江苏省南京市六校联合体2018_2019学年高二数学下学期期末联考试题.docx

江苏省南京市六校联合体2018-2019学年高二数学下学期期末联考试题参考公式：样本数据的方差其中.一、填空题:本大题共14小题，每小题5分，共计70分。1.复数z=(l+2i)(3-i)，其中i为虚数单位，则z的实部是 .2.为调查某髙校学生对“一带一路”政策的了解情况，现采用分层抽样的方法抽取一个容量为500的样本，其中大一年级抽取200人，大二年级抽取100人。若其他年级共有学生2000 人，则该校学生总人数是.3.下图是一个算法流程图,若输入x的值为2,则输出y的值为.4.为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长（单位：cm),所得数据均在区间80, 130上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有 株树木的底部周长大于110 cm.5.已知一组数据6, 7, 8, x，y的平均数是8,且xy= 90,则该组数据的方差为 6.某种产品每箱装6个，其中有4个合格，2个不合格，现质检人员从中随机抽取2个进行检测，则检测出至少有一个不合格产品的概率是 7.执行右图所示的伪代码，则输出的5的值是_.8.在区间2, 4上随机地取一个实数x，若实数x满足的概率为,则 9.已知命题任意，恒成立，命题方程表示双曲线。若“”为真命题，则实数的取值范围为 .10.在的展开式中，项的系数为.(用数字作答）11.已知双曲线 (a0,b0)的左顶点A和右焦点F到一条渐近线的距离之比为1:2, 则该双曲线的渐近线方程为.12.场晚会共有7个节目丄B、C、D、E、F、G,要求第一个节目不能排G，节目A必须排在前4个，节目D必须后3个，则有 种不同的排法。(用数字作答）13.观察下列数表，如此继续下去，则此表最后一行的数为 .(用数字作答） 14.己知函数，若函数恰有4个不同的零点， 则的取值范围为 .二、解答题:本大体共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明, 证明过程或演算步骤。15.(本小题满分14分）己知矩阵.（1）求A2.（2）求矩阵A的特征值和特征向量。16.(本小题满分14分)如图，在棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中，A1E=CF=1.（1）求异面直线所成角的余弦值；（2）求二面角B1EBF的余弦值.17.(本小题满分14分） 为了纪念国庆70周年，学校决定举办班级黑板报主题设计大赛，高二某班的同学将班级长AB=4米、宽BC=2米的黑板做如图所示的区域划分：取AB中点F，连接CF,以AB为对称轴，过A、C两点作一抛物线弧，在抛物线弧上取一点P，作PE丄AB垂足为E.作PG/AB交CF于点G.在四边形PEFG内设计主题LOGO,其余区域用于文字排版，设PE的长度为t米.（1）求PG长度的表达式，并写出定义域；（2）设四边形PEFG面积为S，求当为何值时，S取最大值，最大为多少平方米？18.(本小题满分16分） 如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆C: (a0,b0)的离心率为，点(2, 1)在椭圆C上.（1）求椭圆C的标准方程；（2）设直线与圆O: 相切，与椭圆C相交于P，Q两点.若直线过椭圆C的右焦点F，且与圆O切于第一象限，求OPQ的面积；求证：的值为定值.19.(本小题满分16分） 已知数列各项均为正数，.(1)若,求a2，a3, a4的值：猜想数列的通项公式知，并用数学归纳法证明; (2)若，证明：当时，.20. (本小题满分16分） 己知函数有极值，且函数的极值点是的极值点，其中e是自然对数的底数.（极值点是指函数取得极值时对应的自变量的值).(1)若，求函数在处的切线方程；(2)求关于的函数关系式；(3)当a0时，若函数的最小值为，证明：/南京市六校联合体高二年级期末考试试卷 数学参考答案及评分标准 2019.06一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）15 25000 35 418 52 6 7110 8290,1) 106 11yx 121224 132816 1416,0)二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15(本小题满分14分) (1)A2 6分(2)矩阵A的特征多项式f()(3)( 4)6(1)( 6) 8分令f()0得11，26 9分11时 解得xy，取y2得11分26时 解得xy，取y1得13分矩阵A的特征值为11，26，分别对应特征向量，14分（注：特征向量答案不唯一，只要共线即可）16. (本小题满分14分)解答 (1) 因为DA，DC，DD1两两垂直，所以分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示因为棱长为 3, A1ECF1，则D(0,0,0)，A(3,0,0)，B(3,3,0)，D1(0,0,3)，C1(0,3,3)，E(3,0,2)，F(0,3,1)所以(3,3,3)，(3,0,1)， 3分所以cos， ，6分所以异面直线 AC1与 D1E 所成角的余弦值是. 