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文档简介

概率论,3.2 连续型随机变量,1、连续型随机变量的定义 2、连续型随机变量的概率密度 3、连续型随机变量的分布函数 3、常见的连续型随机变量,1、连续型随机变量的定义,定义3.2 若随机变量()可取某个区间 (有限或无限)中的一切值, 是它的分布函数 ,若存在有一个非负的可积函数 ,使对任意的 ,满足:,则称()为连续型(continuous)随机变量, 称为()的概率密度函数,简称为密度函数(density function),具有上述性质的函数处 称为是连续型分布函数。,(1),注意:,满足性质(1)、(2)的函数都可以看为某个随机变量的概率密度.,例如:,2、连续型随机变量的密度函数 的性质,(2),满足(1),(2),所以 是一个概率密度函数。,x,p(x),-1,1,0,F(-1),F(1),分布函数F(x)与密度函数 p(x)的几何意义,(1)设 (或 ) 为一连续型随机变量() 的分布函数(或密度函数),由定义可以直接算得()取值于区间(a,b的概率为:,由连续型随机变量的定义,它的分布函数具有下列良好的数学性质。,3、连续型随机变量的分布函数的性质,(2)若 绝对连续,则 必定处处连续;并且在 的连续点处, 可导,且,(3) 特别,对任意常数c,=0,因此对连续型随机变量,计算在一点的概率 是没有意义的,这也是不能用分布列描写连续型随机变量的理由之一。 但是一个可能发生的事件,这又说明对连续型随机变量,一事件A的概率为0并不表明A =;同样若P(A) =1,也并不表明A =。 这些都是与离散型随机变量的根本区别。,例1 设连续型随机变量的分布函数为,求:(1)A; (2)P(0.3 0.7); (3)X的概率密度p(x),实例,求:(1)A; (2)P(0.3 0.7); (3)X的概率密度p(x),解:(1) F(x)在x=1点连续,由左连续性得:,即:,所以:,A=1,求:(1)A; (2)P(0.3 0.7); (3)X的概率密度p(x),解: (2) P(0.3 0.7)=F(0.7)-F(0.3) =0.7- 0.3=0.4,求:(1)A; (2)P(0.3 0.7); (3)X的概率密度p(x),解:(3),(1).均匀(Uniform)分布,对ab,称随机变量服从a,b上的均匀分布,如果它的密度函数为:,4、常见的连续型随机变量,均匀分布的密度函数和分布函数,(2).正态分布,4、常见的连续型随机变量,称随机变量服从参数为和2的正态分布,如果它的密度函数为:,记作 N (,2 ),显然, 满足:,正态分布是概率论中最重要的一种分布,与二项分布、泊松分布并称为三大分布,它在实际应用与理论上都有很大作用。 一方面,正态分布应用很广.一般说来,若影响某一数量指标的随机因素很多,而每一因素所起的作用又不很大,则这个数量指标服从正态分布。,例如 进行测量时,由于仪器精度、人的视力、心理因素、外界干扰等多种因素影响,测量结果大致服从正态分布;测量误差也服从正态分布。另外,生物的生理尺寸如成人的身高、体重,某地区一类树木的胸径,炮弹落地点,某类产品的某个尺寸等等都近似服从正态分布.,另一方面,正态分布具有良好的性质,一定条件下,很多分布可用正态分布来近似表达,另一些分布又可以通过正态分布来导出,因此,正态分布在理论研究中也相当重要。 事实上,正态分布是19世纪初高斯(Gauss)在研究测量误差时首次引进的,故正态分布又称误差分布或高斯分布;,p (x) 的两个参数:, 位置参数, 形状参数,即固定 , 对于不同的 , 对应的p (x)的形状不变化,只是位置不同,固定 ,对于不同的 ,p( x) 的形状不同,x = 1 所对应的拐点比x = 2,所对应的拐点更靠近直线 x = ,正态分布的概率密度函数图形,正态分布的概率密度函数图形与 的关系,x=,p(x),一种重要的正态分布:- N (0,1) 标准正态分布,若 N (0,1),则的分布函数为:,其值有专门的表可查,其中:,-3,-2,-1,1,2,3,0.1,0.2,0.3,0.4,例2 设 N(1,4) ,求 P (0 1.6),解,例3 已知 ,且 P( 2 4 ) = 0.3, 求 P ( 0 ),解一,解二,由图,图解法,3原理,解,标准正态分布的上 分位数z,设 N (0,1) ,0 1,称满足,的点 z 为的上 分位数,常用的几个数据,(3).指数分布,称随机变量服从参数为

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