(考试资料下载)微分几何教案曲面在一点邻近的结构（九）

微分几何教案（十七） 曲面的第基二基本形式：3.73.83.7 曲面在一点邻近的结构在3.3小节里曾用第二基本形式的行列式对曲面上的点进行了分类.在上小节我们又看到 ,因为 ,所以 K与同号,因此得到以下用高斯曲率对曲面上点的分类:椭圆点; 双曲点; 抛物点. 以下用法曲率分别讨论曲面在一点邻近的形状.一 椭圆点: 这时主曲率同号,不妨设都大于零,根据欧拉公式曲面沿任意方向的法曲率，曲面沿任意方向的法曲率与同号。这说明曲面在这样的点沿所有方向都朝同一方向弯曲。 由于主曲率是沿主方向的两条法截线的曲率，而法截线是平面曲线，据4.4节可知它（在密切平面即法截面的投影）是抛物线，其近似方程是。因此可知曲面在椭圆点邻近的形状近 似于抛物面。二 双曲点： 这时主曲率异号，适当的选择曲面的法向量后有。因此对应于主方向的两条法截线中有一条朝的反向弯曲，另一条朝 的正向弯曲。 由欧拉公式得各个方向的法曲率的变化情况0 2 0 0 0 0 如右表： 由表可知， 法曲率在四个方向上为零。这四个方向就是双曲线的渐近方向，即杜邦指标线的渐近方向。令可求出渐近方向，由欧拉公式求出两个渐近方向对应的值：即 ，可见两个渐近方向和每一个主方向作相等的角。且渐近方向把主方向隔离在两对对顶角内：在其中一对对顶角内，法截线朝着的正向弯曲；另一对对顶角内， ，法截线朝着的反向弯曲。下面考虑曲面在双曲点邻近的形状：在主方向上的法截线，其形状近似于抛物线和，前者朝的反向弯曲 ，后者朝的正向弯曲。因此，曲面在双曲点邻近的形状近似于双曲抛物面。三 抛物点：K=0这时两个主曲率中至少有一个等于零。适当选取法向量 后有。因此对应于主方向的两条法截线中有一条朝 的反向弯曲，另一个主方向是渐近方向。由欧拉公式知=。所以除外，总有，因而除渐近方向外，一切法截线都朝的反向弯曲。据4.4的结果，主方向上法截线的形状分别近似于， 。因为，所以为朝的反向弯曲的抛物线，后一个为立方抛物线。 如果，则L=M=N=0， 曲面上的点为平点，这时主方向上的两条法截线的形状近似于立方抛物线 ：， 。3.8 高斯曲率的几何意义一 曲面的球面表示（高斯映射） 设是曲面S: 上一块不大的区域，另外再作一单位球面。现在建立中的点和单位球面上的点之间的对应关系如下:在上任取一点P(u,v)，作曲面在P点的单位法向量，然后把的始端平移到单位球面的中心，则的另一端就在单位球面上，设该点为，这样对于曲面的小区域 中的每一点与球面上向径为的点对应。因此，曲面上所给出的小区域对应到单位球面上的区域上。这就是说，建立了曲面上的小区域到单位球面上区域的对应。我们把曲面上的点与球面上点的这种对应称为曲面的球面表示，也称为高斯映射。如上图。二 曲面的第三基本形式 定义 曲面第三基本形式定义为其中叫做曲面的第三类基本量 . 由定义可知,曲面第三基本形式就是曲面的球面表示 的第一 基本形式.三 曲面的三个基本形式之间的关系 结论:曲面的三个基本形式及其高斯曲率平均曲率之间的关系为 。 证明 取曲面的曲率网为坐标网,则曲面的第一、第二基本形式可以写成，。由于我们选取了曲率线网为坐标网,故分别为主方向,设分别为u-线方向和v-线方向的主曲率,根据罗德里格定理，。由此可得：，所以，同时，因而， 从而，所以 。命题7 曲面上P点邻近的区域在单位球面上的表示是 ， 的面积与区域的面积之比，当趋于曲面上已知点P时这个比值趋于曲面在P点的高斯曲率的绝对值。即 。证明取曲面的曲纹坐标网为曲率网，则， 由本章2的2.5有的面积 ，的面积=， 。等式右边的积分区域 为曲纹坐标u,v的变化区域，所以。证毕。 由此可得到曲面在P点的高斯曲率的几何意义是：单位球面上的区域 的面积与曲面上的对应区域的面积之比值，当区域趋于P时的极限。以下给出在球面表示时高斯曲率的符号的几何意义，由于，其中是曲面的法向量，是球面的法向量。