让抽象变得自然线性代数精彩案例.ppt

让抽象变得自然 线性代数精彩案例,李尚志 北京航空航天大学,润物细无声：应用案例 子空间概念的应用,4 阶幻方构造法,4 x + 同加1,方程个数的真与假 方程组 有几个方程？ 3个? 2个?,某个方程是其余方程的线性组合 线性相关,方程组线性相关 有多余的方程（是其余方程的线性组合） 删去多余的方程 - 打假 将打假进行到底 极大线性无关组 剩下的方程的个数- 秩rank,极大线性无关组，秩,二元一次方程组的几何意义,行列式的定义,方程组,可写成向量形式,即,1. 有唯一解的条件,不共线,即,2. 消元: 方程(1.1)两边与,(1.1),作内积消去y, 得,其中,就是,同理得,图2,因此,于是,3. 二阶行列式 平行四边形面积,称为二阶行列式, 记作,是平行四边形 OAPB 的有向面积,是两个向量,或,的函数,计算公式:,或,图2,4. 代数算法,可写成,其中,三阶行列式与体积,1. 三元一次方程组的几何意义,两边同时与,方程,作内积消去 y, z , 得到,类似地可以得到 y, z 的表达式。,当,时得,从原点O出发作有向线段OA，OB，OC使,则,就是以OA,OB,OC为棱的平行六面,体的有向体积。称为三阶行列式，记作,2. 三阶行列式 平行六面体体积,利用基本性质计算 n 阶行列式,(3.1),当 i1,i2,in 中有两个相等时，,这样的项可以从 (3.1) 中去掉。只剩下 i1,i2, in 两两不相等的项, (3.1)中的 变成对1,2,n 的全体排列 (i1,i2, in ) 求和，成为：,将排列 中任意两个数 相互交换位置, 称为这个排列的一个对换。相应地，行列式 中的 互换了位置，其值变为原来值的相反数 。 进行若干次对换(设为 s 次)可以将排列 变成标准排列 (12n), 相应地将 变成,(3.2),以下只须对每个排列 求,可以证明, 的值由排列 唯一决定, 我们将 记为 sgn 。则,sgn,代入(3.3) 得到,(3.3),于是得,这可以作为 n 阶行列式的定义。,(3.4),线性代数,空间为体, 矩阵为用 研究对象-几何：线性空间(向量) 研究工具-代数：矩阵运算 向量 (问题) 矩阵语言描述 矩阵运算解决 向量(解答) 与微积分的关系: 非线性 -微积分 线性 -线性代数,微积分中的代数模型,物理: 以匀速代变速 几何: 以直代曲 代数: 以线性代非线性,线性化-微分与导数,y = f(x) 在a的微分： Dy= f(x)-f(a) 线性函数 dy = kDx 误差 q = Dy-dy 是 Dx = x-a 的高阶无穷小. 导数 f (a) = 一次项系数 k . 一次函数逼近 f(x) f(a) +f(a)(x-a) 误差集合 o(Dx) ：Dx 的高阶无穷小 非零作零貌似零: q+q = q, q-q = q, aq= q. 同余式 f(x) f(a) +f(a)(x-a) （mod o(Dx) ）,同余式:,极限: f(x) A, f(x) A （mod O(Dx) ） 微分: f(x) f(a) +f(a)(x-a) (mod o(Dx) Taylor逼近: f(x) k0+k1(x-a)+kn(x-a)n (mod o(Dx)n),多项式的导数,. 多项式 f(x) 的导数: x为常量，t 为变量, 则 D f(x) = f(x+ t ) f(x) 是 t 的多项式，其中的一次项系数为 f (x).,和差积商的导数公式,f(x) f(a) + f(a) Dx g(x) g(a) +g(a) Dx 两式相加减 和差的导数 相乘乘积的导数 f(x)g(x) f(a)g(a) +(f(a)g(a)+g(a)f(a) Dx 倒数的导数:,微积分基本定理,数学聊斋：飞檐走壁之电影 实现 导数： 位置 f(t) 速度 v(t) = f(t) 积分：速度 v(t) 路程 Df(t) “倒过来放映”: 求 f(t) 使 f(t) = v(t) . 例： .,2019/7/16,F(x,y) 在某点P0可微 何时由 F(x,y)=0 确定 y=f(x)? 线性化: aDx+bDy 0, y=f(x) 在 x0 可微, 导数为,隐函数存在定理,2019/7/16,可微函数 n 个方程 =0 , 线性化 即 当 det B 时有唯一解,隐映射定理,2019/7/16,线性变换前后的图形,2019/7/16,向量方向的变化,2019/7/16,选取特征向量为基,计算案例: 若当标准形,网上资源, 精品课程国家级 数学实验(2003),线性代数(2004) 2006申报精品课程 国家级 联系办法: ,已出版教材 李尚志, 线性代数(数学专业用), 高等教育出版社,2006.5,精品课程网页 ,博 客,/ 随笔: 比梦更美好 比梦更美好之二 - 名师培养了我 数学聊斋二则 数学诗选,2019/7/16,星移斗转落银河, 月印三潭伴碧波。 保短保长皆变换, 能伸能屈是几何。,矩阵与变换,我的数学聊斋,之一 峨嵋山的佛光,数学聊斋,之二 指鹿为马之幼儿版,博比: 长颈鹿 马马 老虎 猫咪 狮子 狗狗 黑猩猩 爸爸 纠错码: 合法码两两之间差异大 (至少3位) 原码: 010011101011传输 错码: 010010101011纠错 最接近的合法码,数学聊斋 之三 人与照片之维数 之四 飞檐走壁之电影 实现,数学聊斋(之五) 足球的方与圆- 概率 沙场百胜古来稀 九密一疏已足奇 祸福偶然存概率 风云多变泄天机,数学聊斋 之六 没收非法所得是惩罚吗 - 数学期望 之七 邯郸农行案,谢谢 ！,2019/7/16,代数几何熔一炉 乾坤万物坐标书 图形百态方程绘 变换有规矩阵筹,代数与几何,2019/7/16,矩阵的相似对角化,AX1=aX1, AX2=bX2, AX3=cX3 A(X1,X2,X3) = (X1,X2,X3) D D=diag(a,b,c), P=(X1,X2,X3) AP=PD, P-1AP = D A 相似于对角形 D .,参考文献,线性代数(数学专业用), 高教出版社, 2006. 让抽象变得自然-建设国家精品课程的体