概率论与数理统计课件3-1.ppt

1、了解二维随机变量的联合分布。 2、了解联合概率密度及联合概率分布。 重点：联合分布函数，联合概率密度，联合概率分布 及其性质。 难点：求联合概率分布及某区域的概率，由联合概率 密度求分布函数及某区域概率。,教学要求：,n 维随机向量：,以下主要研究二维离散型及连续型随机向量的情形。,第3章 多维随机向量及其分布,3.1 二维随机变量,1、联合分布函数：,X,Y,x,y,Xx,Yy, , ,(x , y),二维联合分布函数区域演示图:,X,x2,y2,(x2,y2),Y,（x1,y1）,y1,x1,3、二维离散型随机向量 （1）定义：如果二维随机向量（X,Y）的全部取值(数对）为有限个或至多可列个，则称随机向量（X,Y）为离散型的。 易见，二维随机向量(X,Y)为离散型的等价于它的每个分量 X与 Y 分别都是一维离散型的。,X,x1 x2 x i ,y1 y2 y j ,p11 p12 p1j p21 p22 p2j pi1 pi2 p i j ,pij = 1; P(X,Y)D =,联合概率分布性质: pij0 ;i,j=1,2,称pij=P(X=xi,Y=yj),(i,j=1,2,.,)为(X,Y)的概率分布, 其中 E=(xi,yj),i,j=1,2,.为(X,Y)的取值集合, 表格形式如下:,（2）联合概率分布及其性质,例3.1.1.将一枚均匀的硬币抛掷4次,X表示正面向上的 次数,Y表示反面朝上次数,求(X,Y)的联合概率分布.,解:X的所有可能取值为0,1,2,3,4, Y的所有可能取值为0,1,2,3,4, 因为X+Y=4, 所以, (X,Y) 概率非零的数值对为:,P(X=0,Y=4)=,P(X=2,Y=2)=,=1/4,=6/16,P(X=3,Y=1)=,=1/4,P(X=4,Y=0)= 0.54=1/16,X 0 1 2 3 4,Y 0 1 2 3 4,联合概率分布表为:,0 0 0 0 1/16 0 0 0 1/4 0 0 0 6/16 0 0 0 1/4 0 0 0 1/16 0 0 0 0,P(X=1,Y=3)=,0.54=1/16,二维离散型随机变量联合概率分布确定方法:,1.找出随机变量X和Y的所有取值结果,得到(X,Y)的所 有取值数对; 2.利用古典概型或概率的性质计算每个数值对的概率; 3.列出联合概率分布表.,例3.1.3 二维随机变量(X,Y)的联合概率分布为:,求:(1)常数a的取值; (2)P(X0,Y1); (3) P(X1,Y1),解:(1)由pij=1得: a=0.1;,(2)由P(X,Y)D =,得 P(X0,Y1)=,P(X=0,Y=0)+,P(X=0,Y=1)+P(X=1,Y=0)+P(X=1,Y=1),=0.1+0.2+0.1+0.2,=0.6,(3)P(X1,Y1),=P(X=-1,Y=0)+P(X=-1,Y=1)+P(X=0,Y=0),+P(X=0,Y=1)+P(X=1,Y=0)+P(X=1,Y=1),=0.75,结合下页概率分布图,X,Y,二维联合概率分布区域图:,-1,0,1,2,1,PX0,Y1,P(X1,Y1,4、二维连续型随机变量,(1) f(x,y)0 ，(x,y)R2,或,（2）性质:,注意:,满足上述性质(1)(2)的二元函数为某随机向量 的联合 概率密度.,例3.1.4.若(X,Y),试求:(1) 常数 A ; (2)P X2, Y1;,(3) P（Xx,Yy）.,解:(1),所以, A=6,=A/6,=1,(4)P(X,Y)D,其中D为 2x+3y6.,所以, P X2, Y1,2,1,x2, y1,(3),x,y