高等量子力学-基本原理.ppt

二、 量子力学基本原理,1 波函数的统计解释原理,4 力学量用厄米算符表示,2 态叠加原理,5 体系状态波函数可用算符的 本征函数展开,3 体系状态波函数满足薛定谔方程,7 全同性原理,6 不确定度关系,1 波函数的统计解释原理,粒子和波的经典观点:,经典粒子的图像,在经典物理中，粒子的概念抽象为：大小可忽略不计的具有质量的对象，即所谓质点。,为叙述的方便，可把粒子等同于质点。要描述一个质点的运动状态，我们需要知道（m,x,t）,微观粒子因具有波粒二象性，其运动状态的描述必有别于经典力学对粒子运动状态的描述。这就要求在描述微观粒子的运动时，要有创新的概念和思想来统一波和粒子这样两个在经典物理中截然不同的物理图像。,微观粒子状态的量子描述,(1) 是怎样描述粒子的状态呢？,(3) 如何体现波粒二象性的？,(2) 描写的是什么样的波呢？,三个问题？,(1)“亮纹”处是到达该处的电子数多，或讲电子到达该处的概 率大。“暗纹”处是到达该处的电子数少，或讲电子到达该 处的概率小。 (2)衍射图样由电子波动性引起 “亮纹”处表示该处波强度| (r)|2大， “暗纹”处表示该处波强度| (r)|2小， 所以，电子到达屏上各处的概率与波的强度成正比.,单电子衍射实验结果分析,当降低光的强度，发现光竟然也是由一个一个的粒子-“光子”组成的。当光强极弱时，我们可完成所谓单光子干涉实验，每个光子对应一个随机的位置，很多单光子事件累积起来呈现干涉条纹。,光双缝干涉实验,如水波，声波，由物质的分子密度疏密变化而形成的一种分布。,这种看法是与实验矛盾的，它不能解释长时间单个电子衍射实验。,电子一个一个的通过小孔，但只要时间足够长，底片上仍可呈现出衍射花纹。这说明电子的波动性并不是许多电子在空间聚集在一起时才有的现象，单个电子就具有波动性。,波由粒子组成的看法仅注意到了粒子性的一面，而抹杀了粒子的波动性的一面，具有片面性。,（2） 粒子由波组成,电子是波包。把电子波看成是电子的某种实际结构，是三维空间中连续分布的某种物质波包。因此呈现出干涉和衍射等波动现象。波包的大小即电子的大小，波包的群速度即电子的运动速度。 什么是波包？波包是各种波数（长）平面波的迭加。 平面波描写自由粒子，其特点是充满整个空间，这是因为平面波振幅与位置无关。如果粒子由波组成，那么自由粒子将充满整个空间，这是没有意义的，与实验事实相矛盾。,实验上观测到的电子，总是处于一个小区域内。例如一个原子内的电子，其广延不会超过原子大小1 。,物质波包的观点夸大了波动性一面，而抹杀了粒子性一面，也具有片面性。,争论：微观粒子是波还是粒子,薛定谔：不管是电子也好，光子也好，或者任何粒子也好，都只是波动表面的泡沫，它的本质上是波，都可以用波动方程来表达基本的运动方式。,海森堡：物理世界的基本现象是离散性，或者说不连续性。从原子光谱到康普顿散射，从光电现象到原子中电子在能级间的跃迁，都显示出大自然是不连续的。,薛定谔：粒子就像一个椰子一样，如果你敲开那坚硬的外壳，你会发现那里面是波动的柔软的水汁。电子无疑是由正弦波组成的，但这种波在各个尺度上伸展 都不大，可以看成是一个波包。当这种波包做为一个整体前进时，它看起来就像是一个粒子。可是本质上它还是波。,电子究竟是什么东西呢？是粒子？还是波？ “ 电子既不是粒子也不是波 ”，既不是经典的粒子也不是经典的波; “ 电子既是粒子也是波，它是粒子和波动二重性矛盾的统一。”这个波不再是经典概念的波，粒子也不是经典概念中的粒子。,衍射实验所揭示的电子的波动性是：许多电子在同一个实验中的统计结果，或者是一个电子在许多次相同实验中的统计结果。 波函数正是为了描述粒子的这种行为而引进的，在此基础上，Born 提出了波函数意义的统计解释。