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新经济学论文-论微积分在经济分析中的应用摘要:微积分作为数学知识的基础,是学习经济学的必备知识,着重讨论了微积分在经济学中最基本的一些应用,计算边际成本、边际收入、边际利润并解释其经济意义,11.11.1.1设需求函数Q=f(p)在点p处可导(其中Q为需求量,P为商品价格),则其边际函数Q=f(p)称为边际需求函数,简称边际需求。类似地,若供给函数Q=Q(P)可导(其中Q为供给量,P为商品价格),则其边际函数Q=Q(p)1.1.2总成本函数C=C(Q)=C0+C1(Q);平均成本函数=(Q)=C(Q)Q;边际成本函数C=C(Q)C(Q0)称为当产量为Q0时的边际成本,其经济意义为:当产量达到Q0时,如果增减一个单位产品,则成本将相应增减C(Q0)1.1.3总收益函数R=R(Q);平均收益函数=(Q);边际收益函数R=R(Q)R(Q0)称为当商品销售量为Q0时的边际收益。其经济意义为:当销售量达到Q0时,如果增减一个单位产品,则收益将相应地增减R(Q0)1.1.4利润函数L=L(Q)=R(Q)-C(Q);平均利润函数;=(Q)边际利润函数L=L(Q)=R(Q)-C(Q).L(Q0)称为当产量为Q0时的边际利润,其经济意义是:当产量达到Q0时,如果增减一个单位产品,则利润将相应增减L(Q0)个例1某企业每月生产Q(吨)产品的总成本C(千元)是产量Q的函数,C(Q)=Q2-10Q+20。如果每吨产品销售价格2万元,求每月生产10吨、15吨、20吨解:每月生产QR(Q)=20QL(Q)=R(Q)-C(Q)=20Q-(Q2-1Q+20=-Q2+30Q-20L(Q)=(-Q2+30Q-20)=-2Q+30则每月生产10吨、15吨、20L(10)=-210+30=10(千元/L(15)=-215+30=0(千元/L(20)=-220+30=-10(千元/以上结果表明:当月产量为10吨时,再增产1吨,利润将增加1万元;当月产量为15吨时,再增产1吨,利润则不会增加;当月产量为20吨时,再增产1吨,利润反而减少1显然,企业不能完全靠增加产量来提高利润,那么保持怎样的产量才能使企1.21.2.1设函数y=f(x)在点x处可导,函数的相对改变量yy=f(x+x)-f(x)y与自变量的相对改变量xx之比,当x0时的极限称为函数y=f(x)在点x处的相对变化率,或称为弹性函数。记为EyExEyEx=limx0yyxx=limx0yxxy=f(x)xf(x)在点x=x0处,弹性函数值Ef(x0)Ex=f(x0)xf(x0)称为f(x)在点x=x0处的弹性值,简称弹性。EExf(x0)%表示在点x=x0处,当x产生1%的改变时,f(x)近似地改变EExf(x0)%1.2.2对于需求函数Q=f(P)(或P=P(Q)),由于价格上涨时,商品的需求函数Q=f(p)(或P=P(Q))为单调减少函数,P与Q异号,所以特殊地定义,需求对价格的弹性函数为(p)=-f(p)pf(p)例2设某商品的需求函数为Q=e-p5(1)需求弹性函数;(2)P=3,P=5,P=6解:(1)(p)=-f(p)pf(p)=-(-15)e-p5.pe-p5=p5(2)(3)=35=0.6;(5)=55=1;(6)=65=1.2(3)=0.61,说明当P=6时,价格上涨1%,需求减少1.2%,需求变动的幅1.2.3收益R是商品价格P与销售量QR=PQ=Pf(p)R=f(p)+pf(p)=f(p)(1+f(p)pf(p)=f(p)(1-)所以,收益弹性为EREP=R(P).PR(P)=f(p)(1-)ppf(p)=1-这样,就推导出收益弹性与需求弹性的关系是:在任何价格水平上,收益弹性与需求弹性之和等于1(1)若0价格上涨(或下跌)1%,收益增加(或减少)(1-)%(2)若1,则EREP0,n0,p0),(1)问每批生产多少单位时,使平均成本最小?(2解:(1)平均成本(X)=C(x)x=mx2-nx+pC=2mx-nCx=n2mC(x)=2m0。所以,每批生产n2m个单(2)(n2m)=m(n2m)2-n(n2m)+p=(4mp-n24m),又C(x)=3mx2-2nx+p,C(n2m)=3m(n2m)2-2m(n2m)+p=4mp-n24m所以,最小平均成本等于其相应1.3.2例4设生产某产品的固定成本为60000元,变动成本为每件20元,价格函数p=60-Q1000(Q为销售量),假设供销平衡,问产量为多少时,利润最大?最解:产品的总成本函数C(Q)=60000+20Q收益函数R(Q)=pQ=(60-Q1000)Q=60Q-Q21000则利润函数L(Q)=R(Q)-C(Q)=-Q21000+40Q-60000L(Q)=-1500Q+40,令(Q)=0得Q=20000L(Q)=-15000Q=2000时L最大,L(2000)=340000所以生产20000个产品时利润最大,最大利润为340000元。2在经济管理中,由边际函数求总函数(即原函数),一般采用不定积分来解决,或求一个变上限的定积分;如果求总函数在某个范围的改变量,则采用定积例5设生产x个产品的边际成本C=100+2x,其固定成本为C0=1000元,产品单价规定为500元。假设生产出的产品能完全销售,问生产量为多少时利润解:C(x)=x0(100+2t)dt+C(0)=100x+x2+1000总收益函数为R(x)=500x总利润L(x)=R(x)-C(x)=400x-x2-1000,L=400-2x,令L=0,得x=200,因为L(200)0。所以,生产量为200单位时,利润最大。最大利润为L(200)=400200-2002-1000=39000在这里我们应用了定积分,分析出利润最大,并不是意味着多增加产量就必定增加利润,只有合理安排生产量,综上所述,对企业经营者来说,对其经济环节进行定量分析是非常必要的。将数学作为分析工具,不但可以给企业经营者提供精确的数值,而且在分析的过程中,还可以给企业经营者提供新的思路和视角,这也是数学应用性的具体体现。因此,作为一个合格的企业经营者,应该掌握相应的数学分析方法,从而为科学的经营决策提供可靠依

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