论和数理统计随机变量及其分布.ppt

1,1.2 随机变量及其分布,一、一维随机变量及其分布函数 二、多维随机变量及其分布函数,2,注: (1)分布函数是一种单调不减、实值、有界的普通函数 (2)对于任意实数,为一个定义域为R、值域为0，1的函数，称之为随机变量X的分布函数,设X为一随机变量,则对每一个实数x，Xx都是一个随机事件，进而,(3)分布函数的定义,3,(1)、定义: 如果随机变量X的所有可能的取值是有限多个或可列无限多个，则称X为离散型随机变量,又设X的可能取值是 x1,x2,xk,，若有,PX=xk = pk , k=1,2,称此通式为X 的概率分布，也称分布律.,表格法如下：,(2)、性质：,1 pk0，（k=1,2,） 2pk = 1.,2、离散型随机变量及其分布律,一个阶梯函数,(3)、离散型的分布函数,4,例2 设有一批产品20件，其中有3件次品，从中任意抽取2件，如果用X表示抽得的次品数，求随机变量X的分布律、分布函数及事件“至少抽得一件次品”的概率。,解：,X的可能取值为 0，1，2；,=P抽得的两件全为正品,PX=0,PX=1=,PX=2=,故 X的分布律为,例1中随机变量的分布函数为,（4）几种常见的重要分布:,5,则称X服从参数为p 的 (0-1)分布或二点分布,记为 X(0-1)分布,背景：样本空间只有两个样本点的情况；,定义： 若随机变量X的分布律为:,10 、0-1分布 (二点分布):,如： “抛硬币一次,X表示正面朝上的次数”;,“检验一件产品是否合格,X表示合格品的件数”,2、二项分布:,定义：若随机变量X的分布律为:,6,其中0 p 1, 则称X服从参数为n,p的二项分布、记为 Xb(n,p).,解：依题意，有放回地抽取5件,可视为5重贝努利实验,记X为共抽到的次品数，则,所求为 PX=2,例3 从一批由9件正品、3件次品组成的产品中,有放回地抽取5件,每次抽一件,求恰好抽到两件次品的概率.,A=“一次实验中抽到次品”，P(A)=3/12, p=1/4;,3、泊松分布:,定义：若随机变量的分布律为:,7,其中 0, 则称X服从参数为的泊松分布，记为 XP().,注：10它是二项分布的极限形式！实际应用中：当n20, p0.05时，即可用近似公式,20有Poisson分布表可查用.,其中=np.,30实际问题中若干R.v.X是服从或近似服从Poisson分布的。某服务台在某时间段内接待的服务次数X； 某地区在某时间段内出现故障的次数Y; ,8,例4 某公共汽车站单位时间内的候车人数服从参数8的泊松分布，求该公共汽车站单位时间内候车人数小于5的概率.,解 记该车站单位时间内的候车人数为X,则由题知 XP(8),查附表1知,9,(1)、数学定义：若存在非负函数 f(x), 使随机变量X的分布函数恰为,则称X为连续型随机变量， 称为X 的概率密度。,(2)、f (x)的性质,3、连续型随机变量及其概率分布,10,故 X的密度 f(x) 在 x 这一点的值，恰好是X落在区间 上的概率与区间长度 之比的极限.,若x是 f(x)的连续点，则：,=f(x),对 f (x)的进一步理解:,要注意的是，密度函数 f (x)在某点处a的高度，并不反映X 取值的概率. 但是，这个高度越大，则X 取a 附近的值的概率就越大.,11,定义：若连续型R.v.X的概率密度为,(3)、几种常见的连续型分布,10、均匀分布,则称X服从区间 (a, b)上的均匀分布。,背景: 当X的取值落在区间(a, b)中任意,分布函数,在区间(a, b)之外的概率为0的情况。,12,例5 102电车每5分钟发一班，在任一时刻 某一乘客到了车站。求乘客候车时间不超过2分钟的概率。,X（0，5）上的均匀分布,分析：,若记该乘客的候车时间为X ，则,因此X的概率密度,所求为？,PX2=F(2),13,20、指数分布,定义 若连续型随机变量X的概率密度为,背景: 可靠性理论、排队论中,分布函数,14,例6、设某仪器的使用寿命X（单位：万小时）服从参数为 1/15 的指数分布，求该仪器使用超过30万小时的概率.,解 由题知,故其概率密度函数为,所以,30、正态分布,1) 定义 若连续型R.v.X的概率密度为,则称X服从参数为，2 的正态分布,15,2)标准正态分布： 称 N(0,1）分布为标准正态分布,其概率密度为,图形与特性,3)标准正态分布表,如,0.9945,1 - 0.9750 = 0.025,16,例7 设X N（1,4），求P0X1.6,解:,4)一般正态分布的标准化,5