,r 点附近衍射花样的强度 正比于该点附近感光点的数目， 正比于该点附近出现的电子数目， 正比于电子出现在 r 点附近的概率。,在电子衍射实验中，照相底片上, 玻恩的解释,（18821970）,1954年诺贝尔物理学奖,据此，描写粒子的波可以认为是概率波，反映微观客体运动的一种统计规律性，波函数(r)有时也称为概率波幅. 这就是首先由 Born 提出的波函数的概率解释，它是量子力学的基本原理。,假设衍射波用 (r) 描述，衍射花纹的强度则用 | (r)|2 描述。,| (r)|2 的意义是代表电子出现在 r 点附近概率的大小. 确切的说 | (r)|2 xyz 表示在 r 点处，体积元xyz中找到粒子的概率。波函数在空间某点的强度（振幅绝对值的平方）和在这点找到粒子的概率成比例.,波函数模的平方 与粒子 时刻在 处附近出现的概率成正比。,态的迭加原理是量子力学的一个基本假设，它的正确性也依赖于实验的证实。,1. 若 是粒子的可能状态，则粒子也可处在它们的线性迭加态,2.当体系处于 态时，发现体系处于 态的概率是 ，并且,2 态叠加原理,3 体系状态波函数满足薛定谔方程,微观粒子运动状态用波函数完全描述，波函数确定之后，量子力学最核心的问题就是要解决以下两个问题：,(1)在各种情况下，找出描述系统的各 种可能的波函数； (2)波函数如何随时间演化。,Schrodinger 的方程一般表达式,薛定谔方程,知道体系所受力场和相互作用及初始时刻体系的状态后，由Schrodinger方程即可确定以后时刻的状态。,当 不显含时间t 时,体系的能量是守恒量,对于一个粒子在势场 中运动的特殊情况, 有,定态薛定谔方程,定态薛定谔方程：,本征波函数,任意状态,非定态：,4 力学量用厄米算符表示,经典力学中物质运动的状态总用坐标、动量、角动量、自旋、动能、势能、转动能等力学量描述。 量子力学引入了波函数这样一个基本概念，以概率的特征全面地描述了微观粒子的运动状态。但并不能作为量子力学中的力学量。于是，又引入了一个重要的基本概念算符，用它表示量子力学中的力学量。,什么是算符? 算符代表对波函数进行某种运算或变换的符号,1）du / dx = v ， d / dx 就是算符，其作用 是对函数 u 微商， 故称为微商算符。,2）x u = v， x 也是算符。 它对 u 作用 是使 u 变成 v。,由于算符只是一种运算符号，所以它单独存在是没有意义的，仅当它作用于波函数上，对波函数做相应的运算才有意义，例如：,u = v 表示 把函数 u 变成 v， 就是这种变 换的算符。,（一）算符的定义与构造,角动量算符,若量子力学中的力学量 在经典力学中有相应的力学量，则表示该力学量的算符 由经典表示 中将动量 换成动量算符 而得出。,构造力学量算符的规则：,（1）以上所述力学量算符规则是对坐标表象而言；对于动量表象，表示力学量F 的算符是将经典表示 中的坐标变量 换成坐标算符,（2）对于只在量子理论中才有，而在经典力学中没有的力学量，其算符如何构造的问题另外讨论。,注意,其中,(二）算符的本征方程、本征值与本征函数,算符 作用在函数 上，等于一常数 乘以,此称为算符 的本征方程,即,称为其本征值， 为其本征函数。,如果算符 表示力学量 ，那么当体系处于 的本征态中时，力学量 有确定值，这个值就是 属于该本征态的本征值。,该假设给出了表示力学量的算符与该力学量的关系,可以证明: ( )+ = + + ( .)+ = . + + +,可以证明：,(三) 厄密算符,(2) 厄密算符,1. 定义: 满足下列关系 的算符称为 厄密算符.,性质 II: 两个厄密算符之积一般不是厄密 算符, 除非二算符对易。 因为 ( )+ = + + = 仅当 ,