7分(2)平面的法向量是 8分设平面 BED1F的法向量是n(x，y，z)，又因为(0，3,2)，(3,0,1)，n，n，所以n0，n0，即令z3，则x1，y2，所以n(1,2,3)11分所以， 13分所以二面角B1-EB-F的余弦值是 14分17(本小题满分14分)解：以为坐标原点，以所在的直线为轴，轴建立平面直角坐标系.所以,所以直线为 2分因为抛物线是以AB 为对称轴， 设抛物线的方程为， 因为点在抛物线上，所以，所以 4分因为，所以，所以 7分因为，所以四边形的面积 9分设，由，解得： 11分t+0-极大值来源:Z_xx_k.Com 所以当t=1时，g(t)取极大值且是最大值g(t)max 13分答：当时，四边形面积取得最大值为 14分（注：不答扣一分）18(本小题满分16分)解：（1）由题意，得，1，解得a26，b23 2分所以椭圆的方程为1 3分（2）椭圆C的右焦点F(，0)设切线方程为yk(x)，即kxyk0，所以，解得k，所以切线方程为y(x) 5分把切线方程 y(x)代入椭圆C的方程，消去y得5x28x60设P(x1，y1) ，Q(x2，y2)，则有x1x2 由椭圆定义可得，PQPFFQ2ae( x1x2)27分所以，OPQ的面积为 8分解法一：(i)若直线PQ的斜率不存在，则直线PQ的方程为x或x当x时，P (，)，Q(，)因为0，所以OPOQ9分当x时，同理可得OPOQ。 由等面积法可知 10分(ii) 若直线PQ的斜率存在，设直线PQ的方程为ykxm，即kxym0因为直线与圆相切，所以，即m22k22 12分将直线PQ方程代入椭圆方程，得(12k2) x24kmx2m260.设P(x1，y1) ，Q(x2，y2)，则有x1x2，x1x213分因为x1x2y1y2x1x2(kx1m)(kx2m)(1k2)x1x2km(x1x2)m2(1k2)km()m2将m22k22代入上式可得0， 15分所以OPOQ由等面积法可知 为定值 16分解法二：设切点T(x0，y0)，则其切线方程为x0xy0y20，且xy2(i)当y00时，则直线PQ的直线方程为x或x当x时，P (，)，Q(，)因为0，所以OPOQ当x时，同理可得OPOQ 由等面积法可知 为定值 10分(ii) 当y00时，由方程组消去y得(2xy)x28x0x86y0设P(x1，y1) ，Q(x2，y2)，则有x1x2，x1x2 12分所以x1x2y1y2x1x2因为xy2，代入上式可得0，所以OPOQ15分综上所述，OPOQ 由等面积法可知 为定值 16分19(本小题满分16分)解析： (1) 当m=2时，即 当n=2时，a2=341分当n=3时，a3=15162分当n=4时，a4=2552563分由此猜想：an=22n-1-122n-1=1-122n-1证明如下：当n=1时，a1=1-12=12，成立；4分假设当n=k时，猜想也成立，即ak=22k-1-122k-1=1-122k-1,则当n=k+1时，=1-122k-11+122k-1=1-122k-12=1-122k. 7分即当n=k+1时，猜想也成立。由得，猜想成立，即an=22n-1-122n-1=1-122n-1.() 8分(2) 当m=1时，即当n=2时，由知不等式成立。10分假设当n=k(k鈮?)时，命题也成立，即.由12分=k+1k+22k+1k2+4k+3=k+1k+1k+3=1k+1+215分即当n=k+1时，命题也成立。由得，原命题成立，即当。16分20(本小题满分16分)解：（1）当a1时，f(x)(x1)ex，f (x)(x2)ex，f(1)2e，f (1)3e，所以切线方程为y3e xe 2分（2）因为，令，解得.列表如下.单调减极小值单调增所以时，取得极小值. 4分因为，由题意可知，且所以，化简得， 6分由，得.所以，. 7分（2）因为，所以 9分记，则，令，解得.列表如下.单调减极小值单调增所以时，取得极小值，也是最小值，此时，. 11分令，解得.列表如下.单调减极小值单调增所以时，取得极小值，也是最小值.所以. 13分令，则，记，则，.因为，所以，所以单调递增.所以，所以. 16分南京市六校联合体高二年级期末考试试卷 数学附加题参考答案及评分标准 2019.0621A（1）解得a1；b0 4分（2）由（1）知MTM：设直线l上任意一点P(x0，y0)经矩阵M变换为P(x，y)则 7分2x4y102(2x0y0)4y010即4x06y010直线l的方程为4x6y10 10分21B解：将直线的极坐标方程化直角坐标系方程为 2分将曲线C的参数方程化为普通方程可得： 5分由得，解得或，又，所以，所以直线与曲线C的交点的直角坐标为（1,1）. 10分注：结果多一解的扣2分21C解 因为正数a，b，c满足a+b+c=1，所以，5分即，当且仅当，即时，原式取最小值1 10分22（本小题满分10分）解：（1）设“选出的3名同学是来自不同班级”为事件A，则P(A)=C21C21C61+C21C21C62+C63C103=1315. 4分答：选出的3名同学是来自不同班级的概率为12.（2）随机变量的所有可能值为 PX=0=C30C73C103=724, 5分 P(X=1)=C31C72C103=2140,